劉 瑩

(浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,浙江杭州310053)

考慮隨機時間的重置期權(quán)定價模型

劉 瑩

(浙江商業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)部,浙江杭州310053)

利用等價測度和鞅的方法,以外匯市場的波動率為重設(shè)點依據(jù)的情況下推導(dǎo)了隨機時間重置期權(quán)中的歐式看漲期權(quán)的定價公式.

重置期權(quán);隨機時間;違約金

最早的單點重置型賣權(quán)由Gray和W haley[1]提出,國內(nèi)的歐輝、王莉君、張寄洲[2-6]等人也對重置期權(quán)進(jìn)行了一定研究.但是上述的研究始終沒有對重設(shè)點的隨機性進(jìn)行討論,都是停留在事先指定好重設(shè)點的前提條件下展開的討論.該文針對傳統(tǒng)重置期權(quán)模型的缺點,研究一種更具有隨機性的期權(quán)模式——隨機時間的重置期權(quán)模型.

1 模型的假設(shè)

設(shè)(Ω,F,(Ft)t≥0,P)為一個完備的概率空間,(Ft)t≥0是概率空間(Ω,F,P)上的一個對t遞增的子σ-域,假設(shè)對隨機變量的所有敘述幾乎處處成立或幾乎必然成立.E(X|Ft)表示隨機變量X關(guān)于到時間t為止可獲得的信息的條件期望.下面的隨機變量都是定義在這一概率空間上的.同時假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi),市場沒有任何交易費用和稅收、無套利機會、交易能夠連續(xù)地進(jìn)行、允許賣空且標(biāo)的資產(chǎn)的數(shù)量是可分的.

假設(shè)到期時間為T,原定履約價為K,期權(quán)買賣雙方在事先約定:在期權(quán)到期日T之前,期權(quán)持有者有權(quán)利在任意時刻對期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價.假設(shè)重新設(shè)置履約價的時間為τ,τ是一個隨機時間,則該期權(quán)到期價值X(T)表示如下:

其中D(τ)表示在T時刻期權(quán)的持有者還必須付給對方一定的現(xiàn)金作為解除原來約定的違約金(D(τ)是時間的函數(shù)).

假設(shè)St表示可交易的基本標(biāo)的資產(chǎn)的價格,滿足

其中uS(t)和σS(t)為相應(yīng)價格過程在時刻t的期望收益率和瞬時波動率,uS(t)和σS(t)是非隨機函數(shù)(其中σS(t)大于零).{Wt,0≤t≤T}是P下標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動.{Ft,0≤t≤T}是由Wt和W′t產(chǎn)生的自然σ-域,假設(shè)Wt與W′t是相互獨立的,其中W′t表示一個P測度下另一個和Wt相互獨立的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動.

下面就以一種特殊的歐式看漲期權(quán)為例.設(shè)隨機時間的重置歐式看漲期權(quán)的到期支付為X(T),則

其中第一部分是期權(quán)雙方不發(fā)生重新定價行為時的支付,第二部分為期權(quán)雙方通過協(xié)商發(fā)生重新定價行為時的支付,第三部分是期權(quán)持有者與對方協(xié)商要求重新定價所需支付的違約金.

2 重新點的定義

根據(jù)美國芝加哥大學(xué)Tsay[7]所建立的隨機波動率模型,建立了以隨機波動率為依據(jù)選擇重設(shè)點的隨機時間的重置期權(quán)的定價模型.在此考慮選擇債券市場、石油市場或外匯市場等非股票市場的波動率模型,主要的原因有兩個.其一,如果直接選擇股票市場的波動率作為重設(shè)點的依據(jù),就容易給違約行為的發(fā)生帶來一定的困難.例如在股票明顯上漲的時候持有者想提出違約,另一方或者不愿意接受違約或者接受違約但提出更高要求的違約條件.其二,債券市場、石油市場或外匯市場等非股票市場和股票市場的價格波動存在著間接的聯(lián)系,如上海交通大學(xué)管理學(xué)院的馮蕓和吳沖鋒用統(tǒng)計分析的方法說明了外匯市場的波動往往對股票市場的價格產(chǎn)生一種滯后的影響.如果可以從外匯市場的價格波動來預(yù)測股票市場的價格波動情況,對于股票的另一方來說就不會因為重設(shè)的理由太直接而反對違約或?qū)`約行為提出更苛刻的違約條件.

