譚永基

（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200443）

對(duì)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的幾點(diǎn)看法

譚永基

（復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，上海 200443）

綜述了國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的歷史和現(xiàn)狀并對(duì)國(guó)內(nèi)這兩門課程存在的問(wèn)題以及改進(jìn)的對(duì)策提出了自己的看法.

數(shù)學(xué)建模；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)

我們承擔(dān)了高校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心關(guān)于進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程改革的課題，對(duì)國(guó)內(nèi)外這兩門課程發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀和國(guó)內(nèi)這兩門課程當(dāng)前存在的問(wèn)題作了一些調(diào)查研究，形成了一些不成熟的看法.現(xiàn)綜述如下.

1 數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的起源和國(guó)外概況

第二次世界大戰(zhàn)以后進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)高速恢復(fù)發(fā)展的時(shí)期，從20世紀(jì)40年代起開(kāi)始了以電子計(jì)算機(jī)技術(shù)、核能、空間技術(shù)和生產(chǎn)過(guò)程自動(dòng)化等為標(biāo)志的第三次產(chǎn)業(yè)革命，出現(xiàn)了“高技術(shù)”，對(duì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用提出了新的更高的要求.由于在第二次世界大戰(zhàn)中涌現(xiàn)和儲(chǔ)備了大量的優(yōu)秀應(yīng)用數(shù)學(xué)人才，而電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)與發(fā)展又為數(shù)學(xué)更廣泛的應(yīng)用提供了可能.于是數(shù)學(xué)對(duì)工業(yè)技術(shù)發(fā)揮的作用越來(lái)越直接，數(shù)學(xué)的作用從幕后走向了臺(tái)前.1972年由美國(guó)總統(tǒng)顧問(wèn)戴維起草的關(guān)于發(fā)展美國(guó)數(shù)學(xué)的報(bào)告中指出“我們進(jìn)入了數(shù)學(xué)工程的時(shí)代”.

用數(shù)學(xué)解決科學(xué)技術(shù)問(wèn)題，建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型是十分關(guān)鍵的，于是對(duì)數(shù)學(xué)模型的研究、對(duì)數(shù)學(xué)建模方法論的研究逐漸興起.到上個(gè)世紀(jì)六十年代，數(shù)學(xué)建模課程開(kāi)始在美國(guó)高校中出現(xiàn)，并逐步在歐美各國(guó)高校中普及.

目前，歐美主要大學(xué)的數(shù)學(xué)系都開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)模型或數(shù)學(xué)建模課程，很多大學(xué)的生物、經(jīng)濟(jì)、金融、管理等系科也開(kāi)設(shè)專門的數(shù)學(xué)模型課程.1986年開(kāi)始的美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽推動(dòng)了數(shù)學(xué)建模課程的普及.數(shù)學(xué)建模課程越來(lái)越受到重視，現(xiàn)在每?jī)赡暾匍_(kāi)一次數(shù)學(xué)建模教學(xué)國(guó)際會(huì)議，研究數(shù)學(xué)建模課程和數(shù)學(xué)建模教學(xué).西方各國(guó)出版了大量數(shù)學(xué)建模教科書(shū)和專著，單單美國(guó)某圖書(shū)經(jīng)銷公司的目錄中就列出了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型書(shū)目近2000種.

在美國(guó)近年用得最普遍的兩種教材分別是；Giordano等編的A First Course in Mathematical Modeling（已翻譯出版）和Douglas Mooney等編的acourse in Mathematical Modeling.后者是由美國(guó)數(shù)學(xué)協(xié)會(huì)（MAA）出版和推薦的.

