王凌云

(山東服裝職業(yè)學(xué)院科研所,山東泰安 271000)

三次B樣條反求控制點(diǎn)

王凌云

(山東服裝職業(yè)學(xué)院科研所,山東泰安 271000)

反求工程作為復(fù)雜工業(yè)產(chǎn)品設(shè)計(jì)與制造的重要技術(shù)手段之一,深受CAD/CAM領(lǐng)域的廣泛重視,特別是自由曲面重構(gòu)技術(shù)作為復(fù)雜曲面產(chǎn)品反求工程中的“瓶頸”問題,是今后一個(gè)時(shí)期的研究熱點(diǎn).反求工程中最為關(guān)鍵的技術(shù)就是曲面重構(gòu)技術(shù).目前主要有兩大重構(gòu)方法:NURBS曲面重構(gòu)和三角Bezier曲面重構(gòu).本文圍繞NURBS曲面重構(gòu)展開研究,提出一種反算三次B樣條曲線、曲面控制頂點(diǎn)的簡(jiǎn)便算法.該算法適用于準(zhǔn)均勻和非均勻B樣條曲線、曲面的反算.算法采用非節(jié)點(diǎn)邊界條件,不需要由用戶提供,從而使反算過程得以簡(jiǎn)化.

反求工程;非均勻有理B樣條;型值點(diǎn);控制點(diǎn)

0 引言

在CACG實(shí)踐中,常遇到要求構(gòu)造插值曲線和插值曲面,以用于已有曲線曲面的形狀表示.NURBS方法為標(biāo)準(zhǔn)解析形式的初等曲線曲面和自由型曲線曲面的精確表示和設(shè)計(jì)提供了一個(gè)公共的數(shù)學(xué)表示,有操縱控制頂點(diǎn)及權(quán)因子,為各種形狀設(shè)計(jì)提供了充分的靈活性,由于非均勻有理B樣條(NURBS)可以精確表示解析形狀和自由曲線曲面,國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)組織于1991年把NURBS作為表示工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的工業(yè)標(biāo)準(zhǔn).

NURBS曲線曲面在實(shí)際應(yīng)用中可以分為兩種形式:一種是已知控制點(diǎn)求解曲線曲面上的點(diǎn),稱為正算問題.另一種情況是已知曲線曲面上的型值點(diǎn),求解曲線曲面的控制點(diǎn),稱為反算問題.在實(shí)際應(yīng)用中,常常是給出一組離散的型值點(diǎn),要求構(gòu)造通過該型值點(diǎn)的曲線曲面,即所謂的曲線曲面插值.文中只討論三次NURBS曲線問題,給出反算控制點(diǎn)的方法.

1 反算三次B樣條插值曲線的控制頂點(diǎn)

1.1 B樣條基礎(chǔ)知識(shí)

B樣條方法是以距離加權(quán)插值法為基礎(chǔ),以數(shù)據(jù)點(diǎn)為型值點(diǎn)反求其控制點(diǎn),然后將B樣條曲面看作是兩個(gè)不同方向的B樣條曲線的直積,避免復(fù)雜的矩陣運(yùn)算.B條曲面由于其本身具有的跨界曲率自連續(xù)性使得曲面片間的光順性問題得以簡(jiǎn)化.

其中di(i=0,1,…,n)為控制頂點(diǎn),又成為德布爾點(diǎn),順序連成的折線又稱為B樣條控制多邊形, Ni,k(u)(i=0,1,…,n)稱為規(guī)范k次B樣條基函數(shù),是由節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+k+1]按Cox-De Boor遞推公式定義的k次規(guī)范B樣條基函數(shù),表示如下:

按照如上定義,在定義式中取k=3就是一條三次NURBS曲線的數(shù)學(xué)表達(dá)式.一般常用的是非均勻有理B樣條,它采用非均勻節(jié)點(diǎn)矢量,并在兩端點(diǎn)處采用重節(jié)點(diǎn)技術(shù),使得曲線嚴(yán)格地插值于首末端點(diǎn),工程中,一般三次B樣條曲線曲面己經(jīng)能滿足實(shí)際的需求了.

1.2 B樣條曲線反算的一般過程

a)根據(jù)型值點(diǎn)的分布趨勢(shì),構(gòu)造非均勻節(jié)點(diǎn)矢量. b)應(yīng)用計(jì)算得到的節(jié)點(diǎn)矢量構(gòu)造非均勻B樣條基. c)構(gòu)建控制點(diǎn)反算的系數(shù)矩陣.

d)建立控制點(diǎn)反算方程組,求解控制點(diǎn)列.其中,B樣條基函數(shù)的求值是關(guān)鍵.

