● (隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)系 甘肅成縣 742500)

一個(gè)重要不等式的簡(jiǎn)證與求商法的應(yīng)用

●東洪平(隴南師范高等專科學(xué)校數(shù)學(xué)系 甘肅成縣 742500)

1 問(wèn)題的提出及其證明

文獻(xiàn)[1]提出了一個(gè)重要不等式：

文獻(xiàn)[1]用數(shù)學(xué)歸納法證明了這個(gè)不等式，筆者發(fā)現(xiàn)可用求商法證明這個(gè)不等式，其證明過(guò)程更簡(jiǎn)單易懂，現(xiàn)證明如下.

證明求商.

即

因此

2 求商法及其應(yīng)用

當(dāng)一個(gè)不等式(或等式)的2邊是積的形式時(shí)，可用求商的方法去證明其成立，這是數(shù)學(xué)中最常用的方法——求商法.用求商法去證明上面的重要不等式,其證明過(guò)程簡(jiǎn)單、易懂.數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有幾個(gè)不等式是上面重要不等式的特殊情形，如果不知道上面的重要不等式，這樣的不等式該怎樣證明呢？那還是用求商法最好！請(qǐng)看下例.

(第3屆美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克試題)

(顯然,這是上面重要不等式當(dāng)n=3時(shí)的特殊情形.)

證明(用求商法)

即

(1979年青海省中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)

(顯然,這是上面重要不等式當(dāng)n=5時(shí)的特殊情形.)

證明(用求商法)

同理可得

即

下面再舉2個(gè)用求商法證明不等式的例子.

例3若a>b>c>0，求證：a2ab2bc2c>ab+cbc+aca+b.

(1978年上海市數(shù)學(xué)競(jìng)賽第二試試題)

證明(用求商法)

即

證明(用求商法)

當(dāng)我們?cè)谧C明一個(gè)數(shù)學(xué)命題時(shí)，首先想到的是最常用的方法.如果能用最常用的方法證明這個(gè)數(shù)學(xué)命題，而且證明過(guò)程簡(jiǎn)單易懂，那么這樣的證明方法就可稱得上是好方法.因此，我們千萬(wàn)不能把最常用的方法忘掉！

[1] 趙生筱.一個(gè)平均值不等式[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002(7):21-22.