胡繼宏， 高先龍

(浙江師范大學 數理與信息工程學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

Hubbard模型是固體物理中描述金屬絕緣體相變的一個簡化模型[1].在Hubbard模型中僅僅考慮近鄰格點之間的跳躍和同格點上的相互作用.對處于低溫周期性勢場中的粒子，Hubbard模型是個很好的簡化模型，因為在這種條件下，所有的粒子都占據在最低能帶，次近鄰格點之間的跳躍和不同格點間的相互作用可以略去.因此，建立在緊束縛近似基礎上的Hubbard模型在固體物理中有著廣泛的應用.例如，Hubbard 模型正確預測了強關聯體系中的Mott絕緣相；解釋了凝聚態(tài)物理中電子的巡游性質和高溫超導的部分特性等.此外，現在的原子冷卻技術可以將原子束縛在光晶格中，形成真正嚴格的Hubbard模型而非凝聚態(tài)體系中的近似模型，這就為理解Hubbard模型提供了實驗體系，為驗證束縛在光晶格中的費米Hubbard模型并理解其豐富的相圖[2]提供了可靠的依據.

束縛在光晶格中的冷原子為研究凝聚態(tài)物理中的關聯開拓了一個新的領域.例如:研究玻色Hubbard和費米Hubbard模型的相圖;玻色和費米超流及超導等物理特性.實驗上已經可以實現一維光晶格中的強相互作用的玻色Tonks氣體和束縛在光晶格中的費米氣體.因此，利用實驗可以驗證一維Hubbard模型的理論及數值模擬研究的結果.

實驗還可以模擬不同組分的極化氣體的性質和系統(tǒng)處于不同外勢的性質，如單勢阱和雙勢阱束縛等.這些實驗進展使得研究光晶格中的費米Hubbard模型具有更加現實的意義.研究強關聯體系，需要利用比平均場更加精確和有效的數值或者解析的方法,如Bethe-ansatz方法[3]、量子蒙特卡洛、密度矩陣重整化群和用于小體系的精確對角化方法.本文研究非均勻費米Hubbard模型，采用建立在Bethe-ansatz解基礎上的托馬斯-費米近似方法.這種方法已經被證實能很好地體現非均勻體系的相變特性.當外勢或者系統(tǒng)參數變化引起相變時，研究者可以測量系統(tǒng)的局域密度的變化、體系壓縮比[4]和雙占據[5]等物理量.本文通過計算壓縮比、雙占據和雙占據對密度的導數來反映由外勢和體系參數變化所引起的相變.

1 模型及其性質

1.1 模型及處理方法

考慮一個單帶兩組分的費米Hubbard鏈，系統(tǒng)大小為Ns，粒子數為Nf，則體系的哈密頓量可以寫為

i.

(1)

一維費米Hubbard 模型的物理性質可用一維關聯系統(tǒng)的Luttinger 液體理論來描述，當u=U/t<0，即相互作用是吸引時，由Luther-Emery 液體理論表述.在零溫和熱力學極限條件下(Nf,Ns→∞,但是Nf/Ns是有限值),體系的性質由填充密度n=Nf/Ns和無量綱的常數u決定.文獻[3]給出了Hubbard模型的基態(tài)性質.在此之后,Kocharian等[6]和Tanaka等[7]分別用不同的方法求解了均勻及非均勻吸引費米Hubbard模型的基態(tài)及激發(fā)態(tài)的性質.

由于邊界條件或者外勢引起的非均勻性，方程(1)一般沒有解析解，通常要借助于數值方法求解.常用的數值解法除了以上提及的方法外還有動態(tài)平均場方法、密度泛函理論等.

1.2 u<0時因外勢引起的式(1)的相變性質

筆者借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz解，利用托馬斯-費米近似方法驗證體系的相變過程.在相互吸引作用下,方程式(1)中所表示的哈密頓量的化學勢可以通過托馬斯-費米近似求解，即求解如下局域平衡態(tài)方程:

μ=μhom(n,u)|n→ni+V2(i-(Ns+1)/2)2.

(2)

2 數據與結果

由均勻體系中雙占據的定義D=?E/?U，筆者分別給出了雙占據對粒子密度和相互作用的依賴關系，具體見圖1.圖1(a)中:當體系無相互作用(u=0)時，D=n2/4;當體系有相互作用且粒子數密度n>1.0時可以利用基態(tài)能量的對稱性E(u,n>1.0)=u(n-1)+E(u,2.0-n)得到D(u,n>1.0)=n-1.0+D(u,2.0-n).相互作用相同的情況下，隨著粒子數密度的增大雙占據單調增大到1.0；在粒子數密度相同的情況下，相互作用越大雙占據越大，體系越趨于形成緊束縛的單態(tài).圖1(b)是以相互作用u為變量對不同的粒子數密度得到的雙占據，對相同的u,雙占據隨著密度的增大而增大.當相互作用非常強時,雙占據D≈n/2；當粒子數密度為2.0時，雙占據等于1.0.

(a)對密度的依賴關系

(b)對相互作用u的依賴關系

圖2 均勻體系中雙占據對密度求導

圖3 以ρ和u為參數得到的相圖

圖4 諧振勢作用下體系的雙占據

圖5 雙占據對密度ρ求導和壓縮比的局域分布

3 結 論

借助于Hubbard模型的Bethe-ansatz方法采用托馬斯-費米近似，討論了在諧振勢作用下的一維吸引型Hubbard模型的相變性質.本文主要通過測量壓縮比、雙占據及其對密度ρ的導數來驗證體系的相變過程.從數據結果可以看出，用局域壓縮比、雙占據及其對密度的導數，可以很好地反映吸引型Hubbard 模型從金屬相到帶絕緣相的相變過程.

參考文獻：

[1]Altland A,Simons B.Condensed Matter Field Theory[M].Cambridge:Cambridge University Press,2006:58.

[2]Gao Xianlong,Polini M,Tanatar B,et al.Interacting Fermi gases in disorder one-dimensional lattices[J].Phys Rev B,2006,73(16):161103.

[3]Lieb E H,Wu F Y.Absence of Mott Transition in an Exact Solution of the Short-Range,One-Band Model in One Dimension[J].Phys Rev Lett,1968,20(25):1445-1448.

[4]Scarola V W,Pollet L,Oitmaa J,et al.Discerning Incompressible and Compressible Phases of Cold Atoms in Optical Lattices[J].Phys Rev Lett,2009,102(13):135302.

[5]Kollath C,Iucci A,McCulloch I P,et al.Modulation spectroscopy with ultracold fermions in an optical lattice[J].Phys Rev A,2006,74(4):041604.

[6]Kocharian A N,Yang C,Chiang Y L.Self-consistent and exact studies of pairing correlations and crossover in the one-dimensional attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,59(11):7458-7472.

[7]Tanaka K,Marsiglio F.Even-odd and super-even effects in the attractive Hubbard model[J].Phys Rev B,1999,60(5):3508-3526.