陳鵬宇 段新勝

(中國地質大學(武漢)工程學院,武漢 430074)

灰色預測模型是灰色理論的重要組成部分,而GM(1,1)模型是灰色預測模型中最基本的預測模型,已經在許多領域得到了廣泛應用[1-3].但是GM(1,1)模型在許多情況下預測精度并不高,即使擬合純指數(shù)序列也得不到滿意的結果,因此一些學者對其進行了研究[4-13],包括初始值確定[4-5]和背景值構造兩方面[6-13].初始值確定雖然在一定程度上影響了GM(1,1)模型的預測精度,但是最主要的精度影響因素還是背景值構造的缺陷.文獻[7-8]以拉格朗日中值定理在理論上分析了背景值構造的不足,文獻[9]從幾何思想上分析了背景值構造的不足,文獻[10-12]從積分思想上分析了背景值構造的不足,文獻[13]在非嚴格等比數(shù)列的基礎上對積分思想的背景值構造進行進一步優(yōu)化.本文將基于文獻[13]提出的非嚴格等比數(shù)列(文中稱之為近似指數(shù)序列)思想,重新審視文獻[12]中的背景值構造,并指出文獻[13]優(yōu)化方法的不足,建立新的背景值構造形式.實例應用結果顯示,新背景值構造形式下的GM(1,1)模型具有更高的精度.

1 GM(1,1)模型建模機理及其缺陷

令x(0)為GM(1,1)建模序列

令x(1)為x(0)的AGO 序列

令z(1)為x(1)的均值(MEAN)序列

則GM(1,1)的定義型,即GM(1,1)的灰微分方程模型為

式中,a為發(fā)展系數(shù),b為灰作用量,是微分方程的參數(shù).

灰微分方程白化型為

GM(1,1)白化型響應式為

由最小二乘法,可以求得參數(shù)

在區(qū)間[k-1k]上對灰微分方程白化型兩邊積分[12]:

即

將式(5)與灰微分方程x(0)(k)+az(1)(k)=b比較可以得到兩者的差別僅為x(1)(k-1)),顯然以x(1)(k-1))更能適應灰微分方程白化型.文獻[12]以原始數(shù)據為純指數(shù)序列的前提下導出的表達式,具體如下:

假設原始數(shù)據x(0)(k)=gea(k-1)為純指數(shù)序列,則其一次累加序列為x(1)(k)=Gea(k-1)+C,其中G=g(1-e-a)-1,C=-Ge-a,k=1,2,…,n.

經計算可得

2 背景值構造的重新優(yōu)化

文獻[13]指出文獻[12]中的背景值構造是基于純指數(shù)序列推導出的,其并不適合于非嚴格等比序列或者說近似指數(shù)序列,并給出了優(yōu)化后的背景值形式

文獻[13]雖然認識到了由純指數(shù)推導出的背景值構造形式并不適合于近似指數(shù)序列,但是其僅僅是將文獻[12]中的ak和Ck用近似值a′和C來代替,該方法并不能從根本上解決背景值構造形式對近似指數(shù)序列的適用性問題.下面仍以文獻[12]中的積分思想推導出新的背景值構造形式.

至于動態(tài)修正項的求解本文采用具有全局尋優(yōu)能力的遺傳算法.具體操作可利用Matlab編程及其遺傳算法工具箱,在原始數(shù)據殘差平方和最小目標下進行搜尋,即

3 實例分析

以江蘇省1997～2002年的財政科技投入數(shù)據[12]建立原GM(1,1)模型、文獻[12-13]中背景值重構模型以及本文模型,原始數(shù)據見表1,各模型預測值見表2.

表1 1997～2002年江蘇省財政科技投入

表2 各模型預測結果比較

利用1997～2002年的財政科技投入數(shù)據建立原GM(1,1)模型得時間響應式為

建立文獻[12]中背景值重構模型時間響應式為

建立文獻[13]中再優(yōu)化模型,得時間響應式為

建立本文重新優(yōu)化模型,得時間響應式為

其中 α(k)={-0.204,0.350,0.031,4,0},k=2,3,4,5,6,它們的累加還原值為

從表2預測結果可以看出由純指數(shù)導出背景值形式的文獻[12]中的改進模型以及將級比看作常數(shù)的文獻[13]中再優(yōu)化模型都不適合于近似指數(shù)序列,文獻[12]模型預測值明顯偏大,而文獻[13]模型預測值明顯偏小,兩種模型預測精度甚至不如原始的GM(1,1)模型,這樣的改進意義不大,而本文的重新優(yōu)化模型解決了GM(1,1)模型對于近似指數(shù)序列擬合的問題,其殘差平方和由GM(1,1)模型的0.294減小到了0.279,提高了預測精度.

4 結 語

分析了原有兩種基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型存在的問題,通過兩種模型的積分思想以及非嚴格等比數(shù)列思想建立了添加動態(tài)修正項的重新優(yōu)化背景值構造形式,其適合于近似指數(shù)序列建模,實例應用結果顯示其提高了預測精度,具有更高的應用價值.

[1]劉造保,石 雄.基于修正GM(1,1)模型的巖體邊坡預測分析[J].三峽大學學報:自然科學版,2008,30(5):33-36.

[2]張 莉,吉培榮,杜愛華等.中長期電力負荷預測的幾種灰色預測模型的比較及應用[J].三峽大學學報:自然科學版,2009,31(3):41-45.

[3]陳鵬宇.單樁極限承載力非等步長灰色GM(1,1)模型預測精度分析[J].工程建設與設計,2009(9):68-71.

[4]謝乃明,劉思峰.離散GM(1,1)模型與灰色預測模型建模機理[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2005(1):93-99.

[5]王忠桃,彭 鑫,戴 齊.基于初值修正的灰色預測模型的改進及其應用[J].重慶工學院學報:自然科學版,2007,21(10):81-84.

[6]黨耀國,劉思峰,劉 斌.以為初始條件的GM模型[J].中國管理科學,2005,13(1):132-135.

[7]陳定元.傳統(tǒng)灰色建模的一些理論問題[J].河南科技大學學報:自然科學版,2009,30(2):82-85.

[8]王開友,陳定元.灰色GM(1,1)模型建模的理論探討[J].安慶師范學院學報:自然科學版,2008,14(3):41-43.

[9]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構造方法和應用(Ⅰ)[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2000(4):98-103.

[10]羅 黨,劉思峰,黨耀國.灰色模型GM(1,1)優(yōu)化[J].中國工程科學,2003,5(8):50-53.

[11]王葉梅,黨耀國,王正新.非等間距GM(1,1)模型背景值的優(yōu)化[J].中國管理科學,2008,16(4):159-162.

[12]王正新,黨耀國,劉思峰.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化的GM(1,1)模型[J].系統(tǒng)工程理論與實踐,2008(2):61-67.

[13]薛煥斌,魏 勇.基于離散指數(shù)函數(shù)優(yōu)化GM(1,1)模型的再優(yōu)化[J].數(shù)學的實踐與認識,2009,39(1):242-246.