張宏生，陸念力

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱150001，hszhanghit@gmail.com)

塔式起重機(jī)(簡(jiǎn)稱塔機(jī))廣泛應(yīng)用于高層建筑施工、大型設(shè)備吊裝等諸多領(lǐng)域，在建筑施工中是無(wú)可替代的.動(dòng)臂式塔機(jī)的吊臂通過(guò)俯仰變化來(lái)實(shí)現(xiàn)變幅，吊臂在吊重和變幅繩的共同作用下，近似只承受軸向壓力，因此吊臂的整體穩(wěn)定性一直是設(shè)計(jì)人員關(guān)注的焦點(diǎn).動(dòng)臂式塔機(jī)吊臂的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是由變截面的根部段、頭部段以及等截面的中間段組成的非等截面混合結(jié)構(gòu)，吊臂通過(guò)根部鉸與塔身連接，變幅鋼絲繩固定在吊臂頭部.故在起升平面內(nèi)，吊臂的支撐形式可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支式，在起升平面外為懸臂式.

對(duì)于等截面柱和幾種簡(jiǎn)單的變截面柱的穩(wěn)定性，Timoshenko［1］給出精確解.為了準(zhǔn)確地分析由變截面段和等截面段組成的非等截面混合結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，很多學(xué)者進(jìn)行了研究.Rahai［2］使用修正的振動(dòng)模態(tài)法和能量法研究了非等截面混合結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性.Bazeos［3］根據(jù)變截面不同變化率和不同邊界條件得到無(wú)量綱化的歐拉臨界力圖表，然后利用插值法快速計(jì)算結(jié)構(gòu)的歐拉臨界力.樓夢(mèng)麟［4］提出了基于Ritz展開的模態(tài)攝動(dòng)法來(lái)求解變截面壓桿穩(wěn)定性問題的半解析方法.在使用有限元方法進(jìn)行分析時(shí)，單元?jiǎng)偠汝嚨臏?zhǔn)確性直接影響計(jì)算結(jié)果.對(duì)于等截面梁，文獻(xiàn)［5］從彎曲微分方程出發(fā)得到精確的Bernoulli-Euler梁?jiǎn)卧膭偠汝?由于變截面梁的復(fù)雜性和多樣性，很多學(xué)者提出了各種變截面梁?jiǎn)卧?-10］，一般來(lái)說(shuō)，很難獲得統(tǒng)一的精確剛度陣.對(duì)于階梯柱模型，文獻(xiàn)［11］使用等截面梁精確有限元法得到了階梯柱的遞推公式.在起重機(jī)設(shè)計(jì)規(guī)范GB/T 3811-1983中將變截面柱等效為修正計(jì)算長(zhǎng)度的等截面柱，對(duì)于變截面段和等截面段組成的非等截面混合結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，只考慮了變截面段對(duì)稱的這一特殊情形.

本文從多節(jié)階梯柱的撓度微分方程出發(fā)，應(yīng)用傳遞矩陣法，研究了簡(jiǎn)支梁模型和懸臂梁模型這兩種支撐形式，得到多節(jié)階梯柱模型歐拉臨界力控制方程的表達(dá)式.使用各節(jié)長(zhǎng)度相等的多節(jié)階梯柱模型模擬變截面柱，對(duì)于由變截面柱和等截面柱組成的非等截面混合結(jié)構(gòu)，可統(tǒng)一為多節(jié)階梯柱模型.

1 多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法

如圖1所示的n節(jié)階梯柱模型，其中Li為第i節(jié)柱頂端到根部的長(zhǎng)度，Ii為第i節(jié)柱的截面慣性矩，L為多節(jié)階梯柱總長(zhǎng)，P為頂部軸力，E為彈性模量.

圖1 多節(jié)階梯柱模型

對(duì)于分段等截面梁模型，可列寫第i節(jié)柱的撓度微分方程為

式中:L0=0，Ln=L，δ為頂部位移.

