燕子宗，尹 飛

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

關(guān)于Finsler遞歸定理的幾點(diǎn)注記

燕子宗，尹 飛

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

Finsler遞歸定理和S-引理，是二次約束二次優(yōu)化問(wèn)題的2個(gè)基本結(jié)果。它們以及由Finsler遞歸定理發(fā)展起來(lái)的雙邊投影定理在魯棒優(yōu)化和控制領(lǐng)域扮演十分重要的角色。利用二次函數(shù)的連通特性證明了Finsler遞歸定理和S-引理的等價(jià)性，并給出了雙邊投影定理的一個(gè)新證明。

Finsler遞歸定理；S-引理；雙邊投影定理

Finsler遞歸定理主要有以下2個(gè)結(jié)果。

定理1[1]設(shè)A，B是n階對(duì)稱(chēng)矩陣且B是不定的，則存在t∈R使得A+tB半正定當(dāng)且僅當(dāng)：

xTBx=0?xTAx≥0

(1)

定理2[1](嚴(yán)格Finsler遞歸定理) 設(shè)A,B是n階對(duì)稱(chēng)矩陣,則存在t∈R使得A+tB正定當(dāng)且僅當(dāng)：

x≠0xTBx=0?xTAx≥0

(2)

作為S-過(guò)程的最早結(jié)果，F(xiàn)insler遞歸定理有很長(zhǎng)的歷史并被重新證明多次[2]。由定理2發(fā)展起來(lái)的雙邊投影定理，在控制論的穩(wěn)定性分析中發(fā)揮重要作用[3,4]。S-過(guò)程處理多個(gè)二次約束下二次優(yōu)化的可解性問(wèn)題。1971年，Yakubovich[5]對(duì)單個(gè)二次約束下二次優(yōu)化的可解性給出了如下S-引理。

定理3[5](S-引理) 設(shè)A和B是對(duì)稱(chēng)實(shí)矩陣，二次不等式：

xTAx≥0

(3)

xTBx≥0

(4)

成立的充分必要條件是存在非負(fù)常數(shù)λ≥0使得B-λA半正定。

下面，筆者將證明定理1與S-引理的等價(jià)性，并給出了雙邊投影定理的一個(gè)新證明。

1 Finsler遞歸定理與S-引理的等價(jià)性

在對(duì)定理1和定理3等價(jià)性證明之前，首先對(duì)齊二次映射構(gòu)成的錐給出一個(gè)連通性結(jié)果。為了敘述方便，引入記號(hào)：

(5)

代表由實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A∈Rn×n確定的二次錐，使用記號(hào)0(A)分別代表集合(A)所有內(nèi)點(diǎn)構(gòu)成的集合。

引理1設(shè)A∈Rn×n為對(duì)稱(chēng)矩陣，則集合(A)-{0}至多由2個(gè)連通區(qū)域構(gòu)成。

證明當(dāng)A半正定時(shí)，(A)為全空間Rn,(A)-{0}僅包含一個(gè)連通區(qū)域。當(dāng)-A半正定時(shí)，(A)為原點(diǎn)集合，因此(A)-{0}為空。以下討論A是不定的情況。不妨假定A是對(duì)角矩陣且對(duì)角元素為1，-1或者0，因此二次錐(A)可以表示為如下形式：

(6)

式中，1≤klt;m≤n。

若k=1，由錐優(yōu)化理論[6]可以知道，(A)由2個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的2個(gè)二階錐構(gòu)成，于是結(jié)論成立。

若kgt;1，令x2=…=xk-1=0和xk=1，則二次錐(A)包含一個(gè)連通子集：

下面給出定理1和定理3的等價(jià)性證明。

(1)定理1?定理3。

不妨設(shè)B是不定矩陣，由定理3的假設(shè)可以得到A也是不定矩陣。由定理1知，存在實(shí)數(shù)t使得B+tA半正定。另一方面，由定理3的假設(shè)知，若x1?0(-B)，則x1?0(-A)。這一事實(shí)說(shuō)明當(dāng)t≥0時(shí)，B+tA不可能半正定，因此tlt;0。此外，若B是半正定矩陣，當(dāng)然t可以等于0。于是引理1得證。

