莫文輝

（湖北汽車工業(yè)學院 機械工程系，湖北 十堰442002）

國外學者研究了結(jié)構(gòu)線性振動、非線性振動的可靠性［1－3］。 文獻［4］提出了單自由度系統(tǒng)振動可靠性計算的一種方法，導出了固有頻率和激振頻率的正態(tài)聯(lián)結(jié)方程。文獻［5］提出了一種進行構(gòu)件振動可靠性設(shè)計的方法，建立了激振力頻率與構(gòu)件固有頻率干涉的概率模型，給出了將導致構(gòu)件損壞的強迫共振響應(yīng)的概率計算公式。文獻［6］把懸臂梁的固有頻率、激振力頻率、平均應(yīng)力、應(yīng)力輻和疲勞極限處理為隨機變量，提出了懸臂梁在強迫振動時不發(fā)生共振和疲勞損壞的可靠性分析方法。文獻［7］述及了整體離心葉輪的結(jié)構(gòu)及其故障模式特點，在強迫振動放大系數(shù)模型的基礎(chǔ)上，提出了離心葉輪葉片的振動可靠性分析方法，通過厚度控制來調(diào)整整體葉輪葉片的固有頻率，控制強迫振動放大系數(shù)，使之避開危險性共振或強迫振動。

考慮隨機因素對簡支梁振動的影響，應(yīng)用Monte Carlo模擬，研究了簡支梁振動的可靠性。

1 簡支梁的振動分析［8］

簡支梁的跨度中點有一臺重量為Q的電動機，其轉(zhuǎn)子以角速度ω轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)子偏心所引起的離心慣性力為Fi，其垂直分量Fisin ωt即為周期性變化的干擾力，從而引起梁的橫向強迫振動。Fi的水平分量Ficos ωt引起梁的縱向振動，它的影響遠小于橫向振動，通常不進行計算。梁與電機所組成的系統(tǒng)的橫向振動簡化成一個自由度的振動系統(tǒng)。簡支梁在靜載荷Q作用下，靜位移Δj為

故彈性常數(shù)為

由牛頓第二定律，得振動物體的運動方程為

其中 rx˙為阻力。 由于 KΔj=Q，化簡式（3），得

由于系統(tǒng)的固有頻率為

式（4）簡化為

由微分方程理論知，當（2C）2－4p2<0，即 C

式（8）右邊的第1部分為衰減振動，隨時間增加迅速減弱，終于消失；第2部分則為強迫振動。在第1部分消失后，式（8）化為

其中B是強迫振動的振幅。

引入放大系數(shù)的記號

振幅B可寫為

其中

簡支梁跨度中點的最大撓度為

在線彈性范圍內(nèi)，材料服從虎克定律，則應(yīng)力、載荷和變形之間成正比關(guān)系。梁在靜平衡位置時的最大靜應(yīng)力σj與在最大位移位置時的最大動應(yīng)力σdmax之間關(guān)系是

同理

故有

2 簡支梁振動可靠性的Monte Carlo模擬

2.1 隨機變量的模擬［9］

根據(jù)概率論的中心極限定理，當獨立隨機變量的個數(shù)增加時，其和的分布趨于正態(tài)分布。只要產(chǎn)生 12 個均勻分布隨機數(shù) u1、u2、…、u12，將其相加，再減去6，可近似地得到標準正態(tài)變量的樣本值。這是產(chǎn)生標準正態(tài)變量的樣本值的一種方法，使用此方法編程方便。

隨機變量Xi服從數(shù)學期望μi，方差的正態(tài)分布，記為 Xi～N（μi，）。隨機變量Z服從數(shù)學期望0、方差1的正態(tài)分布，記為Z～N（0，1）。 利用關(guān)系式

就得到一般的正態(tài)隨機變量Xi。

2.2 Monte Carlo模擬計算可靠度

Monte Carlo模擬在機械可靠度計算中的應(yīng)用是從隨機變量 X1、X2、…Xi、…、Xn分布中隨機抽取一組數(shù)值，代入應(yīng)力計算公式得到一個應(yīng)力值，再與抽自強度分布的一個強度值進行比較，如果應(yīng)力大于強度，則零件失效；反之，零件安全。設(shè)模擬次數(shù)為N，失效數(shù)為F，可靠度R為（1－F/N）。模擬次數(shù)愈大，則模擬精度愈高。就本文而言，應(yīng)力指簡支梁跨度中點的最大動應(yīng)力。

2.3 算 例

已知簡支梁跨度l為3±0.005 m，E為200±20 GN·m－2，I為 500000±10000 mm4。安裝在跨度中點的電動機重量Q為12±0.1 kN，轉(zhuǎn)子偏心所引起的慣性力 Fi為 2.5±0.025 kN，轉(zhuǎn)速為 1500±30r·min－1。若不計梁的質(zhì)量和介質(zhì)的阻力（C=0），跨度中點最大許用振動位移均值為0.000675 mm，標準差為0.000001，強度均值為13.2 MPa，標準差為0.1。用VB 6.0編寫計算機程序，模擬1000次，得出位移的可靠度為0.983，強度的可靠度為0.996。

3 結(jié) 論

建立簡支梁振動的微分方程，求出最大振動位移和最大動應(yīng)力?？紤]隨機因素對簡支梁振動的影響，用計算機程序產(chǎn)生1000組隨機變量樣本，用Monte Carlo模擬研究了結(jié)構(gòu)最大振動位移和最大動應(yīng)力的可靠性。隨著計算機CPU速度的提高，Monte Carlo模擬結(jié)構(gòu)的可靠度是可行的。

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