翟 光，梁 斌，李 成

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)控制科學(xué)與工程系，哈爾濱150001，gzhai@robotsat.com;2.北京理工大學(xué)飛行器設(shè)計(jì)，北京100081)

與一般的交會對接任務(wù)不同，由于飛網(wǎng)捕獲裝置彈射迅速，有效捕獲距離遠(yuǎn)，近距離接近軌跡末端不需要進(jìn)行相對?？亢臀恢帽３?，因此只要接近軌跡飛掠過目標(biāo)，且軌跡中存在滿足小于捕獲距離的點(diǎn)，同時(shí)能夠避免進(jìn)入禁飛區(qū)域內(nèi)即可.正是基于這種相對運(yùn)動中捕獲目標(biāo)的思想，本文提出一種基于多脈沖機(jī)動的飛掠型安全軌跡方案，使空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人在近距離接近過程中逐漸進(jìn)入有效捕獲范圍并在相對運(yùn)動過程中捕獲目標(biāo)，考慮安全接近軌跡的基本約束條件，飛掠型多脈沖安全軌跡設(shè)計(jì)方案如圖2所示.

空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人系統(tǒng)是一種基于飛網(wǎng)的新型在軌目標(biāo)捕獲系統(tǒng)，可廣泛地應(yīng)用于空間碎片清理、失效航天器輔助變軌等領(lǐng)域［1-2］.空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人在接近待捕獲目標(biāo)的交會過程中，如何規(guī)劃設(shè)計(jì)接近軌跡并保證系統(tǒng)自身安全，是交會軌跡規(guī)劃中重點(diǎn)解決的問題.對于交會軌跡規(guī)劃問題，Pressing J.E［3-4］和Jezewski D.J［5-6］研究了一般交會條件下的交會軌跡規(guī)劃方法，文獻(xiàn)［7-10］研究了多目標(biāo)約束條件下交會軌跡規(guī)劃問題.本文將采用線性規(guī)劃的方法，以燃料消耗最少和防碰撞安全條件作為規(guī)劃約束設(shè)計(jì)一種多脈沖被動安全接近軌跡，一方面使規(guī)劃得到的標(biāo)稱軌跡能夠避免與目標(biāo)發(fā)生碰撞，另一方面當(dāng)軌控發(fā)動機(jī)失效或者測量設(shè)備發(fā)生故障時(shí)，從標(biāo)稱軌跡上任意點(diǎn)開始的自由漂移軌跡能夠使空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人漂離目標(biāo)并自主退出任務(wù)，并且其自由漂移軌跡同樣是安全的，本文最后將對軌跡規(guī)劃結(jié)果進(jìn)行仿真，驗(yàn)證標(biāo)稱軌跡和自由漂移軌跡的安全特性.

1 航天器相對動力學(xué)模型

如圖1所示，首先建立目標(biāo)航天器的軌道坐標(biāo)系，坐標(biāo)系原點(diǎn)位于目標(biāo)航天器的質(zhì)心，XT軸指向航天器飛行方向，ZT軸指向地心與航天器質(zhì)心連線方向，YT軸與其他兩軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系垂直于軌道平面方向.rt和rc分別表示由目標(biāo)航天器和追蹤航天器質(zhì)心指向地心的矢量，ρ表示由追蹤航天器質(zhì)心指向目標(biāo)航天器質(zhì)心的矢量.目前航天器相對動力學(xué)模型應(yīng)用較為廣泛的為CW方程，它是一種航天器相對運(yùn)動的線性化方程表示形式.由于這個(gè)方程與G.W.Hill在1878年研究月球相對地球運(yùn)動時(shí)得到的方程類似，因此也有很多人將此方程稱為Hill方程.根據(jù)開普勒方程，追蹤航天器和目標(biāo)航天器分別運(yùn)行在近圓軌道上，忽略空間環(huán)境當(dāng)中的各種攝動作用，并假定地球引力場為中心引力場，則追蹤航天器和目標(biāo)航天器的軌道運(yùn)動方程分別為

圖1 航天器相對運(yùn)動示意圖

式中，rt表示目標(biāo)航天器的位置矢量，rc表示追蹤航天器位置矢量，μ為地球引力常數(shù)，ft和fc分別為目標(biāo)航天器與追蹤航天器的控制力.在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系中根據(jù)矢量對時(shí)間求導(dǎo)法則有

