皮道銳 黃元申 張大偉 倪爭(zhēng)技 莊松林

(上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200093)

寬光譜平像場(chǎng)全息凹面光柵的優(yōu)化研究＊

皮道銳 黃元申?張大偉 倪爭(zhēng)技 莊松林

(上海理工大學(xué)光電信息與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院,上海 200093)

(2009年2月27日收到;2009年5月14日收到修改稿)

基于凹面光柵的幾何理論,推導(dǎo)了子午、弧矢聚焦曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式和全息平像場(chǎng)凹面光柵制作參數(shù)的計(jì)算關(guān)系式.提出了一種新的在整個(gè)使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)同時(shí)消除子午和弧矢像差的最佳優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.這種方法不同于以光線追跡技術(shù)為基礎(chǔ)的標(biāo)準(zhǔn)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件如CODE V或ZEMAX的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,而是從數(shù)學(xué)表達(dá)式出發(fā),采用光柵優(yōu)化因子,對(duì)凹面光柵的子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進(jìn)行擬合,從理論上找到最佳的能夠使子午和弧矢像差同時(shí)趨于零的像平面,然后再根據(jù)擬合參數(shù)設(shè)計(jì)制作光柵.用Matlab軟件解決了子午聚焦曲線超越方程無(wú)法解的困難;討論了不同光柵常數(shù)和入射角度時(shí)對(duì)兩聚焦曲線擬合程度的影響.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過(guò)減小入射角度和光柵刻線數(shù)來(lái)提高光譜像質(zhì).

凹面光柵,寬光譜,像差,聚焦曲線

PACC:4240E,0765E

1.引言

全息凹面光柵同時(shí)具有分光和聚焦光學(xué)元件的特性,廣泛應(yīng)用于各種光譜分析儀器中,而其中應(yīng)用最廣泛的是平像場(chǎng)全息凹面光柵.這種光柵的光譜連續(xù)分布在一個(gè)平面上,非常適合與面陣探測(cè)器結(jié)合使用,達(dá)到高速分析的目的,并實(shí)現(xiàn)儀器的小型化和輕型化.自Rowland提出凹面光柵以來(lái),凹面光柵理論得到了不斷的發(fā)展[1—5].1945年, Beutler[6]總結(jié)并建立了使用條件在Rowland圓上的凹面光柵理論,消除了子午像差,但其缺點(diǎn)是像點(diǎn)在遠(yuǎn)離凹面球心時(shí)具有較大的弧矢像差.20世紀(jì)70年代,Namioka等[7]建立了比較完善的凹面光柵幾何理論,適用于各種全息和機(jī)刻凹面光柵[8,9].文獻(xiàn)[10—12]對(duì)一些特殊的非球面凹面光柵進(jìn)行了理論研究.在過(guò)去的幾十年里,以這些理論為基礎(chǔ),采用各種優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,制作了大量全息凹面光柵,如文獻(xiàn)[13]用幾何光學(xué)方法計(jì)算優(yōu)化球面光柵以及非球面光柵,文獻(xiàn)[14]用最小二乘法計(jì)算優(yōu)化全息凹面光柵,文獻(xiàn)[15]用全息補(bǔ)償法優(yōu)化像差.近年來(lái)為滿足面陣光譜探測(cè)器使用和遙感圖像等二維圖像信息分析的需要[16],對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有寬光譜平像場(chǎng)的全息凹面光柵提出了要求[17].目前全息凹面光柵的設(shè)計(jì)方法主要有兩種,一種是采用標(biāo)準(zhǔn)的光學(xué)設(shè)計(jì)軟件CODE V或ZEMAX進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),它們是根據(jù)光線追跡的點(diǎn)列圖評(píng)價(jià)像差然后逐步優(yōu)化逼近的思路進(jìn)行設(shè)計(jì)的,不能達(dá)到在全部使用的波長(zhǎng)范圍內(nèi)同時(shí)消除子午和弧矢像差的目的.另一種方法是將入射狹縫放置在球心位置,入射角為0°,臆斷這種條件下子午聚焦曲線最接近像平面.

本文以凹面光柵的幾何理論為基礎(chǔ),提出了一種新的能夠在全部使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)同時(shí)消除子午和弧矢像差,適合寬光譜平像場(chǎng)全息凹面光柵的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.這個(gè)方法是采用光柵優(yōu)化因子,先在Matlab軟件平臺(tái)上對(duì)全息凹面光柵子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進(jìn)行擬合,即在擬合的像平面上子午和弧矢像差同時(shí)趨于零,然后再根據(jù)擬合參數(shù)設(shè)計(jì)制作光柵,并且討論了不同光柵常數(shù)和入射角度對(duì)擬合的影響程度.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過(guò)減小入射角度和光柵刻線數(shù)來(lái)提高光譜像質(zhì).

