楊震琦，龐寶君，王立聞，遲潤強

（哈爾濱工業(yè)大學航天學院，黑龍江 哈爾濱150080）

1 引 言

陶瓷材料具有低密度、高硬度、高強度、高熔點以及化學性能穩(wěn)定等特性，因此在各種軍用武器防護裝甲中得到了廣泛應(yīng)用［1］。在準靜態(tài)或低應(yīng)變率加載條件下，陶瓷材料可以被看作是1種彈脆性材料，但是隨著應(yīng)變率的提高，陶瓷材料則會表現(xiàn)出一定的應(yīng)變率效應(yīng)及非彈性變形特征。真實地模擬陶瓷材料在沖擊載荷下的損傷、碎裂過程，是陶瓷材料動態(tài)破碎過程數(shù)值模擬中的難點。

目前，應(yīng)用最廣的陶瓷材料動態(tài)本構(gòu)模型是Johnson－Holmquist II（JH－2）模型［2］，主要用于模擬陶瓷等脆性材料在大變形、高應(yīng)變率以及高壓下的強度、應(yīng)變率效應(yīng)、損傷劣化等力學行為。JH－2模型包括應(yīng)變率、靜水壓力以及與損傷相關(guān)的強度模型和多項式形式的狀態(tài)方程。它是在JH－1模型［3］基礎(chǔ)上，加入強度的連續(xù)損傷劣化效應(yīng)來描述材料的梯度破壞過程。加載過程中材料首先表現(xiàn)為彈性性質(zhì)，直到應(yīng)力水平達到材料的屈服極限，材料開始發(fā)生損傷。隨著損傷的逐漸積累，陶瓷材料發(fā)生劣化，最終完全破碎。

對于彈體侵徹、穿甲、平面撞擊等高速撞擊實驗（撞擊速度大于500m／s）的數(shù)值模擬，JH－2模型可以很好地預(yù)測粒子自由面速度、沖擊波剖面、侵徹深度以及彈體的剩余速度等［4－6］。陶瓷材料在低速撞擊（撞擊速度小于50m／s）條件下，損傷演化與動態(tài)破碎則成為模擬研究中的重點與難點，但針對這方面的工作卻少見報道。為此，本文中首先根據(jù)文獻現(xiàn)有的實驗數(shù)據(jù)結(jié)合準靜態(tài)以及動態(tài)壓縮實驗結(jié)果得到狀態(tài)方程與強度模型參數(shù)，利用實驗與數(shù)值模擬相結(jié)合的方法得到材料的損傷度函數(shù)。利用LSDYNA 顯式有限元軟件，采用JH－2模型開展數(shù)值模擬，再現(xiàn)Al2O3陶瓷在SHPB實驗中損傷演化與動態(tài)破碎過程。將模擬結(jié)果與實驗回收試件的破碎模式進行比較，從而驗證JH－2模型用于模擬低速撞擊下陶瓷損傷演化與動態(tài)破碎的有效性和可行性。

2 Al2O3陶瓷JH－2模型參數(shù)確定

實驗中所用的Al2O3陶瓷試件是熱壓燒結(jié)成型的95瓷，平均密度ρ＝3 741kg／m3。通過靜態(tài)壓縮實驗并在試件表面直接測量橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變，可以得到樣品的彈性模量E＝295.66GPa，泊松比ν＝0.233。計算求得縱波波速為9 594.1m／s，橫波波速為5 661.1m／s，體積模量K1＝184.56GPa，切變模量G＝120.34GPa。

2.1 狀態(tài)方程參數(shù)

狀態(tài)方程用來描述材料體積應(yīng)變與靜水壓力之間的關(guān)系，在低速撞擊下由于靜水壓力張量較小，因此狀態(tài)方程可以由簡單的線性形式表示。但是由于確定損傷度函數(shù)時需要比較準確的高壓狀態(tài)方程，因此建立3次多項式形式的狀態(tài)方程。

材料未發(fā)生損傷（D＝0）時，JH－2本構(gòu)模型中材料的狀態(tài)方程可以表示為

式中：K1為材料的體積模量，K2、K3為材料常數(shù)，p為靜水壓力，μ 為體應(yīng)變。

材料開始發(fā)生損傷（D＞0）后，由于陶瓷發(fā)生徑向膨脹，因此在多項式后要加入修正項Δp。從能量轉(zhuǎn)換的角度看，彈性能的減少將通過壓力增量轉(zhuǎn)化為材料內(nèi)部的勢能，那么能量轉(zhuǎn)化方程可以表示為

圖1 靜水壓力與體應(yīng)變的關(guān)系Fig.1 Relationship between hydrostatic pressure and volume strain

式中：β為彈性能轉(zhuǎn)化為勢能的轉(zhuǎn)化系數(shù)，U 為內(nèi)能。

高壓下材料的p－μ 曲線一般是利用平面撞擊實驗得到的，但是得到的1維應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力張量包括靜水壓力張量及偏應(yīng)力張量，很難進行數(shù)據(jù)解耦得到靜水壓力與體應(yīng)變的關(guān)系，因此利用Z.Wang等［7］基于金剛石壓腔實驗測試得到的Al2O3陶瓷靜壓數(shù)據(jù)擬合出狀態(tài)方程參數(shù)K2＝185.87GPa，K3＝157.54GPa。那么JH－2模型中的狀態(tài)方程為