式中右側(cè)第一項(xiàng)為追蹤航天器在動坐標(biāo)系當(dāng)中的相對徑向加速度，第二項(xiàng)為動坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動相關(guān)的向心加速度，第三項(xiàng)為動坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動角速度變化相關(guān)的加速度，第四項(xiàng)為哥式加速度.由式(1)有

在目標(biāo)星軌道坐標(biāo)系下有 ρ=［x，y，z］T，rt=［0，0，rt］T，ω =［0，-ω，0］T，當(dāng)兩航天器相對距離遠(yuǎn)小于目標(biāo)航天器軌道半徑時(shí)，兩者之比的二階項(xiàng)可以略去，將式中括號內(nèi)的冪函數(shù)進(jìn)行泰勒展開，只保留一階小量，式(2)可以簡化為

設(shè)a=［ax，ay，az］T為各項(xiàng)加速度分量，聯(lián)合式(2)和式(3)有

式(4)便是C-W方程的線性模型，簡稱Hill方程.工程應(yīng)用證明在兩航天器相對距離小于50 km的情況下，該線性化模型具有足夠的精度.本文的軌跡規(guī)劃將基于上述動力學(xué)模型進(jìn)行.

2 被動安全軌跡規(guī)劃

近距接近軌跡的安全是指在發(fā)動機(jī)和目標(biāo)測量故障的情況下，空間機(jī)器人在接近過程中不會與目標(biāo)飛行器發(fā)生碰撞.安全軌跡設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是定義安全區(qū)域，即在目標(biāo)飛行器外圍定義一個(gè)禁止進(jìn)入的區(qū)域.安全區(qū)域的定義可以根據(jù)誤差因素、目標(biāo)飛行器尺寸、安全系數(shù)等因素確定.安全軌跡即指不進(jìn)入安全區(qū)域的接近軌跡，安全軌跡規(guī)劃就是通過給定機(jī)動起始時(shí)刻兩航天器的相對狀態(tài)、接近過程的時(shí)間約束、機(jī)動脈沖次數(shù)等參數(shù)，確定接近軌跡的機(jī)動策略.

目前安全軌跡設(shè)計(jì)模式一般分為兩種，包括主動安全模式和被動安全模式.如果追蹤航天器在接近過程中需要執(zhí)行碰撞機(jī)動操作則為主動安全模式;如果追蹤航天器的無控條件下自由漂移軌跡不進(jìn)入安全區(qū)域則為被動安全模式.相對而言被動安全模式能夠最大限度的保證軌跡的安全特性，同時(shí)也能夠減少控制操作，因此本節(jié)將采用被動安全模式來設(shè)計(jì)多脈沖接近軌跡.

2.1 安全軌跡的基本約束

空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人安全接近軌跡設(shè)計(jì)要綜合考慮接近軌跡起始點(diǎn)相對狀態(tài)、目標(biāo)跟蹤測量、飛網(wǎng)彈射捕獲位置等因素.接近軌跡的起始點(diǎn)相對狀態(tài)是指實(shí)施近距接近機(jī)動初始時(shí)刻的相對位置和相對速度，考慮到機(jī)器人系統(tǒng)在實(shí)施近距接近機(jī)動之前需經(jīng)歷相對停靠狀態(tài)以對目標(biāo)實(shí)施跟蹤伴飛，結(jié)合軌道相對動力學(xué)的特點(diǎn)，選取v-bar作為跟蹤方向最為合理;在近距離接近過程當(dāng)中，空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人的相對測量設(shè)備應(yīng)保持對目標(biāo)連續(xù)跟蹤測量，為保證可見光相機(jī)和激光測距儀能夠正常工作，就應(yīng)該避免地影出現(xiàn)在測量設(shè)備的視場之內(nèi)，使目標(biāo)測量設(shè)備視場背景保持“干凈”;此外根據(jù)后繼章節(jié)的分析，受重力梯度力矩的影響，空間機(jī)器人在完成目標(biāo)捕獲后成為一空間繩系系統(tǒng)，其姿態(tài)只有在r-bar方向才能保持穩(wěn)定，且由軌道動力學(xué)擾動造成的捕獲偏差最小，因此飛網(wǎng)彈射捕獲點(diǎn)應(yīng)盡量設(shè)計(jì)在r-bar方向.假設(shè)接近軌跡的起始點(diǎn)相對狀態(tài)為［x0，y0，z0，˙x0，˙y0，˙z0］T，軌跡終點(diǎn)的相對狀態(tài)為［xT，yT，zT，˙xT，˙yT，˙zT］T，接近過程中的任意點(diǎn)狀態(tài)為［xt，yt，zt，˙xt，˙yt，˙zt］T，則安全接近軌跡的基本約束可以表示為

