尹曉旭 王 彥

（北京航空航天大學(xué)圖書館，北京 100191）

圖書館藏書流通是圖書館工作的重要組成部分，館藏圖書的流通統(tǒng)計(jì)一直是圖書館統(tǒng)計(jì)工作的主要對(duì)象。目前已有的館藏圖書流通統(tǒng)計(jì)研究提出了多種分析方法[1-3]，主要采用的方法是：獲取樣本、對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、假設(shè)分布型式、估計(jì)假設(shè)分布參數(shù)、檢驗(yàn)假設(shè)分布。王健、蔡智澄等學(xué)者[1，2]，就圖書館流通讀者統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)引入概率統(tǒng)計(jì)方法，闡述了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的數(shù)據(jù)分析方法和步驟，以上方法都是基于最小方差的統(tǒng)計(jì)分析方法。

筆者以本館2009年上半年航空航天類圖書借閱量為樣本，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，引入熵的概念，采用基于最大熵原理的方法分析流通借閱數(shù)據(jù)，以期探索出一種圖書館流通統(tǒng)計(jì)的新方法。

1 熵的概念及計(jì)算方法

傳統(tǒng)的隨機(jī)分布統(tǒng)計(jì)大多針對(duì)高斯正態(tài)分布，僅考慮其期望和方差。然而，非高斯分布廣泛存在，期望和方差已不能完全反映其特性。作為信息論、通信理論和熱力學(xué)理論的一個(gè)基本概念，熵是一種描述隨機(jī)變量的隨機(jī)性或者不確定性的度量。

香農(nóng)（Shannon CE）認(rèn)為，信息是人們對(duì)事物了解的不確定性的消除或減少。1948年，他把玻爾茲曼熵的概念引入到信息論中，把不確定的程度稱為信息熵。信息熵是描述事物無(wú)序性的參數(shù)，熵越大則無(wú)序性越強(qiáng)。

Jaynes證明，對(duì)隨機(jī)事件的所有相容的預(yù)測(cè)（相容預(yù)測(cè)是指符合已知的某些參數(shù)與隨機(jī)事件相關(guān)條件的某種對(duì)隨機(jī)事件分布的預(yù)測(cè)）中，熵最大的預(yù)測(cè)出現(xiàn)的概率占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。

Tribus證明，正態(tài)分布、伽瑪分布、指數(shù)分布等都是最大熵原理的特殊情況。最大熵統(tǒng)計(jì)建模是以最大熵理論為基礎(chǔ)的一種選擇模型的方法，即從符合條件的分布中選擇熵最大的分布作為最優(yōu)的分布。

樣本容量為觀測(cè)的總天數(shù)n，對(duì)n個(gè)樣本進(jìn)行分組，組數(shù)為k。樣本值落入第i個(gè)區(qū)間的個(gè)數(shù)稱為頻數(shù)。由頻數(shù)與概率的關(guān)系可知，樣本值落入第i個(gè)區(qū)間內(nèi)的頻數(shù)近似等于隨機(jī)變量X落入第i個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率。

隨機(jī)事件的信息熵[4]：設(shè)隨機(jī)變量 ζ，它有 A1，A2，……，An共n種可能的結(jié)局，每個(gè)結(jié)局出現(xiàn)的概率分為p1，p2，……，pn，則其不確定程度，即信息熵為：

一個(gè)系統(tǒng)的熵就是它的無(wú)組織程度的度量，熵越大，事件越不確定，熵等于0，事件是確定的?；陟氐亩x，可以直觀地說(shuō)明最大熵分布原理。最小偏見的概率分布是這樣一種分布，使其熵在根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)信息的一些約束條件下達(dá)到最大值。由概率分布密度函數(shù)的規(guī)范性公理，以及n階原點(diǎn)矩的定義，可得如下優(yōu)化算法：

其中，（fx）為分布密度函數(shù)，R為積分限，μn為n階原點(diǎn)矩。最大熵概率分布函數(shù)為原點(diǎn)矩為這實(shí)際上是一個(gè)非線性優(yōu)化問(wèn)題。

利用最優(yōu)化定理，拉格郎日乘子參數(shù) λ（nn=0，1，…，N）滿足如下關(guān)系式：

由樣本值求解原點(diǎn)矩μn，求解λn（n=1，…，N）的聯(lián)立方程組。則所研究的問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化算法[5]：