據(jù)我們調(diào)查，國(guó)外單獨(dú)開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的學(xué)校很少.與我們的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課相關(guān)的有實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)課以及穿插在其他課程中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

數(shù)學(xué)發(fā)展史上，有一批數(shù)學(xué)家認(rèn)為實(shí)驗(yàn)也是數(shù)學(xué)研究的重要手段之一.例如高斯說(shuō)過(guò)他達(dá)到數(shù)學(xué)真理的途徑是“通過(guò)系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)”.波利亞指出：“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，一方面是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看數(shù)學(xué)是一門體統(tǒng)的演繹科學(xué)，但從另一方面看，創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看起來(lái)卻像一門試驗(yàn)性的歸納科學(xué)”.上個(gè)世紀(jì)六十年代著名的四色問(wèn)題的證明就是通過(guò)數(shù)學(xué)結(jié)合計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)獲得的的重大數(shù)學(xué)成果.這一成果雄辯地證明了實(shí)驗(yàn)對(duì)數(shù)學(xué)的重要性，推動(dòng)了實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)派和實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)分支的出現(xiàn)和試驗(yàn)數(shù)學(xué)期刊的出版.實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)派的主要觀點(diǎn)是：實(shí)驗(yàn)是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，實(shí)驗(yàn)可以啟發(fā)新的猜測(cè)或?qū)ΜF(xiàn)有猜測(cè)提供支持和依據(jù)，可以指出新的研究領(lǐng)域，實(shí)驗(yàn)可幫助證明新定理.在這一觀點(diǎn)的影響下用實(shí)驗(yàn)來(lái)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)課程開(kāi)始出現(xiàn).例如1989年在美國(guó)Mount Holyke College開(kāi)設(shè)了這類課程，為此編寫的教材“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”后來(lái)產(chǎn)生了較大影響.

美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)資助的微積分教學(xué)改革，將實(shí)驗(yàn)引入微積分教學(xué)，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手，用計(jì)算機(jī)等實(shí)驗(yàn)手段學(xué)習(xí)和驗(yàn)證微積分中的一些重要數(shù)學(xué)結(jié)論.在作為微積分改革的重要產(chǎn)物哈佛的微積分和托馬斯的微積分這兩本教科書(shū)中都有體現(xiàn).

在微積分改革后美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金會(huì)資助強(qiáng)度最大的教改項(xiàng)目是MATC（Mathematical sciences and its applications through curricular）和Links（Mathematics and its application for engineering and science）［1，2］.它們的目的是設(shè)計(jì)課程和教學(xué)課件，提供模擬用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題全過(guò)程的實(shí)驗(yàn)，通過(guò)學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，讓各專業(yè)學(xué)生提高用數(shù)學(xué)解決本專業(yè)問(wèn)題和數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決各種科學(xué)技術(shù)問(wèn)題的能力.

2 國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程發(fā)展和現(xiàn)狀

1.發(fā)展過(guò)程.

國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)建模課程的發(fā)展可分三階段.第一階段20世紀(jì)80年代：建模課程80年代初開(kāi)始進(jìn)入少數(shù)幾所大學(xué)數(shù)學(xué)系的課堂，到80年代末有幾十所學(xué)校開(kāi)設(shè)建模課程（主要在數(shù)學(xué)系），1989年開(kāi)始少數(shù)學(xué)校學(xué)生參加美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，出版了幾本教材.第二階段為20世紀(jì)90年代：建模課程由數(shù)學(xué)系推廣到理工、經(jīng)管等學(xué)生，到90年代末有幾百所學(xué)校開(kāi)設(shè)，1992年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽開(kāi)始舉辦，到2000年有517所學(xué)校3210隊(duì)參加，出版約50本教材和讀物.第三階段為21世紀(jì)的10年：開(kāi)設(shè)建模各種類型課程的學(xué)校達(dá)千所，2009年有1137所學(xué)校15042隊(duì)參加全國(guó)競(jìng)賽，出版近200本教材和讀物.近年來(lái)在李大潛院士的倡導(dǎo)下，許多院校正在研究和實(shí)踐將數(shù)學(xué)建模的思想融合到主干數(shù)學(xué)課程中.

