陳煒軍,景占榮,袁芳菲,朱安福

(1.西北工業(yè)大學(xué)電子信息學(xué)院,陜西西安 710072;2.南昌市第十九中學(xué),江西南昌 330003)

0 引 言

傳感器技術(shù)的快速發(fā)展帶動(dòng)了多傳感器信息融合技術(shù)的迅速發(fā)展,多傳感器信息融合關(guān)鍵在于信息融合所處理的多傳感器信息具有更復(fù)雜的形式,而且通常在不同的信息層次上出現(xiàn).多傳感器系統(tǒng)中,各傳感器所提供的信息都具有一定程度的不確定性,對這些不確定信息的融合過程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)不確定的推理過程.不確定性推理逐漸成為信息融合的關(guān)鍵.

D-S證據(jù)理論因其完備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),通過對事件的概率加以約束以建立信任函數(shù)而不必說明精確的難以獲得的概率,能方便地處理由“不知道”所引起的“不確定”而成為不確定性推理中最常用的方法之一,在多傳感器信息融合中得到廣泛應(yīng)用;但它本身也存在一些不足,不僅體現(xiàn)在它對參與融合的各傳感器所提供證據(jù)信息的獨(dú)立性要求,更體現(xiàn)在它對相互沖突的證據(jù)信息進(jìn)行融合出現(xiàn)違反直覺的悖論上.關(guān)于如何改進(jìn)阻礙證據(jù)理論進(jìn)一步廣泛應(yīng)用的證據(jù)獨(dú)立性的條件,一些學(xué)者有專門的文獻(xiàn)論及,這里不作討論;而本文是從后面一點(diǎn)來論及 D-S證據(jù)理論存在的不足,對證據(jù)理論的相應(yīng)改進(jìn)方法進(jìn)行了有效的分類、歸納和總結(jié),并在此基礎(chǔ)上提出了一種新的用于 D-S證據(jù)理論的修正

1 D-S證據(jù)理論及其存在的不足

D-S證據(jù)理論是由 Dempster于 1967年提出的,他首先提出了上、下界概率的定義,后由 Shafer于1976年加以推廣和發(fā)展,使之成為符合有限離散領(lǐng)域中推理的形式,并使之系統(tǒng)化、理論化,形成了一種不確定性推理的理論,即 D-S理論[1].證據(jù)理論討論一個(gè)識別框架 Θ,它是關(guān)于命題的相互獨(dú)立的可能答案或假設(shè)的一個(gè)有限集合.按傳統(tǒng)方法可以把Θ的冪集表示為 2Θ,它是Θ的所有子集的集合,D-S證據(jù)理論對這個(gè)識別框架Θ進(jìn)行運(yùn)算,并提供計(jì)算Θ中所有冪集元素的邏輯,然后使用這些計(jì)算結(jié)果完成對命題的高和低的不確定性表示[2].

D-S證據(jù)理論的基本概念,文獻(xiàn) [3]有詳細(xì)的論述,本文不再贅述.其理論的核心是 Dempster證據(jù)組合規(guī)則,現(xiàn)將其介紹如下.

Dempster組合規(guī)則：設(shè) m1,m2,…,mn是識別框架 Θ上的基本概率分配函數(shù)(BPFA),則多概率分配函數(shù)的正交和 m=m1⊕m2⊕…⊕mn由式(1)表示

例 1 設(shè)識別框架Θ={A,B,C},現(xiàn)有兩條證據(jù)如下：m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0;m2(A)=0,m2(B)=0.01,m2(C)=0.99.根據(jù) D-S證據(jù)理論所得的數(shù)據(jù)如表 1所示.

從表 1數(shù)據(jù)可以看出,不一致因子 k=m(?)=0.0099+ 0.9801+0.0099=0.9999,接近于 1,兩條證據(jù)高度沖突,合成之后各命題基本概率賦值為：m(A)=0,m(B)=1,m(C)=0.可見,兩條證據(jù)各支持 A和 C,但融合后的概率均為 0,同時(shí)對 B的支持程度由融合前的 0.01變?yōu)?1,此后即使增加再多的證據(jù),無論它們對 A,C的支持率多高,對 B的支持率多低,融合結(jié)果 A,C始終為 0,產(chǎn)生與常理相悖的融合結(jié)論,出現(xiàn)“一票否決”現(xiàn)象.

