原小娟, 田乃碩, 趙 媛, 寧小虎, 靳曉青

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì)

原小娟, 田乃碩, 趙 媛, 寧小虎, 靳曉青

(燕山大學(xué)理學(xué)院 河北秦皇島066004)

研究了具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì)模型.顧客到達(dá)是泊松過(guò)程,且兩次服務(wù)時(shí)間都服從一般分布.通過(guò)引用嵌入馬爾可夫鏈和廣義服務(wù)時(shí)間的方法給出了穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)的母函數(shù)和等待時(shí)間的LST,進(jìn)而給出模型的特例,最后通過(guò)數(shù)值例子分析了參數(shù)對(duì)平均隊(duì)長(zhǎng)和平均等待時(shí)間的影響.

連續(xù)時(shí)間排隊(duì);第一次必須服務(wù);第二次多選擇服務(wù);多重休假

0 引言

目前,很多學(xué)者在M/G/1排隊(duì)模型的基礎(chǔ)上,對(duì)具有各種排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)規(guī)則的排隊(duì)模型進(jìn)行了深入的研究.M adan研究了一種具有第二次選擇服務(wù)的M/G/1排隊(duì)模型后[1],具有第二次選擇服務(wù)排隊(duì)模型的研究受到了更多學(xué)者的關(guān)注,而這些研究多采用了補(bǔ)充變量法求解模型.文獻(xiàn)[1]的模型中,顧客接受第一次服務(wù)時(shí),服務(wù)時(shí)間服從一般分布,而接受第二次服務(wù)時(shí),服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布.由于服務(wù)時(shí)間服從指數(shù)分布有其局限性,因此,文獻(xiàn)[2]做了改進(jìn),把第二次服務(wù)時(shí)間從指數(shù)分布推廣到一般分布.尹小玲等[3]把第二次選擇服務(wù)只有一項(xiàng)服務(wù)推廣到多種不同的服務(wù)可供選擇,并且第一次服務(wù)時(shí)間和第二次選擇服務(wù)時(shí)間都服從一般分布,使用補(bǔ)充變量法研究了批量到達(dá)的具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊(duì)系統(tǒng).

近年來(lái),大多數(shù)學(xué)者的工作都集中在具有第二次選擇服務(wù)的排隊(duì)模型,而研究具有第二次多選擇服務(wù)的排隊(duì)模型甚少.由于補(bǔ)充變量法比較復(fù)雜、繁瑣,而廣義服務(wù)時(shí)間方法卻有一定的技巧性,因此本文通過(guò)引入廣義服務(wù)時(shí)間,使用嵌入馬爾可夫鏈的方法將多重休假引入到具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊(duì)模型中.

1 模型描述和嵌入馬爾可夫鏈

模型描述如下:

1)顧客到達(dá)遵循參數(shù)λ的Poisson過(guò)程.

2)在系統(tǒng)中所有到達(dá)的顧客都必須在服務(wù)臺(tái)接受第一次服務(wù),稱為第一次必須服務(wù),其服務(wù)時(shí)間S0的分布函數(shù)為F0(t),t≥0,其一、二階矩和LST記為:

3)第一次必須服務(wù)完成后,緊接著顧客以概率γk(1≤k≤m)選擇接受m(m≥1)中不同服務(wù)中的某一種(不接受第二次服務(wù)的顧客則離開(kāi)系統(tǒng)),稱為第二次多選擇服務(wù),其服務(wù)時(shí)間Sk的分布函數(shù)為Fk(t), t≥0,其一、二階矩和LST記為

如果令γ0=1,那么γ0表示顧客接受第一次必須服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)的概率.

將服務(wù)員的服務(wù)時(shí)間分成兩部分:第一次必須服務(wù)時(shí)間S0和第二次多選擇服務(wù)時(shí)間Sk,則

4)系統(tǒng)中一旦無(wú)顧客,服務(wù)臺(tái)立刻開(kāi)始一次隨機(jī)長(zhǎng)度V的休假,結(jié)束一次休假時(shí)系統(tǒng)中若仍無(wú)顧客,服務(wù)臺(tái)就接續(xù)一次獨(dú)立同分布的休假,直到某次休假結(jié)束時(shí)系統(tǒng)中已有顧客等待,服務(wù)臺(tái)終止休假并開(kāi)始接待顧客,服務(wù)到服務(wù)臺(tái)再次變成空.設(shè)休假時(shí)間的分布函數(shù)為V(x),其LST為:v＊(s)且E(V)與E(V2)存在.

以上隨機(jī)變量相互獨(dú)立,另外系統(tǒng)中只有一個(gè)服務(wù)臺(tái)且服務(wù)機(jī)制為先到先服務(wù)(FCFS).