受國(guó)外實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的影響（“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”由白峰杉等翻譯出版，“數(shù)學(xué)譯叢”系統(tǒng)介紹國(guó)外實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)的情形）國(guó)內(nèi)出現(xiàn)了數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課.另外在數(shù)學(xué)建模教學(xué)實(shí)踐中許多教師發(fā)現(xiàn)單純的數(shù)學(xué)建模課堂教學(xué)不能滿足培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題能力和創(chuàng)新能力的需要.應(yīng)在課內(nèi)增加讓學(xué)生自己動(dòng)手進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，體會(huì)解決問(wèn)題全過(guò)程的環(huán)節(jié).于是出現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)或數(shù)學(xué)建模實(shí)踐的新課程.1995年制定的工科數(shù)學(xué)教學(xué)體系改革方案中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被列為主要課程之一.

為調(diào)查數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的情況我們進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查.發(fā)出的200份問(wèn)卷調(diào)查收回了66份，其中開(kāi)設(shè)該課程的學(xué)校占2／3.各校該課程的課時(shí)數(shù)不同，從18到72學(xué)時(shí)；內(nèi)容、要求、考核方式呈“百花齊放”的局面.課程教學(xué)對(duì)計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)的應(yīng)用明顯，多媒體課件和數(shù)學(xué)軟件使用廣泛，以案例形式展開(kāi)教學(xué)是普遍采用方式.

當(dāng)前各院校開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課大致可分四類：第一類，將建模與計(jì)算優(yōu)化統(tǒng)計(jì)結(jié)合；第二類，通過(guò)實(shí)驗(yàn)學(xué)數(shù)學(xué)，不太注重?cái)?shù)學(xué)建模，較適合數(shù)學(xué)類專業(yè)學(xué)生；第三類，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)通過(guò)案例實(shí)踐從建?！獢?shù)值求解—驗(yàn)證—應(yīng)用的用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題全過(guò)程；第四類，穿插在高等數(shù)學(xué)等課程中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

2.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗(yàn)課程特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn).

這兩門課程有以下特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)：以培養(yǎng)學(xué)生的解決實(shí)際問(wèn)題的能力、提高他們的綜合素質(zhì)為主；課程以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，有利激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的積極性；充分發(fā)揮學(xué)生在教學(xué)中的主體作用，學(xué)生能動(dòng)學(xué)習(xí)，有利培養(yǎng)創(chuàng)新精神；師生互動(dòng)，有利于小課題研究、團(tuán)隊(duì)學(xué)習(xí)、課堂討論、成果報(bào)告等有效教學(xué)方法的實(shí)施.

3.數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗(yàn)課程實(shí)踐和改革產(chǎn)生了明顯的效果.

首先，這兩門課稱的開(kāi)設(shè)及其有關(guān)的活動(dòng)改善了數(shù)學(xué)在公眾中的形象，使公眾認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)、科技發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步以及提高人們綜合素質(zhì)中的作用.同時(shí)通過(guò)這兩門課的學(xué)習(xí)，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性.

其次，這兩門課的教學(xué)和改革實(shí)踐有力地推動(dòng)了數(shù)學(xué)教改，出現(xiàn)生動(dòng)活潑新局面，誕生許多教改新成果.與這兩門課程有關(guān)的國(guó)家級(jí)及省級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)與國(guó)家級(jí)及省級(jí)精品課程均達(dá)到數(shù)十項(xiàng)之多；許多教師因在教學(xué)和改革中的突出表現(xiàn)被評(píng)為國(guó)家級(jí)或省級(jí)教學(xué)名師.