2.2 多脈沖飛掠型安全軌跡的設(shè)計(jì)

與一般的交會對接任務(wù)不同，由于飛網(wǎng)捕獲裝置彈射迅速，有效捕獲距離遠(yuǎn)，近距離接近軌跡末端不需要進(jìn)行相對?？亢臀恢帽３?，因此只要接近軌跡飛掠過目標(biāo)，且軌跡中存在滿足小于捕獲距離的點(diǎn)，同時(shí)能夠避免進(jìn)入禁飛區(qū)域內(nèi)即可.正是基于這種相對運(yùn)動中捕獲目標(biāo)的思想，本文提出一種基于多脈沖機(jī)動的飛掠型安全軌跡方案，使空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人在近距離接近過程中逐漸進(jìn)入有效捕獲范圍并在相對運(yùn)動過程中捕獲目標(biāo)，考慮安全接近軌跡的基本約束條件，飛掠型多脈沖安全軌跡設(shè)計(jì)方案如圖2所示.

圖2 飛掠型多脈沖安全接近軌跡

圖2中P0為安全軌跡的起始位置，PT為飛網(wǎng)彈射捕獲位置，Pi和Pi+1表示相鄰的兩個(gè)機(jī)動脈沖施加位置，d為最大有效捕獲距離，Rsafe為圓形安全區(qū)域邊界的半徑，空間機(jī)器人在經(jīng)過多個(gè)脈沖機(jī)動后由P0點(diǎn)到達(dá)PT點(diǎn)，適當(dāng)?shù)倪x擇PT點(diǎn)在r-bar方向的位置，可以達(dá)到調(diào)整安全軌跡有效捕獲段的時(shí)間長度的目的.

為同時(shí)滿足目標(biāo)捕獲約束和軌跡安全約束，飛掠型多脈沖安全接近軌跡首先須保證通過脈沖機(jī)動，接近軌跡能夠進(jìn)入有效的捕獲范圍;其次接近軌跡任意點(diǎn)能夠避免進(jìn)入禁飛區(qū)域;最后接近軌跡必須能夠保證在任意機(jī)動脈沖施加之后，空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人長時(shí)間自由漂移軌跡不進(jìn)入禁飛區(qū)域;此外在近距接近時(shí)間約束和脈沖個(gè)數(shù)確定的條件下，軌跡規(guī)劃的結(jié)果應(yīng)盡量減少機(jī)動過程中的燃料消耗.

安全軌跡規(guī)劃是一項(xiàng)較為復(fù)雜的工作，在進(jìn)行安全軌跡設(shè)計(jì)之前，必須首先明確安全軌跡規(guī)劃約束條件的數(shù)學(xué)描述形式，建立安全軌跡規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型并求解.本文接下來將采用線性規(guī)劃的方法，首先以速度增量最優(yōu)為目標(biāo)函數(shù)，然后建立飛掠型多脈沖安全接近軌跡的線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型，最后通過數(shù)學(xué)仿真驗(yàn)證安全軌跡設(shè)計(jì)的合理性.

2.3 多脈沖速度增量最優(yōu)機(jī)動

由于本文考慮的捕獲過程定義在軌道平面內(nèi)，且平面外運(yùn)動與平面內(nèi)運(yùn)動解耦，因此可忽略y項(xiàng)運(yùn)動.忽略各種外力擾動，由式(4)可得面內(nèi)相對運(yùn)動具有以下形式:

其中狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣各部分與整體轉(zhuǎn)移狀態(tài)矩陣各部分相對應(yīng)，整體轉(zhuǎn)移矩陣可以表示為

X0=［x0，z0，˙x0，˙z0］T為系統(tǒng)的初始狀態(tài)，τ=ω(t-t0).從近距接近機(jī)動開始點(diǎn)P0到飛網(wǎng)彈射捕獲點(diǎn) PT，系統(tǒng)的狀態(tài)將由［x0，z0，˙x0，˙z0］T變?yōu)椋踴e，ze，˙xe，˙ze］T.采用N脈沖機(jī)動方式，假定由P0至Pe耗時(shí)T，則有

