靳海娟，張作泉

（1.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治046000；2.北京交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京100044）

不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)的實(shí)證分析

靳海娟1，張作泉2

（1.長(zhǎng)治學(xué)院 數(shù)學(xué)系，山西 長(zhǎng)治046000；2.北京交通大學(xué) 數(shù)學(xué)系，北京100044）

本文以選取的股票樣本為依據(jù)，把傳統(tǒng)的Markowitz模型和不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)模型進(jìn)行比較，通過相關(guān)數(shù)據(jù)的計(jì)算，證明了在相同收益的條件下，不相關(guān)資產(chǎn)模型能產(chǎn)生更小的風(fēng)險(xiǎn)，體現(xiàn)了不相關(guān)模型的優(yōu)越性。因此，在實(shí)踐中可以有效的指導(dǎo)投資者的投資行為。

投資組合；不允許賣空；允許賣空；不相關(guān)資產(chǎn)；實(shí)證分析

1952年，Markowitz發(fā)表了一篇題為“投資組合選擇”的論文[1]，這個(gè)奠基性的工作對(duì)于金融學(xué)的發(fā)展所產(chǎn)生的影響是十分巨大和深遠(yuǎn)的。但是，Markowitz的理論并沒有考慮投資比例系數(shù)的符號(hào)問題,由于負(fù)的投資比例系數(shù)意味著賣空相應(yīng)的證券,而賣空程序在某些場(chǎng)合是很難實(shí)現(xiàn)的,所以研究不允許賣空條件下的資產(chǎn)組合理論有其實(shí)際意義。

本文引用了改進(jìn)的不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)的投資模型，并以深圳股市上選取的樣本為依據(jù)驗(yàn)證了不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情況下，改進(jìn)的不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)投資模型的可行性,并把其與傳統(tǒng)的Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型進(jìn)行了對(duì)比研究，獲得了更精確、更貼近實(shí)際、更有效的結(jié)果,從而能夠指導(dǎo)投資者的投資行為。

本文研究的是無摩擦的情況，然而，在考慮了部分摩擦因素(如帶交易費(fèi),稅收等等)后，不允許賣空時(shí)證券組合有效前沿的分析表達(dá)式也應(yīng)該可以相應(yīng)的得到。這個(gè)問題有待讀者考證。

一、Markowitz模型及不相關(guān)條件下的表示

當(dāng)市場(chǎng)無摩擦且允許賣空時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的Markowitz均值方差模型：

Merton[2]給出了模型（M）的有效投資組合及有效前沿的解析表達(dá)式：

故式（1）可表示為：

二、改進(jìn)的不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)的投資模型

當(dāng)不考慮交易費(fèi)且不允許賣空時(shí),最優(yōu)投資組合選擇模型（M）就可等價(jià)地寫成（M1）。

其中R=（R1，R2，…，Rn）為n種資產(chǎn)的期望收益率向量，r為給定的期望投資組合收益率，V=（σij）n×n是n種資產(chǎn)收益率的協(xié)方差距陣（假定為正定），l=（l，l，…，l）T是n維單位向量，x=（x1，x2，…，xn）T為投資組合（投資比例向量）。

模型 （M1）引起了眾多學(xué)者的廣泛重視。例如，Ross，Dybvig，Szego，楊德權(quán)等研究了有效投資組合的性質(zhì)以及有效前沿的特征和解析表達(dá)式的確定方法,Markowitz提出了有效前沿的臨界線算法,唐小我等提出了參數(shù)單純形法。

此時(shí)最優(yōu)投資組合選擇模型成為：

以下不妨假定記R1＜R2＜…＜Rn，記

定理1[3]：當(dāng)di-l燮r燮di（i=1，2，…，n-1）時(shí)，模型（M2）的最優(yōu)投資組合為

定理2[3]：模型（M2）的有效前沿是

三、樣本股的確定及計(jì)算結(jié)果

對(duì)于不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)的投資組合，我們用實(shí)例來驗(yàn)證一下不存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)情況下的情形。

（一）樣本股的確定

我們從深圳證券市場(chǎng)上的500多只股票中,按照行業(yè)代表性、流通市值規(guī)模、交易活躍程度、上市公司財(cái)務(wù)狀況和經(jīng)營業(yè)績(jī)以及地區(qū)代表性等原則,優(yōu)先從股本規(guī)模大、成長(zhǎng)性較好的個(gè)股中選取了從2002年1月11日至2004年4月2日,約2年的周收盤數(shù)據(jù)作為本文的研究樣本[4]。