?

出現(xiàn)該問題的原因是因?yàn)?D-S證據(jù)理論規(guī)定 m(?)=0,而在不同證據(jù)組合的過程中得到的空集?的概率事實(shí)上并不為 0(如表 1中數(shù)據(jù)所示);但在組合的過程中 D-S方法卻舍棄了這部分概率的值,只是通過乘以歸一化系數(shù) 1/(1-k)來對組合后的有效基本概率值進(jìn)行補(bǔ)償.

2 D-S證據(jù)理論的相關(guān)改進(jìn)

針對上述悖論的出現(xiàn),為了解決證據(jù)高度沖突情況下多傳感器信息的有效融合問題,眾多研究人員為此作了大量的分析研究,提出了不少改進(jìn)方法,但這些改進(jìn)方法無外乎兩種思路,一種是對 Dempster組合規(guī)則進(jìn)行修正,另一種則是對沖突證據(jù)源進(jìn)行修正.依據(jù)這兩種思路可以把這些方法分為兩大類：一類是認(rèn)為 Dempster組合規(guī)則有問題,需要修改組合規(guī)則,典型的如 Yager[4]方法、Lefevre[5]方法、孫全[6]方法、李弼程[7]方法、向陽[8]方法等;另一類則認(rèn)為組合規(guī)則沒有問題,而是給出的證據(jù)源需要修改,典型的如 Murphy[9]方法、徐凌宇[10]方法、梁昌勇[11]方法、鄧勇[12]方法等.而實(shí)際上,問題出現(xiàn)的關(guān)鍵原因是各證據(jù)源間沖突信息的存在,各種改進(jìn)方法都是關(guān)于沖突信息的分配或預(yù)處理的方法.

2.1 D-S證據(jù)理論的第一類改進(jìn) 組合規(guī)則的修正

第一類解決方法的代表是 Lefevre等人提出的統(tǒng)一信度函數(shù)組合方法.Yager,Lefevre等人認(rèn)為,證據(jù)理論對沖突信息組合出現(xiàn)悖論的原因就是 Dempster組合規(guī)則本身不完善所導(dǎo)致的,對沖突信息必須按一定規(guī)則重新分配,這種分配又面臨兩種需要解決的問題[12]：①沖突應(yīng)該重新分配給哪些子集;②在確定可接收沖突的子集后,沖突應(yīng)該以什么比例分配給這些子集.事實(shí)上,Dempster組合規(guī)則不能處理高度沖突的信息的原因就是對沖突信息全部拋棄的結(jié)果.

Yager提出的改進(jìn)方法[4]采用對沖突信息重新分配的原則,把支持證據(jù)沖突的那部分概率全部賦予未知領(lǐng)域,而對于不沖突證據(jù)仍采用 Dempster組合規(guī)則的與運(yùn)算方式進(jìn)行合成.Yager證據(jù)合成公式為

式中：k與式(1)定義一樣;Θ為辨識框架;?為空集.即把沖突認(rèn)為是對客觀世界的無知部分,將沖突信息全部劃分給全域即未知項(xiàng)Θ,等待新的證據(jù)來臨再做判斷,符合認(rèn)知邏輯,并且解決了高度沖突的證據(jù)的合成;但由于 Yager對沖突證據(jù) k是全盤否定的,全部賦給了未知項(xiàng),因而在證據(jù)源多于兩個(gè)時(shí),合成的效果并不理想(見本文例 2).

孫全針對 Yager合成公式的問題,在文獻(xiàn) [6]中提出一種改進(jìn)方法,認(rèn)為即使證據(jù)間存在沖突,它們也是可用的,而不應(yīng)全部分配給未知項(xiàng),并通過引入了證據(jù)可信度X的概念,對沖突性證據(jù) k采用加權(quán)和平均的形式進(jìn)行分配.孫全證據(jù)合成公式為

李弼程針對證據(jù)可信度X的主觀隨意性,在文獻(xiàn) [7]的合成公式中廢棄了證據(jù)可信任度的概念,把支持證據(jù)沖突的概率按各個(gè)命題的平均支持程度加權(quán)進(jìn)行分配.其合成公式為

式中：q(A)為各證據(jù)對命題 A的平均支持度,與式(3)定義一致.

