霍 羽 徐 釗 鄭紅黨

(中國礦業(yè)大學(xué)信息與電氣工程學(xué)院,江蘇徐州221008)

1.引 言

在礦井隧道這種復(fù)雜特殊的受限空間里,受隧道截面尺寸、傳播頻率、天線極化、隧道壁反射、隧道壁粗糙度、傾斜度等綜合因素的影響,電磁波傳播特性有別于地面情況[1-6],而隧道內(nèi)電磁波傳輸理論的發(fā)展較為緩慢,所得結(jié)論還存在爭議。

上世紀70年代,Marcatili、Emslie等研究認為在隧道中傳播的電磁波,當(dāng)其波長遠小于隧道截面尺寸時,可將隧道視作有損耗的介質(zhì)波導(dǎo),并分析了隧道內(nèi)電磁波傳輸?shù)牟７匠蘙1-2]。

文獻[2]推導(dǎo)出基模作用下的電磁波衰減公式,據(jù)此推斷,電磁波傳播損耗隨頻率的升高而降低,并最終收斂于零。此外,隧道壁粗糙度對電磁波傳播特性的影響在低頻時較為嚴重,而傾斜度的影響在高頻時較為嚴重。

然而文獻[7]在對平面導(dǎo)波的波模方程求解分析以及仿真時,認為粗糙度對電磁波傳播特性的影響在較高頻率時會增大,但是總體衰減仍然隨頻率的升高而減少;而且認為粗糙度對水平極化波的影響更大。

此后四五十年,在相關(guān)的大部分理論研究中,所得結(jié)論卻更傾向于文獻[2][8-12]。

不過,上述研究都因高次模的傳播損耗較大,而將其忽略,只針對基模進行分析,忽略了多波模的共同作用,因而所得結(jié)論值得商榷。

文獻[5]曾對隧道內(nèi)電磁波傳播模式進行了討論,提出理論分析中應(yīng)考慮多波模的共同作用。

文獻[13]采用了幾何光學(xué)的方法,由于多波模在傳播中所起的作用近似于多徑傳播,點源的場是通過直接射線和反射射線疊加的結(jié)果,通過對兩種不同頻率下電磁波的相對時延進行仿真分析,得出受粗糙度影響高頻信號的衰減大于低頻信號的結(jié)論,顯然,這與上述結(jié)論均有相悖之處,但是缺少進一步的理論證明。

綜上所述,僅用基模來分析隧道內(nèi)電磁波的傳播特性不夠準(zhǔn)確。本文在研究較高次波模影響的基礎(chǔ)上,推導(dǎo)出多波模綜合作用下的衰減公式,建立了多波模傳輸理論,通過理論分析,仿真比較,所得結(jié)論與以往分析有所不同,但與已有測量數(shù)據(jù)[3,10,14],及幾何光學(xué)的仿真結(jié)論相一致,對隧道內(nèi)傳統(tǒng)波模理論進行了修正。

2.矩形隧道多波模理論

假設(shè)在空直的礦井隧道內(nèi),主隧道橫截面為矩形,寬為a,高為b,采用直角坐標(biāo)系,原點位于隧道橫截面中心,x,y,z分別沿隧道的寬度、高度和長度方向,如圖1所示。兩側(cè)壁的相對介電常數(shù)為ε1,頂?shù)變杀诘南鄬殡姵?shù)為ε2.

圖1 隧道模型

隧道內(nèi),只有直射波和掠射波才可以實現(xiàn)遠距離傳輸[1]。如果接收機靈敏度所允許的最高次模為(),則被接收到的總波模數(shù)M為

設(shè)發(fā)射機發(fā)射功率恒定,平均分配給各次波模。(m,n)次模的衰減常數(shù)為L(m,n),將發(fā)射功率歸一化,則電磁波傳播的衰減常數(shù)為

下面分別討論電磁波傳播時的反射損耗特性,由隧道壁粗糙度和傾斜度引起的散射損耗特性。暫不考慮天線在隧道內(nèi)的插入損耗。

2.1 隧道壁反射引起的傳播損耗

2.1.1 單波模作用下的損耗

根據(jù)馬卡梯里理論,波導(dǎo)中傳輸?shù)闹饕Ｊ綖?水平極化波與垂直極化波。首先分析水平極化波Eh的各場量表達式,由麥克斯韋方程與邊界條件[2]

