羅 可,趙志學(xué),童小嬌

(1.長沙理工大學(xué)計算機通信工程學(xué)院,湖南長沙 410076;2.湖南商學(xué)院計算機與電子工程學(xué)院,湖南長沙 410205)

在電力市場中,發(fā)電商投標(biāo)策略模型和計算方法的研究得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)[1]對投標(biāo)策略的研究進(jìn)行了比較全面的介紹,按研究方法的不同可分為3類:其一是通過預(yù)測下一交易日的市場清除價格來制定投標(biāo)策略的方法,該方法適合于小型發(fā)電商且其投標(biāo)策略對市場淸除價格基本沒有影響的情形;其二是基于博弈論求解市場均衡的方法,該方法在發(fā)電商不具備完全的市場信息時缺乏有效的處理手段,導(dǎo)致最終投標(biāo)策略脫離現(xiàn)實;其三是估計其他競爭對手投標(biāo)行為的方法,該方法需要對其他競爭對手的投標(biāo)策略的分布函數(shù)進(jìn)行估計,最終確定自己的投標(biāo)策略.

通常,期望利潤大的投標(biāo)策略其風(fēng)險也大.因此,發(fā)電商需要對投標(biāo)策略的風(fēng)險進(jìn)行分析和評估,構(gòu)造兼顧期望利潤最大和風(fēng)險最小兩個矛盾目標(biāo)的折衷投標(biāo)策略.鑒于此,已有大量的學(xué)者將風(fēng)險分析方法應(yīng)用于投標(biāo)策略的研究.文獻(xiàn)[2]Markowitz第一次從風(fēng)險資產(chǎn)的收益率與風(fēng)險之間的關(guān)系出發(fā),用方差來描述風(fēng)險,討論了不確定性經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中最優(yōu)資產(chǎn)組合的問題.然而,該模型用方差計量風(fēng)險有較大的局限性.20世紀(jì)90年代Value-at-Risk(VaR)成為風(fēng)險管理的主要手段.Alexander G和Baptista A[3]提出的以VaR作為風(fēng)險函數(shù)的“均值-VaR”模型.Rockafellar-Uryasev等[4]在2000年分析了VaR方法在實際應(yīng)用中的缺陷,并提出條件風(fēng)險(Condition Value-at-Risk:CVaR)作為風(fēng)險的度量.與VaR比較,CVaR滿足風(fēng)險度量的一致性特點,可運用于一般的隨機變量分布;特別是通過引入一個特殊的輔助函數(shù),使CVaR可用凸優(yōu)化計算,同時得到VaR的值.CVaR作為風(fēng)險度量的這些優(yōu)點使其應(yīng)用日益廣泛,許多學(xué)者進(jìn)行了深入的研究[5-13].

本文探討將CVaR理論應(yīng)用于電力市場領(lǐng)域.基于電力市場的運營機制和投標(biāo)方法[14-15],本文構(gòu)造了一種基于CVaR發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略的新模型,應(yīng)用第3類方法——估計其他競爭對手投標(biāo)行為制定投標(biāo)策略,對對手的投標(biāo)數(shù)據(jù)參數(shù)采用了蒙特卡洛仿真模擬,提出了求解發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略模型的PSO(Particle Swarm Optimization,PSO)算法,保證了算法的全局收斂性.IEEE多個算例的數(shù)值顯示本文所提出的模型和算法具有較好的計算效果.

1 CVaR模型簡介

記x∈X?Rn為決策變量,隨機變量y∈Rm的分布為p(?),通常定義f(x,y)為損失函數(shù).在文獻(xiàn)[4]中,Rockafellar-Uryasev定義條件風(fēng)險CVaRβ(x)為:

其中:β為置信水平,VaRβ(x)為風(fēng)險值.文獻(xiàn)[4]通過構(gòu)造函數(shù)Fβ(x,α)來計算CVaRβ(x),其中:

文獻(xiàn)[4]還證明了Fβ(x,α)是關(guān)于變量α的連續(xù)可微凸函數(shù).因此CVaR為一凸規(guī)劃問題的最優(yōu)值.由于式(2)是連續(xù)性的,需要對其進(jìn)行離散化,用的近似值代替它,得到式(4):

2 發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)模型

假設(shè)電力市場包括n家發(fā)電商,每一個發(fā)電商只有一臺發(fā)電機組,給定投標(biāo)函數(shù)為:

記(xi,x-i)=((ai,bi),(a-i,b-i)),其中ai,bi為所求發(fā)電商的投標(biāo)參數(shù),a-i,b-i為競爭對手的投標(biāo)參數(shù),qi為發(fā)電量.發(fā)電商的成本函數(shù)為:

發(fā)電商的利潤函數(shù)為:

其中:λi,qi分別是結(jié)點i的價格和發(fā)電量,它們分別為發(fā)電商投標(biāo)后綜合考慮社會效率最大化或費用最小化確定的價格和電量分配,可由ISO模型求出.假定以第i家發(fā)電商為研究對象,其競爭對手服從正態(tài)分布.