1.2.1 假設(shè)規(guī)定

為使一k次B樣條曲線通過一組數(shù)據(jù)點(diǎn)qi(i=0,1,…,m),反算過程一般地使曲線的首末端點(diǎn)分別和首末數(shù)據(jù)點(diǎn)一致,使曲線的分段連接點(diǎn)分別依次與B樣條曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).即qi點(diǎn)有節(jié)點(diǎn)值uk+i(i=0,1,…,m).

1.2.2 三次B樣條插值曲線節(jié)點(diǎn)矢量的確定

曲線控制點(diǎn)反算時(shí)一般使曲線的首末端點(diǎn)分別與首末型值點(diǎn)一致,型值點(diǎn)pi(i=0,1,…,n)將依次與三次NURBS曲線定義域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).三次NURBS插值曲線將由n+3個(gè)控制點(diǎn)di(i= 0,1,…,n+2)定義,相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)矢量為U=[u0,u1,…,un+6].為確定與型值點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的參數(shù)值ui+3(i=0,1,…,n),需對(duì)型值點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化處理.選擇ui一般采取以下方法:

(1)均勻參數(shù)化法:

1.2.3 反算三次B樣條曲線的控制頂點(diǎn)

給定n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)pi,i=0,1,…,n.通常的算法是將首末數(shù)據(jù)點(diǎn)p0和pn分別作為三次B樣條插值曲線的首末端點(diǎn),把內(nèi)部數(shù)據(jù)點(diǎn)p1,p2,…,pn-1依次作為三次B樣條插值曲線的分段連接點(diǎn),則曲線為n段.因此,所求的三次B樣條插值曲線的控制頂點(diǎn)bi,i=0,1,…,n+2應(yīng)為n+3個(gè).節(jié)點(diǎn)矢量U=[u0,u1,…,un+6],曲線定義域u∈[u3,un+3].B樣條表達(dá)式是一個(gè)分段的矢函數(shù),并且由于B樣條的局部支撐性,一段三次B樣條曲線只受4個(gè)控制點(diǎn)的影響,下式表示了一段B樣條曲線的一個(gè)起始點(diǎn):

式中ui+3為起始點(diǎn)的參數(shù)值,i∈[0,m-4],通過該式可獲得m-3個(gè)分段曲線的起始點(diǎn).由于采用了重節(jié)點(diǎn)技術(shù),末端型值點(diǎn)與控制點(diǎn)重合,則p0=V0;pm-3=Vm-1.則反求控制點(diǎn)方程組如下:

該方程組有m個(gè)未知數(shù)Vj,而方程的個(gè)數(shù)是m-2個(gè).為此,還需補(bǔ)充兩個(gè)端點(diǎn)條件:對(duì)于C2連續(xù)的三次B樣條閉曲線,因?yàn)槭啄?shù)據(jù)點(diǎn)相重,q0=qm,不計(jì)重復(fù),方程減少一個(gè),又首末三個(gè)控制點(diǎn)依次相重,即dn-2=d0,dn-1=d0,dn=d2;未知控制點(diǎn)的數(shù)目減少了三個(gè),所以方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)相同,上述線性方程組可改寫成如下矩陣形式,

解方程,即可求出全部控制點(diǎn).

對(duì)于B樣條開曲線以及不要求在相重的首末數(shù)據(jù)點(diǎn)q0=qm處C2連續(xù)的三次B樣條B曲線,n-1個(gè)方程不足以決定其包含的n+1個(gè)未知控制頂點(diǎn),還必須增加兩個(gè)通常由邊界條件給定的附加方程,這樣求解三次B樣條控制頂點(diǎn)的線性方程組可以寫成如下矩陣形式.

2 B樣條曲面的重構(gòu)

2.1 B樣條曲面重構(gòu)

對(duì)于B樣條曲面的重構(gòu),實(shí)際上就是已知型值點(diǎn)Qij(i=0,1,…,m;j=0,1,…,n);求相應(yīng)均勻雙三次B樣條曲面的控制點(diǎn)陣pij(i=-1,0,1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1)具體的方法就是:

1)對(duì)u向的n+1組型值點(diǎn),按照B樣條曲線的邊界條件及反算公式,求得由n+1組B樣條曲線構(gòu)成的控制多邊形,這里每條曲線均要加兩個(gè)邊界條件,故會(huì)得到(m+3)＊(n+1)個(gè)特征網(wǎng)格控制點(diǎn)Vij(i=-1,0,1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1).

2)把Vij看作是v向的(m+3)次B樣條曲線反算,即可得到雙三次B樣條曲面的控制點(diǎn)pij(i=-1,0, 1,…,m+1;j=-1,0,1,…,n+1).如果從0開始算點(diǎn),pij(i=0,1,…,m+2;j=0,1,…,n+2).