式中:ti為第i個(gè)脈沖施加時(shí)刻的時(shí)間，δVi=［0，0，δ˙xi，δ˙zi］T為施加的第i個(gè)速度脈沖.為便于給出安全捕獲軌跡規(guī)劃的約束條件，將式寫成分量的形式有

式中:X0(T)、Z0(T)、˙X0(T)、˙Z0(T)可由下式求得

上式便是系統(tǒng)的N脈沖相對運(yùn)動方程，從式中可以看到系統(tǒng)的狀態(tài)變化和系統(tǒng)的初始狀態(tài)及所施加的速度脈沖增量有關(guān)，所施加的速度脈沖和各個(gè)狀態(tài)分量的運(yùn)動形式呈線性關(guān)系.

在近距接近過程中，空間機(jī)器人目標(biāo)測量設(shè)備的視線軸方向應(yīng)該連續(xù)指向目標(biāo)航天器，系統(tǒng)本體坐標(biāo)系與軌道坐標(biāo)系將呈一定的夾角，因此在軌道坐標(biāo)系內(nèi)的x和z向速度脈沖增量可通過六自由度軌控發(fā)動機(jī)脈沖合成得到.設(shè)速度脈沖增量的合成形式如圖3所示，即總速度脈沖增量可以分解為4個(gè)脈沖速度分量，并且4個(gè)脈沖速度分量均非負(fù).此時(shí)為了求最小速度脈沖增量安全軌跡，則首先定義安全軌跡規(guī)劃的速度脈沖增量優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，即

圖3 速度脈沖分解圖

2.4 飛掠型軌跡的安全約束條件

設(shè)系統(tǒng)的初始位置為P0點(diǎn)，彈射捕獲點(diǎn)為PT點(diǎn)，系統(tǒng)在經(jīng)過N次脈沖機(jī)動后在T時(shí)刻到達(dá)彈射捕獲點(diǎn).下面分段考慮交會軌跡的安全約束條件.首先考慮從第2個(gè)脈沖至第N個(gè)脈沖段，顯然只要在執(zhí)行任意脈沖后其短期和長期漂移軌跡位于‖z(t)‖≥Rsafe平面區(qū)域內(nèi)即可保證整個(gè)軌跡的安全性，本文的長期漂移考察時(shí)長定義為一個(gè)軌道周期.進(jìn)一步根據(jù)式(5)考察z向相對運(yùn)動的特性，由于z向相對運(yùn)動不含長期發(fā)散項(xiàng)，因此根據(jù)z向相對運(yùn)動的周期性，其長期漂移安全約束可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)軌道周期內(nèi)的安全約束，具體的做法可在執(zhí)行脈沖機(jī)動后一個(gè)軌道周期內(nèi)選擇足夠大的M個(gè)等間隔時(shí)間點(diǎn)，使任意時(shí)刻有‖z(t)‖≥Rsafe，顯然M越大軌跡的安全性保障就越充分.若捕獲點(diǎn)PT位于z＞0平面內(nèi)，則有

其中:n=1，2，…，N;j=1，2，…，M×(N-1).

在施加第N個(gè)脈沖后安全軌跡需在T時(shí)刻經(jīng)過PT點(diǎn)，設(shè)PT點(diǎn)的位置矢量為［x(T)，z(T)］T，則彈射捕獲點(diǎn)對軌跡的約束條件可表示為

進(jìn)一步考慮第一個(gè)脈沖和第二個(gè)脈沖之間的軌跡段約束條件.為了保證交會軌跡滿足式(6)的約束，第一個(gè)脈沖施加后指定時(shí)刻T1必須使系統(tǒng)進(jìn)入到z(t)≥Rsafe平面區(qū)域，且其長期漂移軌跡滿足安全性要求.為避免長期發(fā)散項(xiàng)使問題復(fù)雜化，可根據(jù)式(5)使第一個(gè)脈沖施加后系統(tǒng)相對運(yùn)動軌跡為一封閉橢圓，此時(shí)δ˙x1=0，δ˙z1≠0，則約束條件可寫為