在對 D-S證據(jù)理論的第一類改進(jìn)(即對 Dempster組合公式的改進(jìn))中,以上的式(2)～(4)都起到了較好的積極作用,能夠較合理地處理高沖突證據(jù)的融合,但均未考慮對各證據(jù)交叉情況下融合作用的改進(jìn).向陽在文獻(xiàn) [8]中提出了反映證據(jù)交叉融合程度的聚焦系數(shù) s1的概念,根據(jù)所聯(lián)合的集合的基數(shù)大小決定向下聚焦的程度,防止在大的子集上(攜帶確定信息不多)的基本概率分派函數(shù)聚焦在小的子集上.向陽的合成公式為

但該合成公式只適用兩路證據(jù)合成,對多路證據(jù)合成則無能為力,而且聚焦系數(shù) s1等于證據(jù)集合基的比例,屬于一種線性平均運(yùn)算關(guān)系,違背了 D-S證據(jù)理論不沖突性證據(jù)“與運(yùn)算”的合成法則,因而這種合成法則同樣也不完善.

2.2 D-S證據(jù)理論的第二類改進(jìn) 證據(jù)源的修正

第二類解決方法的代表是 Murphy的方法.Murphy,Haenni等人認(rèn)為,D-S證據(jù)理論有完善的數(shù)學(xué)基礎(chǔ),其組合規(guī)則是沒有問題的,問題出在沖突的證據(jù)源上,需要通過修改降低沖突信息量后,再利用Dempster規(guī)則進(jìn)行組合.更進(jìn)一步,Haenni[13]從工程實(shí)踐的角度指出,各種對 Dempster組合規(guī)則的改進(jìn)并沒有降低系統(tǒng)的計(jì)算量,且這些改進(jìn)方法不滿足結(jié)合律,將導(dǎo)致工業(yè)應(yīng)用的困難;此外,當(dāng)證據(jù)數(shù)量成百上千時(shí),如何確定沖突分配的子集并不像理論分析那樣簡單.因此,以他們?yōu)榇硖岢隽藢ψC據(jù)源修正之后再利用 Dempster規(guī)則進(jìn)行組合的思想.

Murphy[9]基于對沖突證據(jù)源修正的思想,提出一種對證據(jù)源平均的方法,在證據(jù)組合之前,將所有證據(jù)進(jìn)行平均,即系統(tǒng)有 n個(gè)證據(jù)時(shí),直接將證據(jù)的基本概率指派進(jìn)行平均后使用 Dempster組合規(guī)則組合 n-1次.該方法只修改組合證據(jù)源,而組合規(guī)則不變,保留了 Dempster組合規(guī)則的交換律和結(jié)合律,且融合實(shí)驗(yàn)證明 Murphy的方法所得的結(jié)果要好于直接運(yùn)用 Dempster組合規(guī)則所得到的結(jié)果,能夠融合高度沖突的證據(jù).但 Murphy方法只是一種樸素的平均思想,其將各個(gè)證據(jù)源等同看待,每個(gè)證據(jù)源的權(quán)重都是一樣的,所以這種證據(jù)源信息分配的思想并不完全合理.

針對這種現(xiàn)象,徐凌宇引入有效因子λ[10]來衡量證據(jù)源的可靠性,并將其引進(jìn)信任函數(shù),所有的證據(jù)經(jīng)過有效性評估后再進(jìn)行組合.梁昌勇則引入專家的權(quán)威T[11]的概念,T通過已知的經(jīng)驗(yàn)得到,各條證據(jù)通過乘以不同的權(quán)威系數(shù)T1,T2,…,Tn進(jìn)行折中.這兩種方法都在一定程度上解決了 Murphy方法中各證據(jù)源權(quán)重分配一致的問題,但同時(shí)帶來一個(gè)新問題——λ和T的值都需要先驗(yàn)的知識來獲取,這在專家系統(tǒng)中可以通過對專家的統(tǒng)計(jì)評價(jià)綜合得出,但在多傳感器系統(tǒng)融合中λ或T值的給出帶有太大的主觀隨意性,因此他們的方法只是一種特定環(huán)境下證據(jù)源修改的思想,在普適意義上并沒有解決 Murphy方法中存在的問題.