以Ln(n≥1)表示第n個(gè)顧客離去后瞬時(shí)系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù),則{Ln,n≥1}是隊(duì)長(zhǎng)過(guò)程Lv(t)的嵌入Markov鏈,容易驗(yàn)證,離去時(shí)刻的隊(duì)長(zhǎng){Ln,n≥1}滿足遞推公式,其中,A是一個(gè)服務(wù)時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù),Qb表示一個(gè)忙期開(kāi)始時(shí)系統(tǒng)內(nèi)的顧客數(shù),其中A的分布、母函數(shù)與均值分別為:

在確定Qb的分布之前,設(shè)vj為一個(gè)休假時(shí)間內(nèi)恰好到達(dá)j個(gè)顧客的概率,其分布和母函數(shù)為:

依多重休假策略,則Qb的分布為,其中v0=v＊(λ),則Markov鏈{Ln, n≥1}的轉(zhuǎn)移概率矩陣為

使用Foster準(zhǔn)則可以類似的證明{L,n≥1}正常返當(dāng)且僅當(dāng)n

2 穩(wěn)態(tài)隊(duì)長(zhǎng)和等待時(shí)間

設(shè)ρ<1,則{Ln,n≥1}正常返.記

定理1當(dāng)ρ<1時(shí),具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì)系統(tǒng)中離去時(shí)刻的穩(wěn)態(tài)顧客數(shù)Lv有母函數(shù)

證明當(dāng)ρ<1時(shí)穩(wěn)態(tài)分布存在且滿足Π,則π,兩邊各取母函數(shù),得,經(jīng)整理并解得到

使用正規(guī)化條件Lv(1)=1及L’Hospital法則求解可以得到把π0代入(1)式即得Lv(z)的表達(dá)式,定理得證.

容易計(jì)算離去時(shí)刻的平均隊(duì)長(zhǎng)

定理2當(dāng)ρ<1時(shí),具有第二次多選擇服務(wù)的多重休假M(fèi)/G/1排隊(duì)系統(tǒng)中穩(wěn)態(tài)等待時(shí)間Wv的LST為

證明一個(gè)顧客離去時(shí),留在系統(tǒng)中的顧客數(shù)恰好等于它的等待時(shí)間Wv和服務(wù)時(shí)間S內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)之和.注意到等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)相互獨(dú)立,于是有

把定理1中Lv(z)的表達(dá)式代入(2)式,并令λ(1-z)=s,則得

從而可以計(jì)算平均等待時(shí)間為

3 特例

例1具有第二次多選擇服務(wù)的M/G/1排隊(duì).

在上述排隊(duì)模型中取休假時(shí)間為零時(shí),系統(tǒng)模型詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3],因此可得

若進(jìn)一步考慮m=1時(shí),即第二次多選擇服務(wù)只有一種服務(wù),系統(tǒng)模型詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2],因此可得

例2多重休假的M/G/1排隊(duì).

取γk=0時(shí),即沒(méi)有第二次多選擇服務(wù),系統(tǒng)模型詳見(jiàn)文獻(xiàn)[4],因此可得

4 數(shù)值例子

通過(guò)以上分析,我們獲得了系統(tǒng)的平均隊(duì)長(zhǎng)、平均等待時(shí)間等一些穩(wěn)態(tài)指標(biāo),但是在實(shí)際問(wèn)題中不僅要知道排隊(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo),而且還要了解系統(tǒng)中的某些參數(shù)對(duì)這些穩(wěn)態(tài)指標(biāo)的影響,從而刻畫(huà)出排隊(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài).下面以m=2為例,給出平均隊(duì)長(zhǎng)E(Lv)、平均等待時(shí)間E(Wv)隨著參數(shù)γ1,γ2變化的規(guī)律,如圖1、圖2所示.

[1] Madan K C.An M/G/1 queue w ith second op tional service[J].Queueing Systems,2000,34:37-46.

[2] Medhi J.A single server poisson input queue w ith a second op tional channel[J].Queueing Systems,2002,42:239-242.

[3] 尹小玲,鄧永錄,劉國(guó)柱.具有第二次多選擇服務(wù)的M/G[x]/1排隊(duì)系統(tǒng)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2003,17(1): 41-53.

[4] 田乃碩.休假隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)[M].北京:北京大學(xué)出版社,2001.

[5] 朱翼雋,王成全,陳燕.具有二次可選服務(wù)反饋的M[x]/G/1(E,SV)排隊(duì)系統(tǒng)[J].江蘇大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,28 (4):363-365.

The M/G/1 Queueing System with Second Multi- optional Servicesand M ultiple Vacations

YUAN Xiao-juan, TIAN Nai-shuo, ZHAO Yuan, N ING Xiao-hu, JIN Xiao-qing
(College of Science,Yanshan University,Qinhuangdao 066004,China)

The M/G/1 queueing system w ith second m ulti-op tional services and m ultip le vacations are discussed.The arrival of customer is a general Poisson p rocess,meanw hile,the first service time and the second service time all have general distributions.Using imbedded Markov chain and the broad sense service timemethod,the generating function of the steady-state queue length and the LST of the w aiting time are derived.Furthermo re,the particular case of this model are obtained.Finally,the effect of the parameterson the expected queue length and the expected waiting time are analyzed by numerical examp les.

continuous time queue;the first essential service;the second m ulti-op tional services; m ultip le vacations

O 226

A

1671-6841(2010)03-0011-04

2009-12-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目,編號(hào)10671170.

原小娟(1984-),女,碩士研究生,主要從事排隊(duì)論及其應(yīng)用研究,E-mail:456yuanjun123@163.com.