ISO模型是在考慮社會效益最大化和網(wǎng)絡(luò)約束的條件下進(jìn)行最優(yōu)調(diào)度.其模型表達(dá)式為:

其中:

d=(d1,d2,…,dj)為用戶(網(wǎng)絡(luò))的需求,q=(q1,q2,…,ql)為發(fā)電商的發(fā)電量,B(d)為效用函數(shù),C(x,q)為發(fā)電商的總成本函數(shù).h(q,d)為系統(tǒng)運行約束和發(fā)電機出力約束,因此定義KKT系統(tǒng)為:

利用式(10)求解出利潤函數(shù)中的發(fā)電電量q,用戶需求d和市場清除價λ.

根據(jù)利潤函數(shù)的期望來求解最大利潤,由此可知第i個發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)模型可以表示為:

由于式(11)中的約束條件φ(xi)≥Vi中設(shè)置f(x,y)為利潤函數(shù)的相反數(shù),可以由式(4)和式(10)得到,由此得出總投標(biāo)模型為:

3 算法設(shè)計

PSO算法是Kennedy和Eberhart博士于1995年提出的一種基于群體智能的進(jìn)化方法.基本的粒子群模型在一個n維的空間內(nèi),m個粒子組成的群體與進(jìn)化代數(shù)t相關(guān)的粒子位置及速度構(gòu)成,表示為=(,,…,…,)=(,…,,…,)式中:j=1,2,…,m,為粒子的編號;i=1,2,…,n,為粒子位置元素的編號;t為進(jìn)化的代數(shù).因此在t+1代,粒子j的速度更新表達(dá)式為:

粒子j位置的更新表達(dá)式為:

C1,C2為常數(shù),Rand()為在[0,1]區(qū)間均勻分布的隨機數(shù).

ISO優(yōu)化模型是一個典型的二次凸規(guī)劃問題,可用一般優(yōu)化算法進(jìn)行最優(yōu)值的求解.CVaR模型是一個線性規(guī)劃問題,可以用PSO算法進(jìn)行計算,并且具有全局收斂性.

PSO算法隨機產(chǎn)生粒子,每個粒子代表發(fā)電商待優(yōu)化參數(shù),從樣本數(shù)據(jù)中選擇規(guī)定范圍內(nèi)N個粒子Xi,再對每個產(chǎn)生的粒子進(jìn)行ISO優(yōu)化調(diào)度.根據(jù)文獻(xiàn)[14]提出的“3σ規(guī)則”,對競爭對手的投標(biāo)進(jìn)行估計,隨機抽取k個點進(jìn)行模擬,得到k個相應(yīng)的f和相應(yīng)的(λi,qi),然后代入CVaR模型求解.在計算粒子適應(yīng)度之前,需要驗證粒子位置變量是否違反約束,以決定是否對粒子適應(yīng)值進(jìn)行懲罰.其適應(yīng)度為:式中:r為懲罰項,c1,c2和c3為正常數(shù).具體的算法步驟為:

Step1 初始化粒子,粒子為2維數(shù)組(Swarm[ai,bi]),粒子數(shù)為N,最大迭代次數(shù)為Tmax,精確度閥值為eps,式(13)中的C1和C2取值為1.496 2.在規(guī)定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生粒子位置和速度信息.

Step2 對競爭對手的投標(biāo)參數(shù)系數(shù)[a-i,b-i]進(jìn)行蒙特卡洛模擬仿真,取k個yk.

Step4 將每個粒子代入到適應(yīng)度函數(shù)(15)中,求解適應(yīng)度.若該適應(yīng)度值好于歷史最好值(Pbest),則令當(dāng)前值作為新的Pbest,在所有的Pbest中選取最優(yōu)的作為全局最優(yōu)點(Gbest).

Step5 利用式(13)和式(14)更新粒子的速度和位置.

Step6 判斷是否達(dá)到迭代終止條件——一個預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)Tmax(t≥Tmax)和最小精度閥值eps為粒子數(shù)),則程序終止,否則t→t+1,返回Step3,進(jìn)行新一輪的迭代.