稱上式為第一脈沖約束.由于施加第一個(gè)脈沖后系統(tǒng)的相對運(yùn)動軌跡為一封閉橢圓，根據(jù)橢圓軌跡的特性，其在x向最大的位移可由橢圓的長半軸確定，當(dāng)橢圓的長半軸與安全軌跡邊界無交點(diǎn)時(shí)，第一個(gè)脈沖的長期漂移軌跡為安全軌跡，因此第一脈沖約束可分為以下兩種約束條件:

2.5 安全軌跡線形規(guī)劃標(biāo)準(zhǔn)型

通過上述推導(dǎo)可以看出，所有含速度脈沖的約束條件都是線性等式或者不等式，因此安全軌跡規(guī)劃問題可以轉(zhuǎn)換為線性規(guī)劃問題求最優(yōu)解，線性規(guī)劃算法求解快速，非常適合于航天器在軌實(shí)時(shí)自主規(guī)劃.經(jīng)整理，捕獲任務(wù)中的軌跡規(guī)劃問題可表示為如下形式:

其余為不等式約束，通過不等式變換可以記為

因此上述線性規(guī)劃當(dāng)中共有M×(N-1)+5個(gè)約束條件，線性規(guī)劃中的最優(yōu)解求取關(guān)鍵在于首先找到初始基本可行解，然后通過進(jìn)一步迭代尋優(yōu).

3 安全軌跡規(guī)劃算例仿真

假定初始時(shí)刻目標(biāo)航天器和飛網(wǎng)空間機(jī)器人同運(yùn)行于軌道高度為593.5 km的圓軌道上，初始時(shí)刻兩航天器在目標(biāo)軌道坐標(biāo)系中處于?？繝顟B(tài).取Rsafe=50 m，d=100 m，彈射捕獲點(diǎn)位置為［0 m，70 m］，由起始位置到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)的規(guī)劃時(shí)間分別定為T=3 600 s和T=4 200 s，取中間點(diǎn)數(shù)M=36;脈沖施加時(shí)刻為規(guī)劃時(shí)間的等分點(diǎn).分別取施加脈沖次數(shù)為3，4，5三種情況進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果表明在施加脈沖次數(shù)為3時(shí)無規(guī)劃結(jié)果，施加脈沖次數(shù)為5時(shí)脈沖速度增量明顯變大，而取施加脈沖次數(shù)為4時(shí)仿真結(jié)果較為合理.取相對初始狀態(tài)為［-1 000 m，0 m，0 m/s，0 m/s］，圖4，5是在規(guī)劃時(shí)間T=3 600 s和T=4 200 s，第一脈沖約束條件取不同值時(shí)4脈沖安全軌跡規(guī)劃的結(jié)果，圖中兩個(gè)虛線大圓和小圓分別表示有效捕獲范圍邊界和安全區(qū)域邊界，星號表示脈沖施加的位置.

在規(guī)劃時(shí)間取不同值和第一脈沖約束取不同條件的情況下，接近過程當(dāng)中各次施加的脈沖大小也不同，在整個(gè)接近過程當(dāng)中，相對運(yùn)動速度的變化情況如圖6，7所示.

圖4 T=3 600 s時(shí)的安全接近軌跡

圖5 T=4 200 s時(shí)的安全接近軌跡

圖6 T=3 600 s時(shí)x向和z向相對運(yùn)動速度

圖7 T=4 200 s時(shí)x向和z向相對運(yùn)動速度

為了對比在不同條件進(jìn)行路徑規(guī)劃得到各次速度增量，分別取初始相對狀態(tài)［-1 000 m，0 m，0 m/s，0 m/s］和［-2 000 m，0 m，0 m/s，0 m/s］兩種情況，在不同規(guī)劃約束條件下進(jìn)行4脈沖規(guī)劃并得到各次速度增量的大小，各次脈沖取代數(shù)和，其大小分別對應(yīng)表1，2.

表1 初始距離1 km安全軌跡規(guī)劃結(jié)果

表2 初始距離2 km安全軌跡規(guī)劃結(jié)果

從表1，2的各次脈沖統(tǒng)計(jì)可以看出，在相同距離相同規(guī)劃時(shí)間的約束條件下，第一脈沖約束取條件1的總速度增量要大于取條件2的情況;在第一脈沖約束條件相同時(shí)，規(guī)劃時(shí)間T=3 600 s的總速度增量要大于T=4 200 s時(shí)的速度增量;而當(dāng)初始相對距離增大時(shí)，總速度增量也隨之增大.為進(jìn)一步考察發(fā)動機(jī)故障情況接近軌跡的被動安全特性，以初始相對狀態(tài)為［-1 000 m，0 m，0 m/s，0 m/s］為例，取規(guī)劃時(shí)間T=3 600 s和 T= 4 200 s，第一脈沖約束取條件1，發(fā)動機(jī)在不同脈沖施加時(shí)刻失效后一個(gè)軌道周期的自由漂移軌跡.