式中:m為波模在水平方向的半波數(shù);n為波模在垂直方向的半波數(shù)。

kx、ky、k z滿足色散條件

根據(jù)公式(5)、切向電場與切向磁場連續(xù)的邊界條件可以求出kz

式中,k z的虛部表示了沿隧道傳輸方向的衰減。則(m,n)模式水平極化波Eh的反射損耗(dB)為

同理,可以計算出(m,n)模垂直極化波Ev的反射損耗

2.1.2 多波模作用下的損耗

根據(jù)隧道內(nèi)電磁波能遠距離傳輸?shù)臈l件,這里把掠射角作為選擇高次模的依據(jù)。

假設(shè)(m,n)次波模入射到兩側(cè)壁和上下兩壁的掠射角分別為 φ1和 φ2,則有[11]

把公式(4)、(5)代入式(9)

電磁波入射到隧道側(cè)壁和頂?shù)妆跁r,假設(shè)接收機靈敏度所允許的最大掠射角分別為φ1max和φ2max,由公式(10),可以得到滿足條件的最高次模為

代入到公式(1),則被接收到的總波模數(shù)M為

模式數(shù)目與頻率平方成正比,高次模的影響隨頻率的升高而增強。

將公式(7)、(11)和(12)代入式(2)得到水平極化波Eh的反射損耗

同理,可得垂直極化波Ev的反射損耗

電磁波反射損耗與頻率成反比。

2.2 隧道表面粗糙度造成的散射損耗

2.2.1 單波模作用下的損耗

根據(jù)Rayleigh判據(jù),假設(shè)隧道壁粗糙度服從均值為0,方差為σ2高斯分布,當(dāng)入射波以一定掠射角φ掠入射到隧道壁時,入射波與反射波的相位差為Δφ=2kσsinφ,如果 Δφ＞π/2,即,則隧道表面是粗糙的。根據(jù)定義,可以推斷,電磁波頻率越高,波長越短,由隧道壁粗糙造成的散射損耗應(yīng)越強。

首先,推導(dǎo)單次波模的粗糙度損耗公式。

反射波強度I與入射波強度I 0的比值為[15]

R0為不考慮粗糙度影響時,入射波的反射系數(shù)。因此,由粗糙度引起的損耗因子為

把式(10)代入式(16),可以分別得到(m,n)波模在側(cè)壁和頂?shù)妆谏辖?jīng)歷一次反射后的粗糙度衰減因子

假設(shè)(m,n)模式的電磁波經(jīng)過傳播距離z后,在兩側(cè)壁上共反射了 N 1次,在頂?shù)妆谏瞎卜瓷淞薔2次,則[2]

根據(jù)公式(10)、(17)和(18),可推導(dǎo)出傳播距離z后的損耗因子

將公式(19)用dB表示

正如公式(20)所示,如果僅考慮給定的單一模式,很容易錯誤地認為粗糙度對電磁波衰落特性的影響隨頻率的升高會減少,衰減值與頻率成反比。但是,當(dāng)考慮了多波模的綜合作用后,結(jié)果將截然相反。

2.2.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(20)代入式(2)得到由隧道壁粗糙度造成的散射損耗

根據(jù)公式(21),給定掠射角臨界值后,由粗糙度引起的衰落隨頻率的升高而增大,與根據(jù)粗糙度定義得出的推論結(jié)果相一致。

2.3 隧道壁傾斜造成的散射損耗

2.3.1 單波模作用下的損耗

實際的礦井隧道,頂壁和底壁可能存在大范圍的傾斜,假設(shè)傾斜角度為θ(rad),則電磁波在側(cè)壁和頂?shù)妆诘墓β蜀詈弦蜃觛1、g2分別是[2]

根據(jù)公式(10),(18)和(22),(m,n)模式的電磁波經(jīng)過傳播距離z后的損耗因子為

用d B表示

對于單波模電磁波,由隧道壁傾斜度引起的損耗與頻率成正比,而可考慮的波?？倲?shù)也隨頻率的平方增長,所以,傾斜度的影響在高頻時明顯。

2.3.2 多波模作用下的損耗

將公式(11)、(12)和(24)代入式(2)得到由多波模綜合作用下的散射損耗

3.多波模傳播特性仿真

假設(shè)一個寬為4 m,高為3 m的矩形空直隧道內(nèi),隧道壁的相對介電常數(shù)為10。壁表面的粗糙度標(biāo)準(zhǔn)方差σ=0.0749,傾斜度為1°。收發(fā)機距離為300 m。