鄧勇在文獻(xiàn) [12]中通過引入 Jousselme[14]等人定義的“距離函數(shù)”概念,來度量證據(jù)體間相似性程度,并進(jìn)一步獲得系統(tǒng)中各個(gè)證據(jù)被其它證據(jù)所支持的程度,通過對支持度歸一化處理得到各條證據(jù)的可信度,作為證據(jù)的權(quán)重,對多源證據(jù)進(jìn)行加權(quán)平均后再利用 Dempster組合規(guī)則融合證據(jù)信息.該方法不同于文獻(xiàn) [10-11],利用的是證據(jù)源本身攜帶的信息來確定各證據(jù)的權(quán)重,且繼承了 Murphy方法的所有優(yōu)點(diǎn),是一種很好的證據(jù)源修改思想.但該方法從證據(jù)源提取特征信息之后,對原證據(jù)全盤拋棄,只對組合后得到的平均信息源進(jìn)行操作,這樣做雖然使得證據(jù)融合的收斂速度加快(朝證據(jù)支持的概率大的命題快速收斂),但并不妥當(dāng),容易造成弱勢信息的丟失,對要求第二判決的應(yīng)用不利,并且計(jì)算量較上述方法大.

3 D-S證據(jù)理論的一種新的修正模型的提出

從上面的論述可以看出,以 Yager為代表的 D-S證據(jù)理論組合規(guī)則的修正和以 Murphy為代表的D-S證據(jù)理論證據(jù)源的修正分別代表了 D-S證據(jù)理論完善的兩種方向.從哲學(xué)思維的觀點(diǎn)來看,例 1中證據(jù)理論出現(xiàn)的問題可以描述為用 U方法解決模型 V,得到了違反直覺的結(jié)果 W,Yager等人認(rèn)為方法U出了問題,而 Murphy等人認(rèn)為是模型 V出了問題.他們分別從不同的角度對其進(jìn)行了解決.事實(shí)上,這恰恰是一個(gè)問題的兩個(gè)方面：這個(gè)不合常理的結(jié)果 W既有可能是方法 U不完善,也有可能是模型 V出了問題,還有可能是 U和 V都有問題,就像光的“波粒二象性”一樣.因此,基于這樣一種哲學(xué)認(rèn)識,本文試著同時(shí)對方法 U和模型 V進(jìn)行修正,并考慮證據(jù)交叉融合時(shí)的情況,在文獻(xiàn) [7,12]的基礎(chǔ)上引入證據(jù)信息容量 e(E)的概念,提出了一種用于 D-S證據(jù)理論修正的新模型.

定義 1[15]一條證據(jù) E的信息容量 e(E)可以定義為

式中：‖?‖表示集合的基數(shù)(即集合中元素的個(gè)數(shù));g(Al)是焦元集 Al的個(gè)數(shù).顯然有 0≤e(E)≤當(dāng) m(Ai)=0時(shí),e(E)=0;若 m(Ai)=1,且‖ Ai‖ =1時(shí),則 e(E)=1.

定義 2 證據(jù)源修正規(guī)則如下,即通過各條證據(jù)的信息容量對焦元交叉的證據(jù)作折扣.

