趙長(zhǎng)海

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 226007）

kdv方程的顯式行波解

趙長(zhǎng)海

（南通大學(xué)理學(xué)院，江蘇 南通 226007）

給出一種求解非線性發(fā)展方程精確行波解的新方法:雙函數(shù)法.使用此方法，借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Mathematica，利用雙函數(shù)法和吳文俊消元法，獲得kdv方程的多組新的顯式行波解，包括孤波解和周期解.

雙函數(shù)法；吳文俊消元法；kdv方程；行波解

非線性kdv方程現(xiàn)已成為數(shù)學(xué)物理的基本方程之一，kdv方程最初應(yīng)用于淺水波的研究.隨后相繼都引出kdv方程，如文[1-3]用齊次平衡法和橢圓函數(shù)法得到了kdv方程的一組解，文[4]和[5]用散射反演法給出了kdv方程的單孤子解和雙孤解，文[6]和[7]由試探函數(shù)法為kdv方程的求解給出了新的思路.文[8]給出了kdv方程的一個(gè)差分格式，由于非線性方程問題的復(fù)雜性和特殊性，非線性方程沒有統(tǒng)一的求解辦法，因而出現(xiàn)求解非線性方程的各種方法，所有這些方法都有一定的局限性.

本文借助Mathermatica軟件，采用雙函數(shù)法和吳文俊消元法［9-12］，獲得了非線性發(fā)展方程kdv的多組行波解.

1 kdv方程的行波解

kdv方程可表示為：

現(xiàn)在用雙函數(shù)法來求解上述kdv方程，為了求解方程（1），可以先設(shè)行波解，令

代入方程（1）可得常微分方程：

對(duì)（2）式積分一次，并取積分常數(shù)為零，可得：

方法1：

由雙函數(shù)法設(shè)方程（4）有如下形式的行波解

并且通過平衡方程（4）線性最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線性的次數(shù)易知n為2所以，

其中 A0，A1，A2，B1，B2為待定系數(shù)，而可以有多種選法，令

將（6），（7）代入（4）式，并令其中的常數(shù)項(xiàng)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下線性方程組：

利用吳消元法解上述關(guān)于 A0，A1，A2，B1，B2的超待定代數(shù)方程組得：

對(duì)（7）式分離變量并且兩邊積分，積分常數(shù)取為零得：

于是方程（4）有如下形式的解

進(jìn)一步由（2）式可得方程（1）的解為：

將（6），（12）代入（4）式，并令其中的常數(shù)項(xiàng)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下線性方程組：

利用吳消元法解上述關(guān)于 A0，A1，A2，B1，B2的超待定代數(shù)方程組得：

對(duì)（12）式分離變量并且兩邊積分，積分常數(shù)取為零得：

于是方程（4）有如下形式周期解

進(jìn)一步由（2）式可得方程（1）的解為：

方法2：

設(shè)方程（4）有如下形式的行波解

如令

將（17），（18）代入（4）式，并令其中的常數(shù)項(xiàng)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下線性方程組：

利用吳消元法解上述關(guān)于 A0，A1，A2，B1，B2的超待定代數(shù)方程組得：

對(duì)（18）式分離變量并且兩邊積分，積分常數(shù)取為零得：

于是方程（4）有如下形式解

進(jìn)一步由（2）式可得方程（1）的解為

將（17），(23)代入（4）式，并令其中的常數(shù)項(xiàng)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下線性方程組：

利用吳消元法解上述關(guān)于 A0，A1，A2，B1，B2的超待定代數(shù)方程組得：

對(duì)（23）式分離變量并且兩邊積分，積分常數(shù)取為零得：

于是方程（4）式得到如下解

進(jìn)一步由（2）式可得方程（1）的解為

方法3：

又由雙函數(shù)法設(shè)方程（8）有如下形式的行波解

若取 f（ξ）和 g（ξ）為修正的雙函數(shù)如下：

其中ξ為行波變量，r為參數(shù)，可以調(diào)整波行的變化.則易知：

又易知：

將（28）、（30）代入（4）中，并令其中的常數(shù)以及各次項(xiàng)的系數(shù)為零，得到如下線性代數(shù)方程組：

利用吳消元法解上述關(guān)于 A0，A1，A2，B1，B2的超待定代數(shù)方程組得（舍去和前面計(jì)算相同的答案）：

將以上結(jié)果及（29）式代入（28）式得

進(jìn)一步由（2）式可得方程（1）的解為：

期中（31）、（32）為復(fù)標(biāo)量場(chǎng)中的解

2 結(jié)語(yǔ)

本文采用雙函數(shù)法和吳消元法，獲得了kdv方程的多組孤波解，其中一些為復(fù)標(biāo)量場(chǎng)中的解，豐富了kdv方程解的結(jié)果，將有助于我們對(duì)kdv方程所描述物理現(xiàn)象的進(jìn)一步了解和研究.雙函數(shù)法不僅可以用于求解一元非線性可積方程，而且可以用來求解非線性方程的各種解.其中雙函數(shù)可以選擇雙曲函數(shù)，也可以選擇三角函數(shù)等.

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［11］趙長(zhǎng)海.非線性NLS方程的新顯式精確行波解[J].南通大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,6(3):12-15.

［12］關(guān)靄云.吳消元法講義[M].北京:北京理工大學(xué)出版社,1994.

責(zé)任編輯：畢和平

Explicit Traveling Wave Solutions to kdv Nonlinear Equations

ZHAO ChangHai
（School of Science，Nantong University，Nantong 226007，China）

In this paper,multiple traveling wave solutions to kdv equation,including solition solutions and periodic solutions,were obtained by using hyperbola function method and Wu-elimination method.The method used in this work also can be applied to other nonlinear equations.

hyperbola function method;Wu-elimination method;kdv equation;traveling wave solution

O 415

A

1674-4942（2010）02-0142-05

2010-03-07

南通大學(xué)自然科學(xué)基金項(xiàng)目（06Z004）