為了進(jìn)一步說明軌跡的被動安全特性，以T=3 600 s的安全軌跡規(guī)劃為例，分別檢驗(yàn)各脈沖施加后系統(tǒng)的自由漂移軌跡的安全特性，圖中虛線給出了脈沖施加后一個(gè)軌道周期內(nèi)的系統(tǒng)自由漂浮軌跡.圖8，9為發(fā)動機(jī)在不同的脈沖施加處失效后系統(tǒng)的自由漂移軌跡，其中在第二個(gè)脈沖施加處發(fā)動機(jī)失效后的自由漂移軌跡為一周期性橢圓，T=3 600 s的情況下自由漂移軌跡離安全邊界最近距離大約為272 m，T=4 200 s的情況下自由漂移軌跡與安全邊界相切;第三和第四脈沖施加處發(fā)動機(jī)失效后自由漂移軌跡逐漸接近安全邊界并最終漂離目標(biāo)，顯然上述規(guī)劃得到的接近軌跡具有較好的被動安全特性.

圖8 T=3 600 s時(shí)四脈沖自由飄移軌跡

4 結(jié)論

本文首先推導(dǎo)了航天器相對運(yùn)動的線性化模型，在考慮空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人自身安全和機(jī)動過程燃料消耗最優(yōu)的條件下，提出了空間飛網(wǎng)捕獲機(jī)器人安全捕獲軌跡設(shè)計(jì)的概念和約束條件;設(shè)計(jì)了一種飛掠型近距離接近軌跡方案，推導(dǎo)了安全軌跡的不等式約束，以最小速度脈沖增量為目標(biāo)函數(shù)，采用線性規(guī)劃的方法建立了飛掠型安全軌跡的線性規(guī)劃模型，該種設(shè)計(jì)方法在給定接近時(shí)間、脈沖機(jī)動次數(shù)、捕獲位置等約束條件之后，能夠快速給出各次機(jī)動脈沖大小，十分適合在軌捕獲軌跡的實(shí)時(shí)規(guī)劃;本文最后通過算例仿真，驗(yàn)證了在不同規(guī)劃條件下軌跡規(guī)劃方法的正確性和接近軌跡的安全性.

［1］ZHAI Guang，QIU Yue，LIANG Bin，LI Cheng.On-orbit capture with flexible tether-net system［J］.Acta Astronautica，2009，65:613-623.

［2］ZHAI Guang，QIU Yue，LIANG Bin，et al.System dynamics and feedforward control for tether-net space robot system［J］.International Journal of Advanced Robotic Systems，2009，65(2)，137-144.

［3］PRUSSING J E.Optimal four-impulsive fixed-time rendezvous in the vicinity of a circular orbit［J］.Journal of Spacecraft and Rockets，2003，40(6):952-959.

［4］PRUSSING J E.Optimal impulsive linear system:sufficient conditions and maximum number of impulses［J］. The Journal of the Astronautical Sciences，1995，43 (2):195-206.

［5］JEZEWSKI D J，DONALDSON J D.An analytic approach to optimal rendezvous using Clohessy-Wiltshire equations［J］.The Journal of the Astronautical Sciences，1979，27(3):293-310.

［6］JEZEWSKI D J，BRAZZELl J P.Survey of rendezvous trajectory planning［J］.Advances in the Astronautical Sciences，1992，76:1373-1396.

［7］WILLIAMS P.Prolonged payload rendezvous using a tether actuator mass［J］.Journal of spacecraft，2006，41:889-893.

［8］LUO Yazhong，TANG Guojin，LEI Yongjun.Optimal multi-objective linearized rendezous［J］.Journal of Guidance，Control and Dynamics，2007，30(2):383-389.

［9］FEHSE W.Automated Rendezvous and Docking of Spacecraft［M］.London:Cambridge University Press. 2003.

［10］YU Shaohua.On the dynamics and control of the relative motion between two spacecraft［J］.Acta Astronautics，1995，35(6):403-409.