莫文輝
(湖北汽車工業(yè)學院 機械工程系,湖北 十堰442002)
國外學者研究了結(jié)構(gòu)線性振動、非線性振動的可靠性[1-3]。 文獻[4]提出了單自由度系統(tǒng)振動可靠性計算的一種方法,導出了固有頻率和激振頻率的正態(tài)聯(lián)結(jié)方程。文獻[5]提出了一種進行構(gòu)件振動可靠性設(shè)計的方法,建立了激振力頻率與構(gòu)件固有頻率干涉的概率模型,給出了將導致構(gòu)件損壞的強迫共振響應(yīng)的概率計算公式。文獻[6]把懸臂梁的固有頻率、激振力頻率、平均應(yīng)力、應(yīng)力輻和疲勞極限處理為隨機變量,提出了懸臂梁在強迫振動時不發(fā)生共振和疲勞損壞的可靠性分析方法。文獻[7]述及了整體離心葉輪的結(jié)構(gòu)及其故障模式特點,在強迫振動放大系數(shù)模型的基礎(chǔ)上,提出了離心葉輪葉片的振動可靠性分析方法,通過厚度控制來調(diào)整整體葉輪葉片的固有頻率,控制強迫振動放大系數(shù),使之避開危險性共振或強迫振動。
考慮隨機因素對簡支梁振動的影響,應(yīng)用Monte Carlo模擬,研究了簡支梁振動的可靠性。
簡支梁的跨度中點有一臺重量為Q的電動機,其轉(zhuǎn)子以角速度ω轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)子偏心所引起的離心慣性力為Fi,其垂直分量Fisin ωt即為周期性變化的干擾力,從而引起梁的橫向強迫振動。Fi的水平分量Ficos ωt引起梁的縱向振動,它的影響遠小于橫向振動,通常不進行計算。梁與電機所組成的系統(tǒng)的橫向振動簡化成一個自由度的振動系統(tǒng)。簡支梁在靜載荷Q作用下,靜位移Δj為
故彈性常數(shù)為
由牛頓第二定律,得振動物體的運動方程為
其中 rx˙為阻力。 由于 KΔj=Q,化簡式(3),得
由于系統(tǒng)的固有頻率為
式(4)簡化為
由微分方程理論知,當(2C)2-4p2<0,即 C
式(8)右邊的第1部分為衰減振動,隨時間增加迅速減弱,終于消失;第2部分則為強迫振動。在第1部分消失后,式(8)化為
其中B是強迫振動的振幅。
引入放大系數(shù)的記號
振幅B可寫為
其中
簡支梁跨度中點的最大撓度為
在線彈性范圍內(nèi),材料服從虎克定律,則應(yīng)力、載荷和變形之間成正比關(guān)系。梁在靜平衡位置時的最大靜應(yīng)力σj與在最大位移位置時的最大動應(yīng)力σdmax之間關(guān)系是
同理
故有
根據(jù)概率論的中心極限定理,當獨立隨機變量的個數(shù)增加時,其和的分布趨于正態(tài)分布。只要產(chǎn)生 12 個均勻分布隨機數(shù) u1、u2、…、u12,將其相加,再減去6,可近似地得到標準正態(tài)變量的樣本值。這是產(chǎn)生標準正態(tài)變量的樣本值的一種方法,使用此方法編程方便。
隨機變量Xi服從數(shù)學期望μi,方差的正態(tài)分布,記為 Xi~N(μi,)。隨機變量Z服從數(shù)學期望0、方差1的正態(tài)分布,記為Z~N(0,1)。 利用關(guān)系式
就得到一般的正態(tài)隨機變量Xi。
Monte Carlo模擬在機械可靠度計算中的應(yīng)用是從隨機變量 X1、X2、…Xi、…、Xn分布中隨機抽取一組數(shù)值,代入應(yīng)力計算公式得到一個應(yīng)力值,再與抽自強度分布的一個強度值進行比較,如果應(yīng)力大于強度,則零件失效;反之,零件安全。設(shè)模擬次數(shù)為N,失效數(shù)為F,可靠度R為(1-F/N)。模擬次數(shù)愈大,則模擬精度愈高。就本文而言,應(yīng)力指簡支梁跨度中點的最大動應(yīng)力。
已知簡支梁跨度l為3±0.005 m,E為200±20 GN·m-2,I為 500000±10000 mm4。安裝在跨度中點的電動機重量Q為12±0.1 kN,轉(zhuǎn)子偏心所引起的慣性力 Fi為 2.5±0.025 kN,轉(zhuǎn)速為 1500±30r·min-1。若不計梁的質(zhì)量和介質(zhì)的阻力(C=0),跨度中點最大許用振動位移均值為0.000675 mm,標準差為0.000001,強度均值為13.2 MPa,標準差為0.1。用VB 6.0編寫計算機程序,模擬1000次,得出位移的可靠度為0.983,強度的可靠度為0.996。
建立簡支梁振動的微分方程,求出最大振動位移和最大動應(yīng)力??紤]隨機因素對簡支梁振動的影響,用計算機程序產(chǎn)生1000組隨機變量樣本,用Monte Carlo模擬研究了結(jié)構(gòu)最大振動位移和最大動應(yīng)力的可靠性。隨著計算機CPU速度的提高,Monte Carlo模擬結(jié)構(gòu)的可靠度是可行的。
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