1)反射損耗特性

圖2比較了基模和多波模綜合作用下,因反射引起的傳播損耗隨頻率的變化曲線。圖2(a)顯示,隨頻率的增加,基模的水平極化波與垂直極化波衰減系數(shù)收斂于零,文獻[2,8-12]據(jù)此判斷了電磁波的衰落特性。但由圖2(b)可以看出這一結(jié)論不夠準(zhǔn)確,隨頻率的升高,在多波模的綜合作用下,電磁波經(jīng)反射造成的損耗逐漸減小,但最終收斂于一個大于零的穩(wěn)定值。

因為波模數(shù)目隨頻率的平方而增長,導(dǎo)致反射損耗始終存在。所以在分析隧道電磁波傳輸時,考慮一些次數(shù)較低的高次波模是必須的。

此外,仿真隧道的截面寬度大于高度,垂直極化波的衰減值略大于水平極化波,這一結(jié)果與文獻[3]的測量結(jié)果一致。

2)粗糙度造成的散射損耗特性

圖3仿真了由隧道壁粗糙度造成的傳播損耗隨頻率的變化曲線。由圖可以直觀地看出基模和電磁波整體傳播特性的顯著差異。在高頻處,隧道壁粗糙度對傳播特性的影響不是減小至零,而是增強,驗證了幾何光學(xué)分析法的仿真結(jié)果[13]。這與文獻[2]的結(jié)論“粗糙度對電磁波傳播特性的影響在低頻時較為明顯”相悖。

在公式(20)中,粗糙度造成的散射損耗與其模式次數(shù)m和n的三次方成正比,而待考慮高次模的數(shù)量又與頻率的平方成正比,使得散射損耗隨頻率增長的趨勢必然遠大于單波模損耗下降的趨勢。

圖3 隧道壁粗糙表面造成的散射損耗與頻率的變化曲線

3)傾斜度造成的散射損耗特性

圖4為隧道壁傾斜度影響下的電磁波衰減隨頻率的變化曲線。受多波模的作用,傾斜度的影響隨頻率的增強趨勢更顯著。當(dāng)然,在高頻時,傾斜度比粗糙度的影響大得多。

4)矩形空直隧道內(nèi)的傳播損耗

矩形空直隧道內(nèi)的傳播損耗為電磁波反射損耗、隧道壁粗糙度及傾斜度造成的散射損耗之和。

圖5給出了電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線。不難發(fā)現(xiàn),矩形空直隧道內(nèi),電磁波的最佳傳播頻段在500～1500 MHz之間,與文獻[10,14]根據(jù)測量數(shù)據(jù)所得的分析結(jié)果相一致。

圖5 電磁波傳播損耗隨頻率的變化曲線

4.結(jié) 論

針對矩形空直隧道,首先定義了電磁波傳播中應(yīng)考慮波模的個數(shù)和最高次數(shù),然后推導(dǎo)出多波模綜合作用下的電磁波衰減公式,建立了多波模傳輸理論。通過理論分析與仿真比較,得出結(jié)論:

1)高次模對電磁波傳播特性的影響隨頻率的升高而增大,不可忽略。

2)在多波模的共同作用下,水平極化波和垂直極化波的衰減值及其差值隨頻率的升高而減小,并收斂在穩(wěn)定值。

3)隧道壁傾斜度、粗糙度對電磁波傳播特性的影響都在高頻時明顯,傾斜度的影響相對更大。

4)對隧道內(nèi)的電磁波傳播,500～1500 MHz是比較理想的低衰減頻段,該結(jié)論對隧道等有限空間通信頻率的選擇具有一定的參考價值。

綜上所述,電磁波傳播特性與基模特性之間存在很大的差異。上述結(jié)果與實際測量結(jié)果相一致,并在理論上驗證了幾何光學(xué)仿真結(jié)果的正確性,修正了傳統(tǒng)只依靠單模分析的電磁波傳輸理論,對井下通信與控制系統(tǒng)的建立具有重要意義。

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