4 數(shù)值實驗

4.1 IEEE4-bus不同V下的效益以及各項結(jié)果

首先采用IEEE4-bus系統(tǒng)對所提出的方法進(jìn)行測試,模擬電力傳輸網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)進(jìn)行計算.圖1為4節(jié)點2發(fā)電機系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,1,2號節(jié)點各有一臺發(fā)電機;而3,4號節(jié)點是負(fù)荷節(jié)點.表1為發(fā)電商技術(shù)與經(jīng)濟(jì)參數(shù)表和ISO負(fù)荷需求參數(shù)表.

為了簡潔,采用直流潮流約束進(jìn)行計算,通過修改各線路的阻抗和容限來調(diào)整發(fā)電機的發(fā)電量、負(fù)荷節(jié)點的電量和電價。假定以2號發(fā)電商為研究對象,其中C=19,β=95%,引用文獻(xiàn)[13]的計算結(jié)論,A2的搜索范圍為[0.5＊3,10＊3],B2的搜索范圍[0.5＊0.025 00,10＊0.025 00],同時假設(shè)q,d相等.通過計算,當(dāng)V=25時,其最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2=5.159 8;b2=0.400 1;q1,q2,d1,d2=(0.462 4,4.598 8,2.326 2,2.735 0)MW;這時的市場清除價R=6.999 8美元/(MW?h),利潤為18.129 8美元.

圖1 4節(jié)點2發(fā)電機結(jié)構(gòu)圖Fig.1 4 node 2 generator structure chart

表1 發(fā)電商的技術(shù)和經(jīng)濟(jì)參數(shù)表和負(fù)荷節(jié)點參數(shù)表Tab.1 Technical and economic parameters table

表2,表3分別為發(fā)電商1和2在給定不同的V時所求得的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)ai,bi、市場清除價λi以及利潤Maxπ.從表3的計算結(jié)果可以看出,隨著V的降低,最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2,b2變大,即投標(biāo)系數(shù)增加,被調(diào)度的發(fā)電量q相應(yīng)增大,利潤的期望值f隨之增加,市場清除價也有小幅度增長.當(dāng)V達(dá)到一個特定值以后,最大利潤也趨于平衡,最后達(dá)到一個穩(wěn)定的值.

表2 發(fā)電商1在不同V下的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)以及結(jié)果Tab.2 The 1st generation company's resultfor a given different V

由于設(shè)置f(x,y)為利潤函數(shù)的相反數(shù),所以VaR,CVaR是一個負(fù)數(shù),為了方便,采用-VaR,-CVaR進(jìn)行說明.如果盲目追求利潤而采用較高的報價系數(shù),雖然所得的期望利潤會相應(yīng)的變大,但是-VaR和-CVaR值小于期望值,高報價的相應(yīng)風(fēng)險也會增大.此外,還可以看出-CVaR的值一般都小于-VaR值,這是由于CVaR反映的是收益尾部α分位點之后的期望值,也就是考慮了最壞情況中的所有情況,因此-CVaR值小于-VaR值,它比-VaR值更準(zhǔn)確地度量了發(fā)電商的風(fēng)險.

表3 發(fā)電商2在不同V下的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)以及結(jié)果Tab.3 The 2st generation company's result for a given different V

圖2為4節(jié)點2發(fā)電機系統(tǒng)效益前沿圖,從圖2可以看出,兩家發(fā)電商在不同的V下的最大期望利潤都是單調(diào)遞增一段以后達(dá)到平衡.

從以上比較分析可得,不同的V值能直接導(dǎo)致不同的投標(biāo)系數(shù),調(diào)度的發(fā)電量,以及市場清除價格和發(fā)電商的利潤.如果忽略風(fēng)險因素,會直接影響自己的投標(biāo)決策,達(dá)不到預(yù)期利潤從而產(chǎn)生損失,所以在制定投標(biāo)策略時必須考慮相應(yīng)的風(fēng)險.同樣,求解發(fā)電商1的結(jié)果,從中可以看到由于輸電量的約束導(dǎo)致-V足夠小的時候q1只能趨向3.82;其他變量的變化同第2家發(fā)電商,當(dāng)-V變大時,最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a1,b1變大,被調(diào)度的發(fā)電量相應(yīng)增加,利潤的期望值也隨之增加,市場清除價也有小幅度增大.

