郭冠平, 周國中, 何寶鋼

(1.浙江師范大學(xué) 教師教育學(xué)院,浙江 金華 321004;2.金華教育學(xué)院,浙江 金華 321001)

0 引 言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們對于非線性問題的關(guān)注也更加深入，而且許多非線性問題的研究最終都可歸結(jié)為用非線性演化方程來描述.如何求解它們一直是數(shù)學(xué)和物理學(xué)研究的一個核心問題.近幾十年來已發(fā)展了多類不同的求解方法[1-9].人們對于非線性耦合Klein-Gordon方程組[10]

(1)

1 非線性耦合Klein-Gordon方程組的精確解

對于方程組式(1),設(shè)

u(x,y,z,t)=u(ξ),v(x,y,z,t)=v(ξ),ξ=kx+ly+pz-ωt.

(2)

Au″+α1u-β1u3-γ1uv2=0;

(3)

Av″+α2v-β2v3-γ2u2v=0.

(4)

式(3)和式(4)中：

(5)

(6)

(7)

式(7)中，G=G(ξ)滿足二階線性常微分方程

G″+λG′+μG=0.

(8)

式(6)～式(8)中的a0,a1,…,am,b0,b1,…,bn,λ,μ為待定常數(shù).正整數(shù)m,n由齊次平衡法確定，m=n=1.

將式(6)、式(7)代入式(3)、式(4),并根據(jù)式(8)得到

(9)

第1組：

其中a1為任意實數(shù).

第2組:

其中a1,b1為任意實數(shù).

第3組:

其中a1為任意實數(shù).

第4組:

其中a1,b1為任意實數(shù).由式(8)可得：

1)當(dāng)λ2-4μ>0時,

2)當(dāng)λ2-4μ<0時,

3)當(dāng)λ2-4μ=0時,

(12)

由此得到耦合Klein-Gordon方程組一系列的精確解,其中包含了雙曲函數(shù)解、三角函數(shù)解、孤子包絡(luò)解及有理函數(shù)解.

對于第1組數(shù)據(jù)，其解分別表示為：

1)當(dāng)λ2-4μ>0時,

(13)

(14)

特別地，取C1=0,C2≠0，得到孤立波解為:

(15)

(16)

2)當(dāng)λ2-4μ<0時，其三角函數(shù)解為:

(17)

(18)

3)當(dāng)λ2-4μ=0時，其有理數(shù)解為:

(19)

(20)

式(13)～式(20)中,參數(shù)α1,α2滿足耦合關(guān)系：

待定參數(shù)k,l,p,ω滿足

其中

a1為任意實數(shù).

對于第2組數(shù)據(jù)，其解分別表示為：

1)當(dāng)λ2-4μ>0時,

(21)

(22)

特別地，取C1=0,C2≠0，得到孤立波解為:

(23)

(24)

2)當(dāng)λ2-4μ<0時，其三角函數(shù)解為:

(25)

(26)

3)當(dāng)λ2-4μ=0時，其有理數(shù)解為:

(27)

(28)

式(21)～式(28)中,參數(shù)α1,α2,β1,β2滿足耦合關(guān)系：

待定參數(shù)k,l,p,ω滿足

其中a1,b1為任意實數(shù).

2 結(jié) 語

本文把G′/G展開法用于非線性耦合Klein-Gordon方程組，獲得了該系統(tǒng)的雙曲函數(shù)、三角函數(shù)和有理函數(shù)等通解.當(dāng)雙曲函數(shù)通解取特殊值時獲得孤波解.用G′/G展開法求解非線性耦合Klein-Gordon方程組，豐富了非線性耦合Klein-Gordon方程組的解系.限于篇幅，本文僅列出2組數(shù)據(jù)的通解，其他不再贅述.從精確解來看，此方法求解這類非線性問題更直接、更簡潔，具有明顯的優(yōu)勢.對于其他類問題能否適用還需要進一步的研究.

參考文獻：

[1]張解放，陳芳躍.截斷展開方法和廣義變系數(shù)KdV方程[J].物理學(xué)報,2001,50(9):1648-1650.

[2]張桂戌，李志斌，段一士.非線性波方程的精確孤立波解[J].中國科學(xué)：A輯 數(shù)學(xué)，2000,30(12):1103-1108.

[3]唐駕時，劉鑄永，李學(xué)平.MKdV方程的擬小波解[J].物理學(xué)報,2003,52(3):522-525.

[4]石玉仁，呂克璞，段文山，等.組合KdV方程的顯式精確解[J].物理學(xué)報,2003,52(2):267-270.

[5]郭冠平，張解放.關(guān)于雙曲函數(shù)方法求孤波解的注記[J].物理學(xué)報,2002,51(6):1159-1162.

[6]石玉仁，郭鵬,呂克璞，等.修正Jacobi 橢圓函數(shù)展開法及其應(yīng)用[J].物理學(xué)報,2004,53(10):3265-3269.

[7]周國中,郭冠平.長短波相互作用方程Jacobi 橢圓函數(shù)新的展開法求解[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2005,28(1)：25-28.

[8]何寶鋼，徐昌智，張解放.(2+1)維非線性KdV方程的新孤子結(jié)構(gòu)[J].物理學(xué)報,2005,54(12):5525-5529.

[9]何寶鋼，徐昌智，張解放.擴展的形變映射方法和(2+1)維破裂孤子方程的新解[J].物理學(xué)報,2006,55(2):511-516.

[10]聶惠，王明亮.非線性耦合Klein-Gordon方程組的周期波解[J].河南科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2007，28(5):79-82.

[11]李幫慶,馬玉蘭.G′/G展開法和(2+1)維非對稱Nizhnik-Novikov-Veselov系統(tǒng)的新精確解[J].物理學(xué)報,2009，58(7)：4373-4378.