最后，這兩門課的教學(xué)顯著地提高了學(xué)生解決問(wèn)題能力和創(chuàng)新精神，對(duì)培養(yǎng)優(yōu)秀人才的作用初步顯現(xiàn).學(xué)生在各類用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的實(shí)踐活動(dòng)取得豐碩成果（如挑戰(zhàn)者杯和美國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽等）.學(xué)生通過(guò)這兩門課的學(xué)習(xí)，提高科研能力，發(fā)表許多用數(shù)學(xué)解決各類問(wèn)題的研究論文.如大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)建模實(shí)踐班學(xué)生自2000年來(lái)已署名發(fā)表的科技論文三十余篇，其中主要是英文論文且大部分被SCI檢索.暨南大學(xué)珠海分校數(shù)學(xué)建模實(shí)驗(yàn)室本科生僅2008-2009年，就發(fā)表學(xué)術(shù)論文18篇（第一作者均為學(xué)生）.學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模課和參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽獲獎(jiǎng)學(xué)生在后繼學(xué)習(xí)研究表現(xiàn)突出，多人次獲國(guó)家級(jí)優(yōu)秀博士論文獎(jiǎng)（國(guó)防科技大學(xué)等）；其中還有許多人已成長(zhǎng)為國(guó)內(nèi)外大學(xué)或科研機(jī)構(gòu)的教學(xué)科研骨干.

3 當(dāng)前數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程存在的問(wèn)題和改進(jìn)措施

雖然數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程教學(xué)總體而言很有成績(jī)，發(fā)展健康，但是在某些學(xué)校的某些方面還是存在一些問(wèn)題的.

據(jù)我們的調(diào)查，數(shù)學(xué)建模課的主要問(wèn)題是：有些教師培養(yǎng)能力與創(chuàng)新的意識(shí)不強(qiáng)，將數(shù)學(xué)建模課淪為簡(jiǎn)單的知識(shí)傳授課；數(shù)學(xué)建模課十分適合我們采用師生互動(dòng)、課堂討論、小課題研究實(shí)踐等先進(jìn)的教學(xué)方法，但有些教師將教學(xué)方法倒退為簡(jiǎn)單的課堂灌輸.雖然新編寫的數(shù)學(xué)建模教材很多，但部分教材選材陳舊、缺乏特點(diǎn).有些學(xué)校將數(shù)學(xué)建模課程降格為數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的培訓(xùn)手段.

而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程存在的問(wèn)題是：某些學(xué)校缺乏課程結(jié)合本校實(shí)際的正確定位；部分院校無(wú)教學(xué)大綱，其它教學(xué)文件缺乏，上課內(nèi)容有隨意性；有些院校課程內(nèi)容安排學(xué)習(xí)軟件和解決問(wèn)題實(shí)踐課時(shí)比例失衡，將數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課降格為軟件學(xué)習(xí)課程.很多院校都存在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課程的師資隊(duì)伍的培養(yǎng)和教學(xué)內(nèi)容更新問(wèn)題

針對(duì)這些問(wèn)題我們認(rèn)為應(yīng)采取以下改進(jìn)措施：

1.發(fā)揮優(yōu)秀教學(xué)成果和精品課程示范作用；

2.多舉辦各類課程交流研討會(huì)和師資培訓(xùn)班；

3.加強(qiáng)對(duì)國(guó)外教材和經(jīng)驗(yàn)調(diào)研，介紹國(guó)外優(yōu)秀教材、教學(xué)課件；

4.制訂適合各類院校、各種不同要求的數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)試驗(yàn)課程的教學(xué)規(guī)范；

5.推薦相應(yīng)優(yōu)秀教材和現(xiàn)有優(yōu)秀教學(xué)資源和教學(xué)課件；

6.組織研制新的教學(xué)課件翻譯國(guó)外優(yōu)秀教學(xué)課件.

我們相信在教學(xué)行政管理部門的支持下，通過(guò)這兩門課的任課教師的努力，這兩門新興的數(shù)學(xué)課程一定會(huì)更加健康地發(fā)展并在數(shù)學(xué)教改中發(fā)揮更大的推動(dòng)作用.

［1］ http：∥www.links.math.rpi.edu

［2］ http：∥www.math.dartmouth.edu／～matc／index.html

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1672-1454（2010）增刊1-0019-03