2.全息凹面光柵的像差理論

如圖1所示,凹面光柵垂直水平面放置,O為凹面光柵中心,x軸為光柵表面法線,xy平面平行于水平面.光柵面曲率半徑為R.考慮到大多數(shù)光柵裝置的入縫都是垂直并對(duì)稱于xy平面的,為了簡(jiǎn)化問(wèn)題,選擇入縫中點(diǎn)來(lái)建立光程函數(shù).假定波長(zhǎng)為λ的光線從入縫中點(diǎn)A(rAcosα,rBcosα,0)經(jīng)光柵表面上任意點(diǎn)P(x,y,z)衍射到像點(diǎn)B(rBcosβ,rBsinβ, 0),則光線APB的光程函數(shù)為

其中k為光柵衍射級(jí)次,m為P點(diǎn)到O點(diǎn)的刻線數(shù).對(duì)上式進(jìn)行冪級(jí)數(shù)展開(kāi)

其中,

光柵函數(shù)m(y,z)是一個(gè)表示凹面光柵表面刻線分布的函數(shù),其m(0,0)=0,并可以展開(kāi)成以下冪級(jí)數(shù)形式:

其中e0是光柵中心處刻線間隔,uij為常數(shù),定義為優(yōu)化因子.m(y,z)的整數(shù)值就是P點(diǎn)到O點(diǎn)的刻

由(2)和(4)式并應(yīng)用費(fèi)馬原理得

圖1 全息平場(chǎng)凹面光柵光路

其中

顯然凹面光柵理想成像時(shí),光程函數(shù)F≡0,即要求所有Fij≡0,但是無(wú)論怎樣選擇uij值都不可能滿足這個(gè)要求.每一項(xiàng)Fij≠0代表一種像差.所謂消除凹面光柵像差只是在一定程度上消除某些項(xiàng)的像差.令

那么在一定的使用波長(zhǎng)范圍(λ1—λ2)內(nèi),消除Fij項(xiàng)的像差就是對(duì)Iij求最小值.將(6)式代入(7)式并將Iij對(duì)uij求導(dǎo)可以得到

其中β1=arcsin(kλ1/e0-sinα),β2=arcsin(kλ2/e0-sinα).

優(yōu)化因子uij確定以后,凹面光柵的刻線分布m(y,z)也就確定了,即設(shè)計(jì)了滿足使用條件的,同時(shí)消除了某些項(xiàng)像差的凹面光柵.

3.全息凹面光柵的點(diǎn)光源制作設(shè)計(jì)

如圖1所示,C,D是兩個(gè)在xy平面上制作點(diǎn)光源,光線CO,DO的長(zhǎng)度分別為r1和r2,與x軸的夾角為θ1和θ2,λ0為制作激光的波長(zhǎng).那么

將其展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)得

其中,

顯然全息凹面光柵的刻線分布由記錄點(diǎn)光源的四個(gè)位置參數(shù)(r1,r2,θ1,θ2)和激光波長(zhǎng)λ0決定.比較(4)和(10)式,雖然形式相同,但前者中的uij值可以任意選擇,通過(guò)某一種選擇獲得最佳刻線分布;后者是由兩個(gè)點(diǎn)光源形成的刻線函數(shù),Hij由四個(gè)記錄參數(shù)確定.為了使點(diǎn)光源制作后的光柵具有最佳刻線分布,必須滿足

由(12)式可知通過(guò)調(diào)整Hij中包含的四個(gè)制作參數(shù),最多可以滿足四個(gè)uij的取值要求.聯(lián)立四個(gè)方程,解出四個(gè)制作參數(shù),用這組參數(shù)制作出的光柵就能夠滿足四個(gè)uij值.