2.2 插值曲面的光順性問題

利用上述方法得到的曲面,在片內(nèi)滿足C2連續(xù),但在片間的公共邊界以及多個(gè)片相交的角點(diǎn)處,只滿足了位置連續(xù),需要進(jìn)行光順處理.

光順方法大體上可以分為兩大類:局部光順法和整體光順法.局部光順法只是對(duì)少數(shù)“壞點(diǎn)”進(jìn)行修改,具有較強(qiáng)的局部修改能力,并且計(jì)算速度快,但是“壞點(diǎn)”較多時(shí)光順的效果不理想;整體光順法是對(duì)全部型值點(diǎn)進(jìn)行修改,曲面整體光順效果較為理想,但計(jì)算量大,收斂速度慢.光照反射特性法屬于整體光順法,通過反射線來檢查曲面的光順性.能量法是典型的整體光順法,使曲面的整體能量在一定的約束條件下達(dá)到最小.但是用能量法光順曲面,不論原來的曲面是什么形狀,光順后的曲面趨于向平面變化,導(dǎo)致曲面變形,而且計(jì)算速度受控制頂點(diǎn)個(gè)數(shù)的限制,不適合處理大量數(shù)據(jù).小波分析法是將曲面分解為低分辨率曲面和細(xì)節(jié)曲面,分解次數(shù)越多,曲面越光順.分解算法和重構(gòu)算法速度快,適合大數(shù)據(jù)量曲面光順.無論采用哪種方法,要達(dá)到所有截面曲線和控制曲線都光順不是輕而易舉的,要求設(shè)計(jì)員擁有相當(dāng)?shù)慕?jīng)驗(yàn)積累和理論基礎(chǔ),經(jīng)過耐心細(xì)致艱巨的工作才能實(shí)現(xiàn).

曲面的光順問題迄今沒有得到圓滿的解決,人們期待在這方面得到突破性的進(jìn)展.

3 結(jié)論

在反算控制點(diǎn)過程中,用的參數(shù)化方法不同,最后的結(jié)果也有差別,比較而言采用積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法最合適.均勻參數(shù)化方法比較適合于數(shù)據(jù)點(diǎn)多邊形各邊接近相等的場(chǎng)合.積累弦長(zhǎng)參數(shù)化法如實(shí)反映了數(shù)據(jù)點(diǎn)按弦長(zhǎng)的分布情況,一直被認(rèn)為是最佳參數(shù)化法.它克服了數(shù)據(jù)點(diǎn)按弦長(zhǎng)分布不均勻情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題.向心參數(shù)化方法考慮了數(shù)據(jù)點(diǎn)相鄰弦線的折拐情況,當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)有急劇拐彎時(shí),這種方法效果很好.所以,在實(shí)際應(yīng)用中要根據(jù)數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布情況選擇合適的參數(shù)化方法來反算控制點(diǎn).本文給出了一種反算三次B樣條插值曲線和雙三次B樣條插值曲面控制頂點(diǎn)的簡(jiǎn)便算法.其實(shí)踐證明:該算法穩(wěn)定可靠,速度較快,結(jié)果也能令人滿意.當(dāng)用戶對(duì)邊界條件無特殊要求時(shí),適合采用本算法.

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Ca lcula ting Con trol Poin tsof NURBS

WANG Ling-yun
(Institute of Scien tific Research,Shandong Fashion College,Tai’an,271000,China)

Reverse engineering(RE)is a key techno logy of advancedm anufac tu ring.A sone of im po rtan t technicalways to design andm anufacture comp lex industrialp roducts,reverse engineering is taken into a accountw idely in the field of CAD/CAM.Especially,free-form surface reconstruction is a challenging task andw ill catchmore attention in futurewo rk.Surface reconstruction is themost important techno logy in RE. There are two p revailing su rface reconstruc tionm ethods.They are NURBS su rface reconstruc tionm ethod and triangle surface reconstructionm ethod.This thesism akes som e researchwork on NURBS surface reconstruction.Our paper p roposed a simp lem ethod which can calcu late the contro l points in NURBS curves and surfaces.This arithm etic app lies to quasi-unifo rm B-sp line and non-unifo rm B-sp line.The arithm etic uses non-node boundary cond itions and does no t need in terac tion,w hich can simp lify the operation p rocess.

reverse engineering;non-unifo rm B-sp line;characteristic point;con tro lpoints

TP301.6

A

1672-2590(2010)03-0040-04

2010-04-06

王凌云(1970-),女,山東泰安人,山東服裝職業(yè)學(xué)院科研所講師.