方程(1)的通解為

由邊界條件x=Li時(shí)，yi=yi+1且y'i=y'i+1，得到

記

式(3)可表示為

記

式(4)可表示為

因此可得到傳遞矩陣關(guān)系為

當(dāng)δ=0時(shí)，式(1)和(2)即為簡(jiǎn)支梁模型的撓度微分方程及其通解，不難證明，對(duì)于簡(jiǎn)支梁模型的待定系數(shù)仍將滿足式(9)傳遞矩陣關(guān)系.

懸臂梁模型的根部邊界條件為y1(0)=0且y'0(0)=0，解出

簡(jiǎn)支梁模型的根部邊界條件為y1(0)=0，解出

懸臂梁模型的頂部邊界條件為yn(L)=δ，簡(jiǎn)支梁模型的頂部邊界條件為yn(L)=0，可統(tǒng)一表示為

由式(8)和式(5)可獲得臨界失穩(wěn)特征方程為

應(yīng)用邊界條件(6)或(7)可分別求出懸臂梁模型或簡(jiǎn)支梁模型的歐拉臨界力.需要指出的是，本文推導(dǎo)的求解多節(jié)階梯柱的歐拉臨界力的傳遞矩陣法，既沒有限制每節(jié)柱的長(zhǎng)度，也沒有限制每節(jié)柱的截面慣性矩，也未包含任何附加假定，對(duì)多節(jié)階梯柱模型來(lái)說(shuō)，本文方法得到的臨界載荷P的控制方程式(9)是精確的.

2 計(jì)算結(jié)果與比較

本文將變截面梁柱以n節(jié)長(zhǎng)度相等的非等截面階梯柱來(lái)模擬，隨著分節(jié)數(shù)目的增多，多節(jié)階梯柱模型計(jì)算結(jié)果將趨近于精確解.對(duì)幾個(gè)經(jīng)典算例進(jìn)行穩(wěn)定性分析，來(lái)驗(yàn)證本文方法的準(zhǔn)確性.為了便于比較，引入量綱為一的穩(wěn)定系數(shù)m=PcrL2/EI2.

在計(jì)算過(guò)程中，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，式(6)和式(7)中可以取δ=-1和A1=1.每節(jié)階梯柱使用各節(jié)變截面兩端慣性矩的中間值，計(jì)算結(jié)果較為精確，推薦使用

其中Ii和Ij分別為每小節(jié)變截面柱的兩端慣性矩.

例1 圖2所示為截面慣性矩為4次變化的變截面柱，a為反映截面錐度的常數(shù)，I1/I2=1/2，a/(a+L)=(1/2)1/4.圖2(a)為懸臂梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=2.002EI2/L2;圖2(b)為簡(jiǎn)支梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=6.979EI2/L2，使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，分成n節(jié)長(zhǎng)度相等的非等截面階梯柱來(lái)計(jì)算歐拉臨界力，計(jì)算結(jié)果比較如表1，2所示.

圖2 截面慣性矩按四次變化的變截面柱

表1 截面慣性矩四次變化懸臂梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

表2 截面慣性矩四次變化簡(jiǎn)支梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

例2 圖3所示為截面慣性矩按2次變化的變截面柱，a為反映截面錐度的常數(shù)，I1/I2= 3/10，a/(a+L)=(3/10)1/2.圖3(a)為懸臂梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=1.763EI2/L2;圖3(b)為簡(jiǎn)支梁模型，其精確的歐拉臨界力［1］為Pcr=5.622EI2/L2，使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，分成n節(jié)長(zhǎng)度相等的非等截面階梯柱來(lái)計(jì)算歐拉臨界力，計(jì)算結(jié)果比較如表3、4所示.

圖3 截面慣性矩按二次變化的變截面柱

表3 截面慣性矩二次變化懸臂梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

表4 截面慣性矩二次變化簡(jiǎn)支梁模型穩(wěn)定系數(shù)m值

其中表1～4的精確值來(lái)自文獻(xiàn)［1］，從表中可以看出，本文多節(jié)階梯柱傳遞矩陣法的計(jì)算精度很高，用6節(jié)階梯柱模擬變截面柱求解整體穩(wěn)定性，將得到很好的計(jì)算結(jié)果，誤差均小于0.5%.