為了研究方便我們做以下計(jì)算：

1.股票周收益率的計(jì)算：

上式中，Ri,t為第i只股票第 t周的收益率；pi,t，pi,t-1分別為第i只股票在t，t-1周的價(jià)格；Di,t為第i只股票在第t周收取的現(xiàn)金股息；p為配股價(jià)；n1為配股比例；n2為送股比例。

2.第i只股票在這段時(shí)間中的平均周收益率為：

3.證券組合的平均周收益率和標(biāo)準(zhǔn)差公式為：

經(jīng)過計(jì)算，得到各股的平均周收益率和標(biāo)準(zhǔn)差以及方差。根據(jù)平均周收益率大小，對(duì)這6只樣本股進(jìn)行從小到大的排序，見表1。

表1 ：樣本股的平均收益率和標(biāo)準(zhǔn)差

（二）計(jì)算結(jié)果

由于我們選取的樣本相互之間是不相關(guān)的,因此它們的協(xié)方差矩陣為對(duì)角矩陣,由表1我們可以得出所選取樣本的協(xié)方差矩陣：

它的逆矩陣為：

且有

表2 ：各數(shù)值的計(jì)算結(jié)果

1.新模型的結(jié)果

用上面已經(jīng)求得的數(shù)據(jù)我們來驗(yàn)證第4章中新建的不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)模型。先把數(shù)據(jù)代入（4）式，并利用風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算公式，我們得到了以下數(shù)據(jù)：

表3 ：模型（M2）的投資組合及風(fēng)險(xiǎn)的取值

2.Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型的結(jié)果

同上面一樣，把表格2中求得的數(shù)據(jù)代入（3）式，并運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)的計(jì)算公式得到了以下結(jié)果：

表4 ：Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型下投資組合及風(fēng)險(xiǎn)的取值

四、結(jié)論

圖1 兩個(gè)模型風(fēng)險(xiǎn)的比較

從上圖中風(fēng)險(xiǎn)的比較以及前一部分的計(jì)算結(jié)果中，我們可以得到以下結(jié)論：

1.我們從表3、表4的數(shù)據(jù)結(jié)果可以看出該模型的可行性及正確性。表3中投資比例的取值均為正數(shù)，且每組之和均為1。這驗(yàn)證了不允許賣空的條件：lTx=1及x叟0。

表4中投資比例的取值中有負(fù)數(shù)出現(xiàn)，這也符合Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型中允許賣空的假設(shè)，同時(shí)也滿足lTW=1。因此,我們選取的模型是正確且可行的。

2.在收益率的取值相同的條件下,當(dāng)分別運(yùn)用（3）、（4）式求出投資組合后，從表中我們可以看出在收益率相同的前提下,改進(jìn)的不允許賣空條件下不相關(guān)資產(chǎn)投資模型比傳統(tǒng)的Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)要小。這就說明,新的模型比傳統(tǒng)的Markowitz不相關(guān)資產(chǎn)模型更有優(yōu)越性。

3.從表3、表4的結(jié)果還可以看出：這一投資組合所產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)都非常小。這說明，不相關(guān)資產(chǎn)組合能產(chǎn)生更小的風(fēng)險(xiǎn)。也就是說，在實(shí)際操作中，投資者應(yīng)當(dāng)盡可能選取那些不同行業(yè)、不同種類的股票組合投資,這樣相關(guān)系數(shù)低，有利于分散風(fēng)險(xiǎn)。[5]

致謝

在本文完成之際特別要感謝的是北京交通大學(xué)的張作泉教授。在撰寫本文的過程中，他給予了極大的幫助和指導(dǎo)，在此表示衷心的感謝。

[1]Markowitz H.Portfolio selection[J].The Journal of Finance,1952,7(1): 77-91.

[2]Merton.An analytic derivation of the efficient frontier[J].Journal of Finance and Quantitative Analysis9,1972.1851-1872.

[3]李仲飛,汪壽陽.投資組合優(yōu)化與無套利分析[M].北京:科學(xué)出版社, 2001,(5):73-76.

[4]陳劍利,諸葛莉,周明華.馬克維茲模型在深圳股市應(yīng)用中的實(shí)證研究[J].浙江工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2005,(4):471-473.

[5]孫忠艷.分散化投資規(guī)模及風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)比例選擇的實(shí)證研究[J].重慶工商大學(xué)學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版),2003,20(3):18-20.