定義 3[14]Θ為一包含 N個(gè)兩兩不同命題的完備識別框架;m1,m2為Θ上的兩個(gè)基本可信度分配函數(shù),則 m1,m2之間的距離可表示為

式中：m表示定義在冪集 2Θ上的以 m(Ai)為元素的列向量;D為一個(gè) 2N×2N階的矩陣,其中的元素為

定義 4[12]證據(jù)體 mi和 mj之間的相似性測度 sim(mi,mj)為

定義 5[12]證據(jù)系統(tǒng)中證據(jù)體 mi的可信度為

定義 1指出了一條證據(jù) E的信息容量與其焦元集中所含元素的個(gè)數(shù)有關(guān),若該證據(jù)各焦元集均只含有一個(gè)元素,則該證據(jù)的信息容量 e(E)=1,其所包含的有用信息最多.根據(jù)信息容量可以對焦元集發(fā)生交叉的各證據(jù)作折扣,進(jìn)行證據(jù)源(合成前的各條證據(jù))的修正,在一定程度上解決了焦元信息交叉的各條證據(jù)間的去相關(guān)問題.

定義 2給出了一種新的證據(jù)源的修正規(guī)則,該規(guī)則通過證據(jù)體內(nèi)在的信息容量對證據(jù)各焦元集的基本概率賦值進(jìn)行重新分配,并保證了概率分派的完備性.

定義 3,4,5是根據(jù)文獻(xiàn) [15]的方法,通過引入證據(jù)體間的距離函數(shù)實(shí)現(xiàn)各證據(jù)在證據(jù)系統(tǒng)中可信度的分配,解決了對 DS證據(jù)理論作第一類修正的各種方法對參與合成的各證據(jù)一視同仁的做法,使出現(xiàn)沖突的證據(jù)對整個(gè)證據(jù)系統(tǒng)信息合成的影響最小化.

在定義 1,2對證據(jù)源修正的基礎(chǔ)上,考慮證據(jù)可信度分配的不同,提出如下新的證據(jù)合成公式

4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)及比較

為了驗(yàn)證本文組合公式的融合效果,下面以兩個(gè)數(shù)值實(shí)驗(yàn)進(jìn)行仿真計(jì)算,并將仿真結(jié)果與幾個(gè)典型文獻(xiàn)的方法作分析比較.

例 2 設(shè)識別框架Θ={A,B,C},現(xiàn)有 4條證據(jù)如下：

E1∶m1(A)=0.98,m1(B)=0.01,m1(C)=0.01;E2∶m2(A)=0,m2(B)=0.01,m2(C)=0.99;E3∶m3(A)=0.9,m3(B)=0,m3(C)=0.1;E4∶m4(A)=0.9,m4(B)=0,m4(C)=0.1.將 6個(gè)合成公式的融合結(jié)果作對比分析,其融合結(jié)果如表 2所示.

表2 各論據(jù)公式融合結(jié)果對比表Tab.2 Contrast list of fusion result for each evidence formula

從融合結(jié)果可以看出,本文方法優(yōu)于 D-S和對 D-S理論做第一類改進(jìn)的方法,因?yàn)楸疚姆椒ò锤髯C據(jù)在整個(gè)證據(jù)系統(tǒng)中的可信度對沖突部分的信息加權(quán)進(jìn)行分配,取消了文獻(xiàn) [6]中主觀隨意性大的證據(jù)可信度X的概念,且比文獻(xiàn) [7]的方法更合理.該例中,各證據(jù)‖ Ai‖ =1,所以 e(Ej)=1,m′j(Ai)=mj(Ai),k′=k,所以當(dāng)各證據(jù)焦元獨(dú)立不交叉時(shí),運(yùn)用本文方法證據(jù)源無需修改,同時(shí)得到了與 Murphy方法和鄧勇方法相近的結(jié)果.盡管在證據(jù)系統(tǒng)中證據(jù)達(dá)到 4個(gè)時(shí),m(A)的收斂速度要慢于這兩種方法,但沒有丟失第二命題 C的信息.當(dāng)識別框架所含焦元數(shù)較多時(shí),在保證快速融合做出第一判決的情況下,對需要作出第二判決的應(yīng)用更有利.

再來看證據(jù)焦元的基數(shù)不全都為 1的情況,與文獻(xiàn) [8]中的方法進(jìn)行比較.