4.全息凹面光柵的優(yōu)化設(shè)計(jì)

因?yàn)榈图?jí)像差比高級(jí)像差對(duì)像質(zhì)的影響大,所以消像差主要是消除y2和z2項(xiàng)的像差,即要找到能夠使F20和F02都趨于零的像平面.y2項(xiàng)代表子午像差;z2項(xiàng)代表弧矢像差.方程F20=0和F02=0中包含參數(shù)rA,rB,α,β和u20或u02,其中rA,α是入縫位置參數(shù),rB,β是像面位置參數(shù),u20和u02為優(yōu)化因子.在入縫位置和優(yōu)化因子確定以后,它們是關(guān)于像面位置參數(shù)的兩條曲線,F20rB,β=M20-u20M10=0稱為子午聚焦曲線,曲線上子午像差為零;稱為弧矢聚焦曲線,曲線上弧矢像差為零.因此可以用優(yōu)化因子和入縫位置參數(shù)來(lái)優(yōu)化設(shè)計(jì)凹面光柵,找到子午和弧矢聚焦曲線擬合的像平面.

對(duì)凹面光柵的分類,本文采用大多數(shù)文章的提法,即法國(guó)Jobin-Yvon公司的分類方法,將光柵分為Ⅰ—Ⅳ型凹面光柵.本文討論的平像場(chǎng)光柵即為Ⅲ型凹面光柵,其規(guī)定為

根據(jù)點(diǎn)光源制作條件,選取四個(gè)uij分別為u10,u02,u30=0,u20≠0,那么這種平像場(chǎng)凹面光柵的弧矢聚焦曲線為

子午聚焦曲線為

擬合的方法就是通過(guò)u20值來(lái)使子午聚焦曲線最大限度地接近像平面.

由(8)式得

u20和方程(14)都與rA,α和rB,β以及波長(zhǎng)范圍(λ1—λ2)和刻線數(shù)1/e0有關(guān),但是滿足u20的像面參數(shù)rB, β不一定滿足方程(14).因此我們可以通過(guò)改變?nèi)肟p位置參數(shù)rA,α或在滿足使用條件的情況下改變刻線數(shù)1/e0來(lái)擬合子午和弧矢聚焦曲線.方程(14)是一個(gè)超越方程,采用一般的方法無(wú)法求解.這部分工作我們用計(jì)算機(jī)仿真模擬,在確定使用條件以后,對(duì)α在[-90,0]內(nèi)賦值,不同的α值對(duì)應(yīng)的兩條聚焦曲線的擬合度不一樣,直到找到最佳擬合時(shí)的u20值,再根據(jù)這個(gè)u20值計(jì)算出制作參數(shù).用這樣的制作參數(shù)制作的全息凹面光柵,可以達(dá)到在寬光譜使用的平像場(chǎng)平面內(nèi)同時(shí)消除子午和弧矢像差.

5.計(jì)算機(jī)仿真模擬及結(jié)果分析

圖2 光柵刻線數(shù)為1200 g/mm,波長(zhǎng)范圍為190—400 nm時(shí),不同入射角度對(duì)像差的影響 (a)入射角為0°,(b)入射角為10°,(c)入射角為20°

如圖2—4所示,實(shí)線為使用條件下入射光線,帶正方形標(biāo)記和帶三角標(biāo)記的實(shí)線之間為-1級(jí)衍射光的使用波長(zhǎng)范圍,點(diǎn)虛線為子午聚焦曲線及其漸近線,圓點(diǎn)線為弧矢聚焦曲線,同時(shí)將像平面放在這個(gè)平面上,(0,0)為凹面光柵中心.這些圖給出了在不同的入射角度、刻線數(shù)時(shí),使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)子午和弧矢聚焦曲線的擬合情況.

5.1.不同入射角度對(duì)像差的影響

圖2的凹面光柵光柵刻線數(shù)為1200 g/mm,使用波長(zhǎng)范圍為190—400 nm.入射角度分別為0°, 10°,20°.0°時(shí),子午聚焦曲線斜率與弧矢聚焦像平面相差較大;10°時(shí),很好地?cái)M合在一起,而20°時(shí),只有一個(gè)交點(diǎn),其余均有很大的像差.可見(jiàn)0°入射并非是最佳設(shè)計(jì),臆斷這種條件下子午聚焦曲線最接近像平面是不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?假如采用根據(jù)點(diǎn)列圖的評(píng)價(jià)不斷優(yōu)化的設(shè)計(jì)方法,很難找到在全部使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)同時(shí)消除子午弧矢像差的最佳設(shè)計(jì).