例3 某動(dòng)臂式塔機(jī)吊臂模型如圖4所示，由a、c兩段慣性矩按2次變化的變截面段和b段等截面段組成，圖4(a)為平面內(nèi)簡(jiǎn)支式整體穩(wěn)定性計(jì)算模型;圖4(b)為平面外懸臂式整體穩(wěn)定性計(jì)算模型.La=0.2L，Lc=0.3L，Ia1/Ib1=0.3，Ic1/Ib1=0.4，Ib2/Ia2=0.9，Ic2/Ib2=0.4.引入無(wú)量綱穩(wěn)定系數(shù) m1= PcrL2/EIb1和 m2= PcrL2/EIa2，使用通用有限元軟件 ANSYS中的Beam44變截面梁?jiǎn)卧?，并將各段分?0～80個(gè)單元，對(duì)于平面內(nèi)和平面外兩種模型，由ANSYS計(jì)算得到m值如表5所示.使用本文多節(jié)階梯柱的傳遞矩陣法，等截面段只分為1節(jié)，變截面段分為2～6節(jié)，計(jì)算結(jié)果如表6所示，其中表6中相對(duì)誤差比較的對(duì)象為使用ANSYS將每段分為80個(gè)單元得到的解.

圖4 動(dòng)臂式塔機(jī)吊臂模型

表5 動(dòng)臂式塔機(jī)吊臂模型ANSYS計(jì)算穩(wěn)定系數(shù)m值

表6 動(dòng)臂式塔機(jī)吊臂模型穩(wěn)定系數(shù)m值

3 結(jié)論

1)本文推導(dǎo)的求解多節(jié)階梯柱歐拉臨界力的傳遞矩陣法，對(duì)多節(jié)階梯柱模型，該方法是精確的.當(dāng)使用該方法以多節(jié)長(zhǎng)度相等的非等截面階梯柱來(lái)模擬變截面柱，會(huì)產(chǎn)生誤差，但是隨著劃分節(jié)數(shù)的增多，誤差逐漸減小.

2)本文推薦將每段變截面柱劃分為6節(jié)長(zhǎng)度相等的非等截面階梯柱，求解整體穩(wěn)定性的歐拉臨界力誤差小于0.5%，精度很高.對(duì)于變截面和等截面組成的非等截面混合結(jié)構(gòu)，其等截面段只需劃分為1節(jié)，變截面段劃分為6節(jié)將得到滿意的結(jié)果.

［1］TIMOSHENKO S P，GERE J M.Theory of elastic stability［M］.New York:McGraw-Hill，1961:134-141.

［2］RAHAI A R，KAZEMI S.Buckling analysis of non-prismatic columns based on modified vibration modes［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2006，13(8):1721-1735.

［3］BAZEOS N，KARABALIS D L.Efficient computation of buckling loads for plane steel frames with tapered members［J］.Enineering Structures，2006，28(5):771-775.

［4］樓夢(mèng)麟，李建元.變截面壓桿穩(wěn)定問題半解析解［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，32(7):857-860.

［5］陸念力，蘭朋，李良.二階理論條件下的梁桿系統(tǒng)精確有限元方程及應(yīng)用［J］.哈爾濱建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，1998，31(4):67-74.

［6］LI Guo-qiang，LI Jin-jun.A tapered Timoshenko-Euler beam element for analysis of steel portal frames［J］. Journal of Constructional Steel Research，2002，58: 1531-1544.

［7］BAKER G.Exact deflections in nonprismatic members［J］.Computers＆Structures，1996，61(3):515-528.

［8］郭彥林，王文明，石永久.變截面門式剛架結(jié)構(gòu)的非線性性能［J］.工程力學(xué)，2000，17(4):29-36.

［9］卞敬玲，王小崗.變截面壓桿穩(wěn)定計(jì)算的有限單元法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)，2002，35(4):102-104.

［10］宋啟根，徐梁，宋丹.變截面梁柱剛度方程的Bessel函數(shù)解［J］.計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2001，18(3):355-357.

［11］陸念力，蘭朋，白樺.起重機(jī)箱形伸縮臂穩(wěn)定性分析的精確理論解［J］.哈爾濱建筑大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，33(2):89-93.