李晶晶， 水樹良， 張旭楊

(浙江師范大學(xué) 數(shù)理與信息工程學(xué)院,浙江 金華 321004)

0 引 言

在2個(gè)種群的相互作用中,捕食與被捕食系統(tǒng)是數(shù)學(xué)生態(tài)模型研究中一個(gè)重要的課題[1].在許多情況下,特別是當(dāng)捕食者不得不搜索食物時(shí),更切實(shí)際且更一般的捕食者-食餌2個(gè)種群模型應(yīng)符合“比率依賴”理論[2-3].文獻(xiàn)[2]對一類基于比率的Leslie型捕食模型在無收獲條件下的情形做了定性分析;文獻(xiàn)[4]討論了帶有Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的捕食與被捕食模型在非線性狀態(tài)反饋收獲下的性態(tài).這些研究具有實(shí)際意義和理論價(jià)值,對可再生資源的合理利用與管理提供了幫助.

基于比率的捕食與被捕食收獲的Leslie模型的一般形式為

(1)

(2)

式(2)中:r,p分別表示食餌和捕食者的內(nèi)稟增長率;k表示沒有捕食者時(shí)食餌的容納量;m表示每個(gè)捕食者的最大取食率;q表示為了維持捕食者在某種平衡狀態(tài)時(shí)所需食餌的比例常數(shù);a,b,r,k,m,p,q,h均為正常數(shù),c為待定參數(shù),且設(shè)食餌的內(nèi)稟增長率r>b,捕食者的內(nèi)稟增長率p>h.

1 平衡點(diǎn)

(3)

當(dāng)y≠0時(shí)

系統(tǒng)(3)的Jacobi矩陣為

在E1(x1,0)處,系統(tǒng)(3)的Jacobi矩陣及特征方程為

同理可得,E2(x2,0)是不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn),E3(x3,0)是鞍點(diǎn).歸納得定理2.

2 極限環(huán)的不存在性

接下來討論極限環(huán)的不存在性問題.先給出2個(gè)極限環(huán)不存在的充分條件.

證明 對于系統(tǒng)(3)作線性變換x=σu,y=σv,τ=σt,得到的系統(tǒng)仍用x,y,t表示,則

3 分支與極限環(huán)的存在性

接下來給出系統(tǒng)(3)的正平衡點(diǎn)由穩(wěn)定變?yōu)椴环€(wěn)定的分支值,并討論極限環(huán)的存在性.

1)當(dāng)cs<0時(shí),系統(tǒng)(3)在唯一正平衡點(diǎn)E4(x4,y4)處的Jacobi矩陣及特征方程為

由于ξ>0,所以當(dāng)φ<0時(shí),特征根具有負(fù)實(shí)部,從而E4為穩(wěn)定的正平衡點(diǎn);當(dāng)φ>0時(shí),特征根具有正實(shí)部,從而E4為不穩(wěn)定的正平衡點(diǎn).

圖1 外境界線

由此得定理7和定理8.

類似于E4的情形,以下證明正平衡點(diǎn)E6外圍也至少存在1個(gè)極限環(huán).

圖2 外境界線

證明 類似于定理5,故略.

-(x-xP1)(x-xP2)>0,xP1

由定理6與定理9知,在一定條件下,該生態(tài)系統(tǒng)中的2個(gè)種群會產(chǎn)生生物性振蕩現(xiàn)象.人為調(diào)整控制參數(shù)能使x種群與y種群長期共存,并最終穩(wěn)定在一個(gè)極限環(huán)上.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳蘭蓀.數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)模型與研究方法[M].北京:科學(xué)出版社,1988:129-265.

[2]黃旭玲,周盛凡.一個(gè)基于比率確定的捕食系統(tǒng)的定性分析[J].上海大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2005,11(6):606-610.

[3]Hsu S B.Global analysis of the Michaelis-Menten-type ratio-dependent predator-prey system[J].Mathematical Biology,2001,42(6):489-506.

[4]程榮福,李輝.具有Holling Ⅲ型功能反應(yīng)的捕食與被捕食收獲模型的分支與極限環(huán)[J].東北師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2007,39(1):17-21.