5.2.光柵刻線數(shù)恒定時(shí)寬光譜范圍的像差修正

圖3的凹面光柵光柵刻線數(shù)為1200 g/mm,使用波長(zhǎng)范圍為190—600 nm.由于光譜范圍擴(kuò)大,子午聚焦曲線的對(duì)應(yīng)的優(yōu)化因子u20也隨之增大,增大了子午聚焦曲線在使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)的斜率,像差也隨之增大.圖3(a)與圖2(a)相比具有更為嚴(yán)重的像差;如圖3(c)入射角度在20°時(shí),548—600 nm波長(zhǎng)范圍的光波成為倏逝波,而且在整個(gè)190—548 nm的波長(zhǎng)范圍內(nèi)比圖2(c)有更大的像差.如圖3 (b)入射角度在10°時(shí),靠近長(zhǎng)波長(zhǎng)區(qū)域比短波長(zhǎng)區(qū)域有更大的像差,而且曲線與圖2(c)相仿,說(shuō)明使用波長(zhǎng)范圍越寬,入射角度應(yīng)該越小,具有更好的像質(zhì),因?yàn)槿肷浣嵌仍酱?子午聚焦曲線對(duì)應(yīng)的優(yōu)化常數(shù)u20越大,使用波長(zhǎng)范圍越小.如圖3(d),入射角度為5°時(shí)修正了圖3(b)中長(zhǎng)波長(zhǎng)區(qū)域的像差,但由于光譜像面太長(zhǎng),無(wú)法找到一個(gè)合適的入射角度達(dá)到理想擬合的目的,圖3(d)的像差仍比較嚴(yán)重.

圖3 光柵刻線數(shù)為1200 g/mm,在寬光譜范圍內(nèi)(190—600 nm),不同入射角度下對(duì)像差的修正 (a)入射角為0°,(b)入射角為10°,(c)入射角為20°,(d)入射角為5°

5.3.光柵刻線數(shù)的改變對(duì)像差的影響

圖4(a),(b)的凹面光柵光柵刻線數(shù)為900 g/mm,圖4(c),(d)的凹面光柵光柵刻線數(shù)為1400 g/mm,它們的使用波長(zhǎng)范圍均為190—600 nm.

根據(jù)(8)式可知,當(dāng)光柵刻線數(shù)減小時(shí),衍射角度也隨之減小,光譜像面長(zhǎng)度變短,有利于修正像差,但這會(huì)降低凹面光柵的分辨率.在對(duì)分辨率要求不高的光譜器件中,我們可以適當(dāng)?shù)販p小光柵的光柵刻線數(shù)來(lái)修正像差.如圖4(a),(b)與圖2 (a),(b)相比擴(kuò)大了使用波長(zhǎng)范圍,同時(shí)減小了光柵的刻線數(shù),結(jié)果子午聚焦曲線的變化趨勢(shì)一致,在入射角度為10°時(shí)像差較小.說(shuō)明在寬光譜使用時(shí),可以通過(guò)減小刻線數(shù)來(lái)提高像質(zhì),如圖4(c), (d)與圖2(a),(b)相比增加了刻線數(shù),像差更加嚴(yán)重.

6.點(diǎn)列圖評(píng)價(jià)

文獻(xiàn)[18]對(duì)凹面光柵的光線追跡進(jìn)行了詳細(xì)闡述和推導(dǎo),據(jù)此編制了凹面光柵的評(píng)價(jià)程序,對(duì)以上各種設(shè)計(jì)情況進(jìn)行點(diǎn)列圖評(píng)價(jià),如圖5—7所示,發(fā)現(xiàn)兩條聚焦曲線擬合程度好的點(diǎn)列圖是最佳的.

7.結(jié)論

本文以凹面光柵的幾何理論為基礎(chǔ),提出了一種新的在整個(gè)使用波長(zhǎng)范圍內(nèi)同時(shí)消除子午和弧矢像差的最佳優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.從光程函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)出發(fā),采用光柵優(yōu)化因子,對(duì)凹面光柵的子午聚焦曲線和弧矢聚焦曲線進(jìn)行擬合,從理論上找到最佳的能夠使子午和弧矢像差同時(shí)趨于零的像平面,然后再根據(jù)擬合參數(shù)設(shè)計(jì)制作光柵.討論了不同光柵常數(shù)和入射角度時(shí)對(duì)兩聚焦曲線擬合程度的影響.提出了在寬光譜使用條件下,可以通過(guò)減小入射角度和光柵刻線數(shù)來(lái)提高光譜像質(zhì).