(2)定理3?定理1。

定理1假設(shè)蘊(yùn)涵如下包含關(guān)系：

(7)

2 雙邊投影定理的新證明

μPTP-Hgt;0

(8)

當(dāng)且僅當(dāng)：

(9)

引理3[3](Gahinet-Apkarian) 設(shè)A∈Sn是對(duì)稱(chēng)矩陣，且具有3×3分塊。則存在矩陣X使得：

(10)

當(dāng)且僅當(dāng)：

(11)

引理2和引理3的證明參見(jiàn)文獻(xiàn)[7,8]

Iwasaki-Skelton，Gahinet-Apkarian各自獨(dú)立的獲得了如下雙邊投影定理，它是定理2的一個(gè)新擴(kuò)展。下面給出雙邊投影定理及其一個(gè)新的證明。

定理4設(shè)H∈Sn是對(duì)稱(chēng)矩陣，P，Q是適當(dāng)維數(shù)矩陣，NP和NQ分別是由核空間N(P)和N(Q)的任意一組基作為列向量構(gòu)成的矩陣，則存在矩陣X使得：

H+PTXTQ+QTXPlt;0

(12)

當(dāng)且僅當(dāng)：

(13)

證明必要性顯然，下證充分性。設(shè)V1是N(P)∩N(Q)的一組基作為列向量構(gòu)成的矩陣，將其分別擴(kuò)充為N(P)和N(Q)的一組基，記擴(kuò)充的列向量構(gòu)成的矩陣記為V2和V3，即：

R(V1，V2)=N(P)R(V1，V3)=N(Q)

這里R(·)代表由矩陣的列向量構(gòu)成的線(xiàn)性空間。由線(xiàn)性代數(shù)知識(shí)得到，V1，V2和V3的列向量構(gòu)成N(P)⊕N(Q)的一組基。令V=(V1，V2，V3)，則V列滿(mǎn)秩。

取R(P)∩R(Q)一組基作為列向量構(gòu)成矩陣A，則：

P+PA=Q+QA=A

或者等價(jià)地，有：

ATP+P=ATQ+Q=AT

顯然AT的核空間N(AT)=N(P)⊕N(Q)。令X1=(QT)+AATP+，則有：

由V的構(gòu)造知，PV=(O，O，PV3)，QV=(O，QV2，O)，因此有：

由引理3知，在條件(13)的假定下，存在Y使得：

(14)

其中：

3 結(jié) 語(yǔ)

雙邊投影定理3的證明是對(duì)Gahinet-Apkarian給出證明的一種修改，該證明同時(shí)應(yīng)用了引理2和引理3。這2個(gè)引理都是定理4的特殊形式。例如在定理4中令P=Q可得引理2，若令：

P=(O，O，I)Q=(O，I，O)

則有：

將其分別代入到式(12)和式(13)中就可以得到式(10)和式(11)，即得引理3。

[2]Uhlig F.Onaffine scaling algorithm about pairs of quadratic forms and exetnsions:A survey[J].Linear Algbra Appl,1979,25:219～237.

[3]Gahinet P,Apkarian P.A linear matrix inequality approach toH∞control[J].Int J Robust and Nonlinear Control,1994,(4):421～448.

[4]Iwasaki T,Skelton R E.All controllers for the generalH∞control problem:LMI existence conditions and state space formulas[J].Automatica,1994,30(8):1037～1317.

[5]Yakubovich V A.S-procedure in nonlinear control theory[J].Vestnik Leningrad Univ,1971,(1):62～77.

[6]Ben-Tal A，Nemirovski A.Lectures on Modern Convex Optimization: Analysis,Algorithms and Engineering Applications[A].MPS-SIAM Series on Optimization[C].2001.

[7]黃琳.穩(wěn)定性與魯棒性的理論基礎(chǔ)[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

[8]俞立.魯棒控制：線(xiàn)性矩陣不等式處理方法[M].北京：清華大學(xué)出版社，2002.

[編輯] 洪云飛

O177.91;O224

A

1673-1409(2010)01-N021-03