翟廣鵬 李娜

（山東省莘縣供電公司,山東莘縣252400）

有窮非整數級亞純函數的唯一性定理

翟廣鵬 李娜

（山東省莘縣供電公司,山東莘縣252400）

本文利用Nevanlinna基本定理，得到一個關于有窮非整數級亞純函數的唯一性定理，推廣了現有的結果。

亞純函數；分擔值；唯一性

1.引言

整函數與亞純函數是函數論的一大分支，值分布理論是整函數與亞純函數所研究的主要內容之一，而函數的唯一性理論是值分布理論的一個重要研究方向.我國數學界在值分布論的研究中，在二十世紀三四十年代，熊慶來、李國平、莊圻泰等老前輩就做出了許多獨創(chuàng)的成果。近二三十年來，我國著名的數學家楊樂、張廣厚、顧永興、陳懷惠、儀洪勛等也在這方面研究獲得了許多新進展，在國際上走在前列［1-16］。在本文，我們首先介紹了研究亞純函數的唯一性理論的重要工具—Nevanlinna基本理論，以及現有的成果，最終得到了兩個關于有窮非整數級亞純函數的唯一性定理。

首先給出標記符號：標記符號［1］設f（z）與g（z）與為非常數亞純函數，a為任意復數.再設f（z）-a的零點為zn（n=1，2，…）。如果zn（n=1，2，…）也是g（z）-a的零點（不計重級），則記為f=a?g=a或g=a?f=a.如果zn（n=1，2，…）是f（z）-a的v（zn）重零點時，zn（n=1，2，…）也是g（z）-a的至少v（zn）重零點，則記為f=a→g=a或g=a←f=a.因此f=a?g=a表示f（z）-a與g（z）-a的零點相同（不計重級），f=∞?g=∞表示f（z）與g（z）的極點相同（不計重級）。f=a?g=a表示f（z）-a與g（z）-a零點相同，而且每個零點的重級也相同，f=∞?g=∞表示f（z）與g（z）的極點相同而且每個極點的重級也相同.

定義1.1［1］設f（z）與g（z）為非常數亞純函數，a為任意復數.

i）如果f=a?g=a，則稱a為f（z）與g（z）的CM公共值.（也稱f（z）與g（z）CM分擔a［12］）

ii）如果f=a?g=a，則稱a為f（z）與g（z）與的IM公共值.（也稱f（z）與g（z）IM分擔a［12］）

iii）如果a為f（z）與g（z）的IM公共值，并且f（z）-a與g（z）-a的所有零點的重級均不相同，則稱a為f（z）與g（z）的DM公共值.

1.2［2］設k是一個非負整數或∞，a∈c，Ek（a，f）表示f-a的所有零點，當零點的重數m≤k，計m次；若m＞k，則計k+1次，如果Ek（a，f）=Ek（a，g），那么稱f與g以權k分擔a.

1.3［4］［8］設f（z）為亞純函數，按照約定f（z）不為常數，因而當r→∞時，T（r，f）→∞，對任意復數a（可以為∞）我們定義：

δ（a，f）、θ（a，f）分別稱為f（z）的虧量、f（z）的a值點的重級指數，如果δ（a，f）＞0，則稱a是f（z）的一個虧值或一個Nevanlinna例外值.顯然，有0≤δ（a）≤Θ（a）≤1，0≤θ（a）≤Θ（a）≤1.

下面給出Nevanlinna基本定理和已有結果.

定理1.1［1］（Nevanlinna第二基本定理）設f（z）是圓內的亞純函數，f（0）≠0，1，∞，

且f′（0）≠0.則對0＜r＜R有

采用精簡密指量（精簡計數函數［1］）的定義以后，第二基本定理的等價形式為

對于有窮非整數級整函數，儀洪勛［5］證明了：

定理1.2［5］設f（z）與g（z）為非常數整函數，f（z）的級λ（f）為有窮非整數，且f=0?g=0.如果存在兩個判別的有窮非零復數a1，a2，滿足及則

2.幾個引理

引理2.1［4］設f（z）和g（z）是兩個亞純函數，它們的級分別為λ（f）和λ（g），若λ（f）＜λ（g）,則f（z）±g（z）的級

引理2.2［4］設f（z）是一個亞純函數，則亞純函數與f（z）=的級相同.特別是與f（z）有相同的級.

引理2.3［4］設f（z）和g（z）是兩個亞純函數，它們的級分別為λ（f）和λ（g），若λ（f）＜λ（g）,則亞純函數f（z）·g（z），的級λ都與g（z）的級λ（g）相等.

引理2.4［1］設f（z）和g（z）為開平面上的非常數亞純函數，其級分別為λ（f）和λ（g），則

引理2.5［5］設h（z）為非常數整函數，f（z）=eh（z），且f（z）的級為λ，下級為μ，

i）若h（z）為p次多項式，則λ=μ=p.

ii）若h（z）為超越整函數，則λ=μ=∞.