圖4 寬光譜范圍內(nèi)(190—600 nm),光柵刻線數(shù)改變對(duì)像差的影響 (a)入射角為0°,刻線數(shù)為900 g/mm;(b)入射角為10°,刻線數(shù)為900 g/mm;(c)入射角為0°,刻線數(shù)為1400 g/mm;(d)入射角為10°,刻線數(shù)為1400 g/mm

圖5 對(duì)應(yīng)圖2的點(diǎn)列圖 (a),(b),(c)分別對(duì)應(yīng)圖2(a),(b),(c)

圖6 對(duì)應(yīng)圖3的點(diǎn)列圖 (a),(b),(c),(d)分別對(duì)應(yīng)圖3(a),(b),(c),(d)

圖7 對(duì)應(yīng)圖4的點(diǎn)列圖 (a),(b),(c)(d)分別對(duì)應(yīng)圖4(a),(b),(c),(d)

[1]Noda H,Namioka T,SeyaM 1974Opt.Soc.Am.64 1031

[2]Bayanheshig,Zhu H C 2007Acta Phys.Sin.56 4982(in Chinese)[巴音賀希格、朱洪春2007物理學(xué)報(bào)56 4982]

[3]DubanM 1999Appl.Opt.38 4019

[4]CashW 1995Appl.Opt.34 2241

[5]DubanM 1999Appl.Opt.38 3443

[6]Beutler H G 1945Opt.Soc.Am.35 311

[7]Noda H,Namioka T,SeyaM 1974Opt.Soc.Am.64 1043

[8]Zhou C H,WangL,Wang Z H 2001Acta Phys.Sin.50 1046 (in Chinese)[周傳宏、王 磊、王植恒2001物理學(xué)報(bào)50 1046]

[9]Wang C H,LiuL R,YanAM,Zhou Y,LiuD A,Hu ZJ 2007 Chin.Phys.16 100

[10]Webster C,Cash J 1984Appl.Opt.23 4518

[11]DubanM 1987Appl.Opt.26 4263

[12]Namioka T,KoikeM,ContentD 1994Appl.Opt.33 7261

[13]Namioka T 1959Opt.Soc.Am.49 446

[14]SeyaM,WatanabeM 1980Opt.Soc.Am.70 305

[15]Bazhanov YV 2004Opt.Technol.71 10

[16]KongW J,YunM J,Sun X,Liu J H,Fan Z X,Shao J D 2008 Acta Phys.Sin.57 4904(in Chinese)[孔偉金、云茂金、孫欣、劉均海、范正修、邵建達(dá)2008物理學(xué)報(bào)57 4904]

[17]KhaterM A,Costello J T,Kennedy E T 2002Appl.Spectros.56 970

[18]Noda H,Namioka T,Seya M1974Opt.Soc.Am.64 1037

PACC:4240E,0765E

Opt im ization of the flat-field holographic concave grating in wide spectral range＊

Pi Dao-Rui Huang Yuan-Shen?ZhangDa-Wei Ni Zheng-Ji Zhuang Song-Lin

(School of Optical-Electrical and Computer Engineering,University of Shanghai for Science and Technology,Shanghai 200093,China)

27 February 2009;revised manuscript

14 May 2009)

Based on the geometric theory of concave grating,we deduce the mathematical expressions of the meridional curve, Sagittal curve and the relational expression for the holographic flat-field image concave grating.We also propose a new optimal method in all used range for correcting the meridional and sagittal aberrations.Different from the design method using CODE V or ZEMAX,we use mathematical expression and adopt grating optimal factor instead.By fitting the meridional focusing curve and Sagittal focusing curve of concave grating,we find an image surface in theory to ensure that the meridional and also the Sagittal aberrations tend to zero,and then design and fabricate the grating based on the fitting parameters.We solve the problem that the meridional curve transcendental equation cannot solve byMatlab,and discuss the influence of two curves for different grating constants and different incidence angles.We find that the aberrations in a wide spectral range can be corrected by diminishing the incidence angle and increasing the grating scribed lines.

concave grating,wide spectral range,aberration,focusing curve

＊國(guó)家科技支撐計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):2006BAK03A03)、上海市科委創(chuàng)新行動(dòng)計(jì)劃(批準(zhǔn)號(hào):07DZ22026,08DZ2272800)和上海市自然科學(xué)基金(批準(zhǔn)號(hào):08ZR1415400)資助的課題.

?通訊聯(lián)系人.E-mail:hyshyq@sina.com

＊Project supported by the National Key Technology Research and Development Program of theMinistry of Science and Technology of China(Grant No.2006BAK03A03),the Shanghai Science&Technology Innovation Program,China(Grant Nos.07DZ22026,08DZ2272800),and the Natural Science Foundation of Shanghai,China(GrantNo.08ZR1415400).

?Corresponding author.E-mail:hyshyq@sina.com