假設(shè)外匯市場的波動率{ε(t)}服從dε(t)=-ε(t)(1-α)d t+σεd W′t,其中σε>0是非隨機變量,并且假設(shè)|α|<1,使波動率的過程平穩(wěn).{W′t,0≤t≤T}是P下標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動.則ε(t)=那么就滿足一個隨機微分方程Langevin方程,即ε(t)～

設(shè)τc=inf{t:ε(t)>c}表示波動率首次到達(dá)c的時刻,期權(quán)的持有者對賣出期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價;τd=inf{t:ε(t)≤d}表示波動率首次到達(dá)d的時刻,期權(quán)持有者就對買入期權(quán)進(jìn)行重新設(shè)置履約價;通常投資者會選擇組合期權(quán)進(jìn)行投資,所以取τ=τc∧τd表示上述事件只要有一個發(fā)生就可以進(jìn)行重新定價.

為了計算期權(quán)的定價公式,下面只研究當(dāng)τ=τc時(或等價地d=-∞)的重新定價.

3 風(fēng)險中性概率測度的轉(zhuǎn)換

選擇可交易的基本標(biāo)的資產(chǎn)St,令Zt=e-rtSt.則d Zt=Zt(u-r)d t+Ztσd Wt,記

定義測度Q:d Q=Λd P,滿足由Girsanov定理,可知PQ是P的等價鞅測度.且WQt=Wt+ρt,WQt是一個PQ測度下的標(biāo)準(zhǔn)布朗運動,在PQ測度下Zt滿足:

引理1 設(shè)在概率P下,X與Y,Ft分別獨立,則 EQ(XY|Ft)=EQ(X)EQ(Y|Ft).

4 期權(quán)定價公式

定理1 設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價的時間為τ,隨機時間的重置期權(quán)的歐式看漲期權(quán)在t時刻的價格為:

引理2 假設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價的時間為τ,則隨機時間的重置歐式看漲期權(quán)持有者與對方協(xié)商要求重新定價所需支付的違約金的公式為:

由于三部分的求解方法類似,所以重點介紹第一部分的求解過程.下面直接給出第二部分和第三部分的兩個引理.

引理3 設(shè)期權(quán)的到期日為T,期權(quán)買賣雙方協(xié)商要重新設(shè)置履約價的時間為τ,則隨機時間的重置

5 期權(quán)定價公式的近似解

[1]Gray S F,Whaley R E.Reset put options:valuation,risk characteristics,and an application[J].Australian Journmal of Management, 1999,24(1):1-20.

[2]劉平兵,歐輝.重置期權(quán)的一種創(chuàng)新及其定價[J].統(tǒng)計與決策,2006(10):32-34

[3]歐輝,向緒言,楊向群.重置期權(quán)的創(chuàng)新及其在隨機利率情形下的定價[J].湖南文理學(xué)院學(xué)報,2004(3):6-10.

[4]王莉君,張曙光.隨機利率下重置期權(quán)的定價問題[J].高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報A輯,2002,17(4):471-478.

[5]朱海燕,張寄洲.隨機利率下兩類重置期權(quán)的定價問題[J].上海師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,37(5):447.453.

[6]張寄洲,李松芹.重置期權(quán)的創(chuàng)新及其定價問題[J].上海師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2008,37(5):441-446.

[7]Tsay R S.金融時間序列分析[M].潘家柱,譯.北京:機械工業(yè)出版社,2006:329.

Reset Options M odel with Random Time

L IU Ying
(Department of Basic,Zhejiang Vocational College of Commerce,Hangzhou 310053,China)

Considering of the volatility of foreign exchange market,the paper derivates the p ricing formula of European call in reset op tions w ith random time by using equivalent measure and martingalemethods.

reset optionsmodel;random time;penalty

O211.6 MSC2000:91B28

A

1674-232X(2010)03-0209-06

DO I:10.3969/j.issn.1674-232X.2010.03.010

2010-02-21

2009年浙江省高校優(yōu)秀青年教師資助計劃(30202003).

劉 瑩(1977—),女,浙江溫州人,講師,碩士,主要從事金融數(shù)學(xué)研究.E-mail:mengmeng0930@126.com