算法實(shí)現(xiàn)流程：

①根據(jù)已知樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算各階原點(diǎn)矩

②選擇積分限為：R

③建立優(yōu)化模型式

④調(diào)用優(yōu)化算法子程序

⑤判斷，若滿足優(yōu)化條件轉(zhuǎn)⑦；否則轉(zhuǎn)⑥

⑥用另一初始點(diǎn)重新計(jì)算，轉(zhuǎn)④

⑦輸出參數(shù)λn（n=0，1，…，N）

2 借閱量統(tǒng)計(jì)分析方法

北京航空航天大學(xué)是一所具有航空航天特色和工程技術(shù)優(yōu)勢(shì)的多學(xué)科、開放式、研究性大學(xué)，圖書館在藏書建設(shè)上注重航空航天特色，匯集了大量關(guān)于航空航天事業(yè)發(fā)展、航空航天工程技術(shù)等方面的圖書資料。航空航天類圖書的利用率和流通情況可以反映出北航主要讀者群對(duì)圖書館的實(shí)際利用情況。因此，該類圖書的借閱量具有一定的代表性。筆者以2009年2月14日至2009年7月16日時(shí)間區(qū)間內(nèi)航空航天類圖書每天的借閱量為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

在此區(qū)間，除公共節(jié)假日以及其他情況的閉館外，借還臺(tái)總共開放134天。每天的借出量最大值為163本，最小值為15本。選擇采樣區(qū)間（8，170）作為樣本的取值區(qū)間，將其等分為18個(gè)小區(qū)間，求出頻數(shù)，列出頻數(shù)分布表1。

表1 流通借閱頻次分布表

由優(yōu)化算法可給出隨機(jī)變量的分布函數(shù)為：

對(duì)于所求得的隨機(jī)變量分布函數(shù)，可以由期望的借閱量x求出其發(fā)生的頻率f（x）。

根據(jù)表1數(shù)據(jù)畫出頻率的柱狀圖（見圖1），橫坐標(biāo)表示借閱數(shù)據(jù)分組排序，縱坐標(biāo)是借閱頻數(shù)，圖中曲線是最大熵?cái)M合分布曲線。

由圖1可見，除第3組數(shù)據(jù)外，該分布較好地?cái)M合了樣本值。這說(shuō)明流通服務(wù)的人員和設(shè)備配置比較科學(xué)合理地滿足了師生的需求。至于第3組存在較大擬合誤差的原因，經(jīng)過(guò)調(diào)查得知，處于該組借閱數(shù)據(jù)的日期，多是節(jié)假日前后，讀者借閱行為與平日有較大不同。

由此可見，最大熵方法可以為圖書館合理配置人員與設(shè)備、提高圖書館流通的管理水平提供科學(xué)依據(jù)，從而為廣大師生提供更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)。

圖1 流通借閱的最大熵統(tǒng)計(jì)模型

3 結(jié)論

利用最大熵優(yōu)化所得的概率分布函數(shù)能夠表達(dá)不同統(tǒng)計(jì)分布形式的隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性，具有廣泛的適應(yīng)性[6]。在圖書館流通統(tǒng)計(jì)中與已有的方法相比，具有適用范圍廣、算法簡(jiǎn)便的特點(diǎn)，可為流通統(tǒng)計(jì)提供一種有效的方法。同時(shí)，這種方法可以推廣應(yīng)用到圖書館的其他統(tǒng)計(jì)工作中。計(jì)算中也發(fā)現(xiàn)，使用最大熵方法時(shí)也需注意以下問(wèn)題：樣本量選取不宜太小，太小將不能完全反映樣本各階矩的特性；積分限選取比較重要；初始值選擇不合適將影響算法的收斂性和收斂速度。此外，如何考慮一些不確定因素、邊界條件不穩(wěn)定等情況對(duì)借閱量統(tǒng)計(jì)分析的影響，也是需要研究的課題。

[1] 王?。咝D書館流通系統(tǒng)讀者分布分析及假設(shè)檢驗(yàn)[J]．情報(bào)探索，2008（12）：100-102.

[2] 蔡智澄，張根彬．圖書館流通系統(tǒng)讀者分布密度及回歸分析．情報(bào)業(yè)務(wù)研究，2004（3）：114-115.

[3] 武晉媛．以流通統(tǒng)計(jì)分析驗(yàn)證館藏結(jié)構(gòu)的合理性[J]．晉圖學(xué)刊，2009（3）：57-59.

[4] 吳乃龍，袁素云.最大熵方法.長(zhǎng)沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社，1991.

[5] 俞禮軍，嚴(yán)海，嚴(yán)寶杰．最大熵原理在交通流統(tǒng)計(jì)分布模型中的應(yīng)用[J]．交通運(yùn)輸工程學(xué)報(bào)，2001（3）：91-94.

[6] 高翔，鄭建祥．基于最大熵概念的復(fù)雜隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)模型[J]．農(nóng)業(yè)機(jī)械學(xué)報(bào)，2008（2）：43-46.尹曉旭 女，1961年生。館員，主要研究方向：圖書館學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)。