引理2.6設f（z）和g（z）為有窮非整數級亞純函數，f（z）的級λ（f）與g（z）的級λ（g），滿足λ（f）≤λ（g），且，則λ（f）=λ（g）.

證明由條件λ（f）≤λ（g）知，只需證明λ（f）＜λ（g）不成立即可.

1°若f（z）≡g（z），則顯然λ（f）=λ（g）.

2°若f（z）不恒等于g（z），用反證，假設λ（f）＜λ（g）成立.由于f=0?g=0，故可設其中h（z）為整函數.由已知，eh（z）不恒為1，故由引理2.3，由引理2.5知，上式左邊是整數，而右邊是有窮非整數，顯然不能成立，從而λ（f）＜λ（g）的假設不成立，只能有λ（f）=λ（g）.

綜合1°、2°，引理2.6得證.

引理2.7[6]設f，g是非常數亞純函數，λ（g）為有窮非整數，且f，g具有兩個CM公共值0，∞，如果存在兩個判別的有窮非零復數a1，a2滿足

3.主要結果及其證明

接下來，我們要對定理1.2進行改進：關于整函數的唯一性定理推廣為關于亞純函數的唯一性定理.從而得到如下定理：

定理3.1設f（z）和g（z）是兩個非常數亞純函數，g（z）的級λ（g）為有窮非整數，且如果a1，a2是另外的兩個判別的有窮非零復數，滿足及則

證明（1）不妨設b1=0，b2=∞.假設f（z）不恒等于g（z），由已知條件及引理2.7，得λ（f）=λ（g）.又f=0?g=0，故可設

其中h（z）為整函數，由引理2.2和引理2.4，

設{zn}是f（z）-a1的所有j（1≤j≤k）重零點，則由f=a1→g=a1知，其中k為任意正整數，故{zn}也是g（z）-a1的j（1≤j≤k）重零點，由，得eh（zn）=1.

由假設f（z）不恒等于g（z），則eh（z）不恒為1，從而有

同理，

其中k為任意正整數.

由Nevanlinna第二基本定理，得

從而

而

其中，j=1，2，由（3.3）、（3.4）、（3.5）和（3.6）式得

上式兩邊中令k→∞，則

因此λ（f）≤λ（eh（z））與（3.2）式矛盾，假設不成立.故f（z）≡g（z）.

（2）b1，b2均為有窮非零復數，則令

則有λ（F）=λ（f），λ（G）=λ（g），顯然，F，G滿足（1）的情形，其它情形均可轉換為（1）的情形.

由（1）、（2），結論得證。

［1］儀洪勛，楊重駿.亞純函數唯一性理論［M］.北京：北京大學出版社，1995：24-132.

［2］林珊華，林偉川.整函數涉及權分擔值的微分多項式唯一性問題［J］.福建師范大學學報（自然科學版），2005,21（4）：22-26.

［3］林偉川.涉及亞純函數正規(guī)族與唯一性理論的幾個問題［D］.濟南：山東大學，2003：5-6.

［4］柏盛桄.整函數與亞純函數［M］.湖北：華中師范大學出版社，1987：93-146.

［5］林偉川.涉及零點分布整函數的唯一性［J］.紡織高校基礎科學學報，2001,14（4）：283-285.

［6］呂巍然，林偉川.整函數惟一性定理的一個推廣［J］.石油大學學報（自然科學版），2002,26（4）：106-108.

［7］張南岳，陳懷惠.復變函數論選講［M］.北京：北京大學出版社，1995.8：283-290.

［8］莫葉.亞純函數論［M］.濟南：山東大學出版社，1997.5：48-49.

［9］張國威.亞純函數唯一性及正規(guī)族［D］.碩士學位論文，濟南：山東大學，2008.3.10：8-9.

［10］王品玲.整函數和亞純函數值分布的若干結果［D］.博士學位論文，南京：南京師范大學，2006：7.

［11］黃斌.具有四個分擔值的亞純函數的唯一性定理（英文）［J］.數學季刊,2001,16（4）：35-42.

［12］黃斌.具有一個或兩個分擔值的亞純函數的唯一性［J］.山東大學學報（理學版）,2002,37（2）：111-114.

［13］林珊華，林偉川.整函數涉及權分擔值的微分多項式唯一性問題［J］.福建師范大學學報（自然科學版），2005,21（4）：22-26.

［14］Yi hongxun.Unicity theorems for entire or meromorphic functions［J］.Acta Mathematica Sinica,1994,10（2）：121-131.

［15］楊樂.值分布理論及其新研究［M］.北京：科學出版社，1982：5.

［16］林偉川，呂巍然.有窮級整函數的唯一性［J］.福建師范大學學報（自然科學版），2001,17（2）：6-9.

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O174.52

A

1008—3340（2010）04—0061—03

2010－10－21

翟廣鵬（1987－），男，本科，山東省莘縣供電公司。李娜（1986－），女，本科，山東省莘縣供電公司。