例 3 設(shè)識別框架 Θ={A,B,BC,D},現(xiàn)有 3條證據(jù)如下：E1∶m1(A)=0.9,m1(BC)=0.1;E2∶m2(B)=0.1,m2(D)=0.9;E3∶m3(A)=0.9,m3(B)=0.1.現(xiàn)將本文方法和文獻(xiàn) [8]向陽的方法進(jìn)行證據(jù)間融合,結(jié)果對比如表 3所示.

表3 焦元基不為 1的證據(jù)融合結(jié)果列表Tab.3 Fusion result list of evidences whose aggreg ative cavdinal number isn′t1

從上面這個(gè)例子可以看出,在證據(jù)沖突較小(k較小)的情況下,本文修正模型所得融合結(jié)果和文獻(xiàn)[8]的結(jié)果很接近,融合效果相當(dāng),具有相當(dāng)“s1”的向下聚焦的程度,只不過在證據(jù)焦元基數(shù)不為 1時(shí),本文公式把不屬于證據(jù)信息量的那部分概率賦給了未知項(xiàng),從融合結(jié)果看這樣做也是合理的.而在證據(jù)沖突較大(k較大)的情況下,本文方法所得結(jié)果和文獻(xiàn) [8]的結(jié)果就截然不同了.盡管證據(jù) E1和 E2對命題B的支持率都非常低,文獻(xiàn) [8]的合成結(jié)果支持 B,而對 A和 D,包括它們的并集卻沒有任何的支持;而文獻(xiàn) [8]對證據(jù) E2與 E3的合成結(jié)果更是只支持命題 B,這明顯是有悖常理的 — 既然兩個(gè)證據(jù)幾乎各支持一個(gè)命題,那么,這兩個(gè)命題合成以后對該命題的支持率都應(yīng)接近 0.5.本文提出的修正模型合成公式更好地吻合了這個(gè)結(jié)論.

5 結(jié)束語

本文提出的 D-S證據(jù)理論的修正模型是在前人工作的基礎(chǔ)上研究得出的,在分析現(xiàn)有改進(jìn)方法的基礎(chǔ)上,通過引入證據(jù)信息容量和證據(jù)可信度來對各傳感器提供的證據(jù)信息進(jìn)行預(yù)處理,既包括了 Dempster組合規(guī)則修正的思想,又包涵了證據(jù)源修正的思想,并將它們進(jìn)行了較好的結(jié)合,是一種對 D-S證據(jù)理論進(jìn)行修正的新思路.由上面數(shù)值實(shí)驗(yàn)的融合結(jié)果比較可以看出,按照原始的 D-S推理、幾種典型的改進(jìn)方法和按照本文修正方法所得到的結(jié)果并不一樣.本文公式方法不僅很好地解決了證據(jù)信息沖突情況下的信息融合,可以更好地剔除無效證據(jù)信息的干擾,融合結(jié)果符合常理和邏輯判斷,在一定判決門限下可以使信息融合的結(jié)果更快速、更合理,而且較文獻(xiàn) [8]更有效地解決了證據(jù)信息交叉(證據(jù)焦元基數(shù)不全為 1)時(shí)的融合情況,是一種好的融合算法.

這種證據(jù)的組合算法可以在決策支持、多傳感器決策級數(shù)據(jù)融合等方面具有很好的應(yīng)用前景.比如在多傳感器數(shù)據(jù)融合中,來自不同傳感器的可靠性存在很大差異,而這種可靠性又是在主觀不可預(yù)知的情況下,運(yùn)用該算法可以有效地降低和抵消個(gè)別傳感器因偶然因素帶來的“壞值”的影響,將引起沖突的證據(jù)信息(“壞值”)通過整個(gè)證據(jù)系統(tǒng)對其的支持程度(證據(jù)可信度)將其降到最小,從而有效地保證融合結(jié)果的可靠性和準(zhǔn)確性.但相比較而言,當(dāng)一個(gè)穩(wěn)定的證據(jù)系統(tǒng)有新的證據(jù)信息加入時(shí),該算法需要重新計(jì)算各證據(jù)在整個(gè)證據(jù)系統(tǒng)中的可信度,所需的計(jì)算量較大,如何有效地簡化計(jì)算量和提高融合速度需要今后進(jìn)一步的深入研究.

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