余 靜,谷 峰

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州310036)

帶誤差項(xiàng)的廣義Halpern-Mann型迭代序列的強(qiáng)收斂定理

余 靜,谷 峰＊

(杭州師范大學(xué)理學(xué)院,浙江杭州310036)

為證明Φ-偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代收斂性,引進(jìn)了帶誤差項(xiàng)的廣義Halpern-Mann型迭代算法,并利用此迭代算法和一些分析技巧,證明了Φ-偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的一個(gè)新的強(qiáng)收斂定理.

Banach空間;Mann迭代序列;Halpern迭代序列;廣義Halpern-Mann型迭代序列;Φ-偽壓縮映象

1 引言和預(yù)備知識(shí)

定義4 設(shè)E為實(shí)Banach空間,稱T:D(T)?E→E是Φ-強(qiáng)偽壓縮映象,如果?x,y∈D(T),存在j(x-y)∈J(x-y)和一個(gè)嚴(yán)格遞增函數(shù)Φ:[0,∞)→[0,∞),Φ(0)=0,使得

近年來(lái),許多學(xué)者致力用各種迭代算法去逼近非線性算子不動(dòng)的研究,得到了許多好的結(jié)果[1-9].

1953年,M ann引進(jìn)了一個(gè)迭代格式定義如下:

定義5[1]設(shè)E為實(shí)Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個(gè)算子,{αn}是[0,1]中的序列,則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為Mann迭代序列:

1998年,Xu引進(jìn)了一個(gè)迭代格式定義如下:

定義6[2]設(shè)E為實(shí)Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個(gè)算子,{αn},{βn}和{γn}是[0,1]中的3個(gè)實(shí)數(shù)列,滿足αn+βn+γn=1.則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為帶有誤差項(xiàng)的Mann迭代序列:

其中{vn}?D(T)是一個(gè)有界序列.

1967年,Halpern引進(jìn)了一個(gè)迭代格式定義如下:

定義7[3]設(shè)E為實(shí)Banach空間,K是E的非空子集,T:K→K是一個(gè)算子,{αn}是[0,1]中的序列,則如下定義的序列{xn}∞n=0稱為Halpern迭代序列:

其中u∈D(T)是一個(gè)固定的點(diǎn).

在此分別引進(jìn)廣義Halpern-Mann型迭代序列與帶誤差的廣義的Halpern-Mann型迭代序列如下:

其中{αn′}∞n=0,{βn′}∞n=0,{γn′}∞n=0,{δn′}∞n=0與{αn}∞n=0,{βn}∞n=0,{γn}∞n=0,{δn}∞n=0,{σn}∞n=0分別是[0,1]中的滿足一定條件的序列,且αn′+βn′+γn′+δn′=αn+βn+γn+δn+σn=1,{un}∞n=0是E中的有界序列.顯然,式(5)是式(6)的特例,式(5)和式(7)都是式(8)的特例,式(5)、(6)、(7)、(8)又都是式(9)的特例.

文獻(xiàn)[4]和[5]分別在Banach空間中研究了非擴(kuò)張非自映象映象和偽壓縮映象不動(dòng)點(diǎn)的迭代收斂定理,文獻(xiàn)[6]在半序線性空間中研究了一類非單調(diào)映射不動(dòng)點(diǎn)的存在唯一性及其迭代收斂性.

文章使用帶誤差項(xiàng)的廣義Halpern-M ann型迭代序列(9)去逼近Φ-偽壓縮算子的不動(dòng)點(diǎn),證明了一個(gè)新的強(qiáng)收斂定理,所得結(jié)果改進(jìn)、推廣和統(tǒng)一了文獻(xiàn)[7]和[8]的相關(guān)結(jié)果.

引理1[9]設(shè)E是實(shí)Banach空間,則?x,y∈E,?j(x+y)∈J(x+y),有

引理2[10]設(shè)Φ:[0,+∞)→[0,+∞)為嚴(yán)格遞增函數(shù),且Φ(0)=0,{θn},{ρn},{λn}為非負(fù)實(shí)序列,且滿足若有θ2n+1≤θ2n-2λnΦ(θn+1)+ρn,?n≥1,則lni→m∞θn=0.

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)E是實(shí)Banach空間,D為E的非空凸子集,映象T:D→D為一致連續(xù)、值域有界的Φ-偽壓縮映象.設(shè)T的不動(dòng)點(diǎn)集為F(T),設(shè)q為T的不動(dòng)點(diǎn),對(duì)任意給定的x0,u∈D,設(shè){xn}∞n=0是由(9)所定義的具誤差的廣義Halpern-Mann型迭代序列,其中{αn},{βn},{γn},{δn}和{σn}是[0,1]中的5個(gè)實(shí)數(shù)列,且滿足:因?yàn)閧αn},{βn},{γn},{δn},和{σn}是[0,1]中且滿足條件αn+βn+γn+δn+σn=1的實(shí)數(shù)列,所以由條件ii),iii)可知,?N,當(dāng)n>N時(shí),有β2n+2βnγn≤1.從而式(14)可化簡(jiǎn)為

注 由于M ann迭代序列、具誤差的M ann迭代序列、Halpern迭代序列和廣義Halpern-M ann型迭代序列都是具誤差的廣義Halpern-Mann型迭代序列的特殊情況,因此文章結(jié)果對(duì)于迭代格式(5)、(6)、(7)、(8)也都成立.可見(jiàn),文章結(jié)果統(tǒng)一、改進(jìn)和發(fā)展了現(xiàn)有文獻(xiàn)的一些相關(guān)結(jié)果.

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Strong Convergence Theorem of Generalized Halpern-Mann Type Iterative Sequence with Errors

YU Jing,GU Feng
(College of Science,Hangzhou No rmal University,Hangzhou 310036,China)

To p rove the iteration convergence ofΦ-pseudocontractive mapping fixed point,the paper has introduced the generalized Halpern-Mann type iterative algorithm w ith erro rs,and taking advantage of this iterative algorithm and some analysis techniques,it has p roved a new strong convergence theo rem ofΦ-pseudocontractivemapping fixed point.

Banach space;Mann iterative sequence;Halpern iterative sequence;generalized Halpern-Mann type iterative sequence;Φ-pseudocontractive mapping

O177.91 MSC2000:47H06;47H10;47H17

A

1674-232X(2010)03-0200-04

DO I:10.3969/j.issn.1674-232X.2010.03.008

2010-02-07

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(10771141);浙江省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(Y605191);杭州師范大學(xué)研究生教改項(xiàng)目;杭州師范大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目.

余 靜(1986—),女,浙江慈溪人,應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)碩士研究生,主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用的研究.

＊通訊作者:谷 峰(1960—),男,遼寧沈陽(yáng)人,教授,主要從事非線性泛函分析及其應(yīng)用的研究.E-mail:gufeng99@sohu.com