通過數(shù)值實驗統(tǒng)計粒子迭代收斂的動態(tài)信息,可以得出粒子位置和速度的演化進(jìn)程從而可以了解最優(yōu)解的求解過程.以求解發(fā)電商2為例,在V=15時跟蹤粒子2的位置和速度變化情況.對于粒子2(x2-(a2,b2)),a2其速度值在前49代中是在0上下振蕩的,對應(yīng)的位置在5.1附近振蕩.在這之后,粒子的位置穩(wěn)定在5.15,而速度穩(wěn)定在0;b2其速度值在前47代中是在0上下振蕩的,對應(yīng)的位置在0.40附近振蕩.在這之后,粒子的位置穩(wěn)定在0.398 7,而速度穩(wěn)定在0,這表明所求的結(jié)果是全局最優(yōu)解.

圖2 4節(jié)點2發(fā)電機系統(tǒng)效益前沿圖Fig.2 The maximum profit trend graph in different risk factor V

4.2 9節(jié)點3發(fā)電機系統(tǒng)中不同V下的效益

為了進(jìn)一步測試該模型,采用IEEE 9-bus系統(tǒng)進(jìn)行模擬求解.圖3為9節(jié)點3發(fā)電機系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,其中1,2,3節(jié)點各有一個發(fā)電機,其余的為負(fù)荷節(jié)點.表4為線路參數(shù)表,表5是發(fā)電商技術(shù)與經(jīng)濟(jì)參數(shù)表,表6是ISO負(fù)荷需求參數(shù)表.

圖3 IEEE9節(jié)點系統(tǒng)圖Fig.3 9node 3 generator structure chart

表4 線路參數(shù)Tab.4 Line parameters

表5 發(fā)電機的技術(shù)和經(jīng)濟(jì)參數(shù)表Tab.5 Generating technical and economic parameters

表6 負(fù)荷節(jié)點參數(shù)表Tab.6 Load node parameter

表7,表8和表9分別為IEEE9節(jié)點系統(tǒng)中發(fā)電商1,2,3在給定不同的V時所求得的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)、市場清除價R以及利潤.從計算結(jié)果可以看出:隨著V的降低,最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)a2,b2,節(jié)點電價和利潤變化同4節(jié)點2機系統(tǒng)變化相同,電量隨投標(biāo)系數(shù)變大而增加.從圖4可以看出利潤變化與4節(jié)點2發(fā)電機系統(tǒng)變化相同,增長到一定值以后不再隨V的變化而變化趨于平衡.

表7 發(fā)電商1在不同V下的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)以及結(jié)果Tab.7 The 1st generation company's result for a given different V

表8 發(fā)電商2在不同V下的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)以及結(jié)果Tab.8 The 2st generation company's result for a given different V

表9 發(fā)電商3在不同V下的最優(yōu)投標(biāo)系數(shù)及結(jié)果Tab.9 The 3st generation company's result for a given different V

圖4 9節(jié)點3發(fā)電機系統(tǒng)效益前言圖Fig.4 The maximum profit trend graph in different risk factor V

5 結(jié) 論

本文在兼顧利潤最大和風(fēng)險最小這兩個沖突目標(biāo)情況下,構(gòu)造了一種新的發(fā)電商最優(yōu)投標(biāo)策略優(yōu)化模型,提出了基于Monte Carlo仿真和粒子群優(yōu)化算法2種求解方法,通過數(shù)值實驗得出了以下結(jié)論:

1)風(fēng)險因子V越小,投標(biāo)系數(shù)隨之增大,投標(biāo)相應(yīng)增高.

2)風(fēng)險越大,利潤越高.但是并不是無限制的提高,當(dāng)V達(dá)到一定程度時,利潤就不再增長達(dá)到平衡,趨于一個相對穩(wěn)定的數(shù)值.

3)由于本文模型設(shè)置f(x,y)為利潤函數(shù)的相反數(shù),所以VaR,CVaR為一個負(fù)數(shù),那么-CVaR值一般都小于-VaR值.雖然VaR,CVaR都是測量下偏風(fēng)險,但VaR將注意力集中在一定置信度下的分位點上,而該分位點下面的情況則完全被忽略了,它使發(fā)電商忽略了某些極端的情況,而這些情況恰恰是發(fā)電商風(fēng)險管理所必須關(guān)注的.而CVaR考慮了最壞情況中的所有情況,它比VaR值更準(zhǔn)確地度量了發(fā)電商的風(fēng)險.

4)PSO算法在求解類似該復(fù)雜約束非線性的投標(biāo)模型問題中具有簡單易行、能求出全局最優(yōu)解和快速收斂的優(yōu)點,并且與初始點選擇無關(guān).

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