假設(shè)材料損傷積累過程中，由損傷引起的彈性內(nèi)能損失完全轉(zhuǎn)化為勢能，則式（2）中β＝1。

圖1給出了Z.Wang等［7］的實驗數(shù)據(jù)點和式（3）表示的狀態(tài)方程曲線，并與D.E.Grady［8－9］的平面撞擊實驗數(shù)據(jù)進行比較。由圖可見由平面撞擊實驗在相同的體應(yīng)變下獲得的壓力值略高于狀態(tài)方程曲線。因此，利用金剛石壓腔實驗獲得的方程（3）可以消除偏應(yīng)力張量的影響，使狀態(tài)方程參數(shù)更準確。

2.2 強度模型參數(shù)

JH－2強度模型是將材料的等效應(yīng)力表示成靜水壓力的冪函數(shù)形式并且與應(yīng)變率和損傷因子D 相關(guān)，其中定義的量綱一強度模型為

當材料未發(fā)生損傷（D＝0）時，量綱一等效應(yīng)力可以表示為

當材料完全破碎（D＝1）時，量綱一等效應(yīng)力為

Al2O3陶瓷的Hugoniot彈性極限（σHEL）可以由平面撞擊實驗得到，根據(jù)D.E.Grady［9］的平面撞擊數(shù)據(jù)（6.2±0.4）GPa、常敬臻［10］的實驗數(shù)據(jù)5.0～5.9GPa，本文中JH－2模型的σHEL取為6.0GPa。Hugoniot彈性極限可以分解成由靜水壓力張量與偏應(yīng)力張量表示的形式

由Hooke定律的畸變率［11］，得到偏應(yīng)力張量與體應(yīng)變的關(guān)系

將式（3）與式（8）帶入式（7），可得

根據(jù)式（9），可以解得μHEL＝0.017 4，將其代入式（1）可得pHEL＝3.268GPa，因此偏應(yīng)力sHEL＝4.116GPa。

D.E.Grady［9］的平面撞擊實驗中得到Al2O3陶瓷的層裂強度為0.5～0.8GPa，該應(yīng)力狀態(tài)包含靜水壓力張量與偏應(yīng)力張量，假設(shè)材料可以承受的最大靜水拉應(yīng)力σt，m為0.3GPa，那么量綱一化的＝σt，m／pHEL。為了得到未損傷陶瓷的強度模型，本文中利用Instron萬能試驗機與SHPB 設(shè)備對Al2O3試件進行單軸壓縮實驗，實驗結(jié)果見表1，其中σ為單軸壓縮強度，p 為等效靜水壓力，σ＊＝σ／σHEL為量綱一強度，p＊＝p／pHEL為量綱一靜水壓力。

圖2給出了陶瓷在不同應(yīng)變率下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，可見在準靜態(tài)加載下陶瓷發(fā)生脆性破壞，塑性應(yīng)變幾乎為零，而高應(yīng)變率下，陶瓷強度隨變形的增大發(fā)生連續(xù)劣化，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系表現(xiàn)明顯的非線性。

表1 準靜態(tài)與動態(tài)壓縮實驗結(jié)果Table 1 Results of quasi－static and dynamic compression experiments

圖2 Al2O3陶瓷的動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變曲線Fig.2 True stress－strain curves of Al2O3ceramic under different load conditions

圖3 2種不同應(yīng)變率下的σ－p 曲線Fig.3σ－pcurvesattwodifferentstrainrates

由式（10）可解得材料的應(yīng)變率敏感系數(shù)C＝0.004 5。

當材料未發(fā)生損傷（D＝0）時，方程（5）需要2個數(shù)據(jù)點求出未知量A 和N。其中1個數(shù)據(jù)點可由材料的Hugoniot彈性極限確定，即σHEL為6.0GPa，對應(yīng)的應(yīng)變率為105s－1［9］。另1個數(shù)據(jù)點，選取SHPB實驗獲得的在應(yīng)變率為360s－1下，材料單軸壓縮強度1.126 2GPa。將他們代入方程（5），可解得N＝0.764，A＝0.889。

當材料完全破碎（D＝1）時，方程（6）的材料參數(shù)可以根據(jù)L.W.Meyer等［12］的實驗數(shù)據(jù)確定。根據(jù)L.W.Meyer等測試的平面撞擊后Al2O3碎片（平均碎片尺寸1mm）的強度與壓力的關(guān)系，可解得B＝0.29，M＝0.53。

圖5為由方程（5）、（6）得到的Al2O3陶瓷的強度模型，其中假設(shè)單軸壓縮下材料最大破碎強度與Hugoniot彈性極限相等，為4.116GPa。由圖可見，強度模型與表1中的實驗數(shù)據(jù)點及L.W.Meyer等測得Al2O3碎片準靜態(tài)壓縮實驗數(shù)據(jù)較吻合，可以準確描述陶瓷強度在壓縮過程中的變化規(guī)律。

圖4 σ1／σ2 隨p 的變化曲線Fig.4 Variation ofσ1／σ2with p

圖5 Al2O3陶瓷的JH－2強度模型Fig.5JH－2strength models for for Al2O3ceramic

2.3 損傷模型

JH－2本構(gòu)模型中的損傷模型與Johnson－Cook的損傷模型［13］相同，損傷變量D 可以表示為

式中：Δεp是單次循環(huán)內(nèi)的有效塑性應(yīng)變的積分是在一定壓力下材料的破碎塑性應(yīng)變，且

因此，JH－2損傷模型中引入了材料損傷度函數(shù)D1、D2，由于陶瓷材料在應(yīng)變較小的情況下就要發(fā)生破碎，所以很難通過實驗得到D1、D2的值，文獻［4，6］中通過不同方法間接地反推材料的損傷函數(shù)。

本文中采用實驗與數(shù)值模擬比較的方法來確定D1、D2的值，計算模型與R.Subramanian等［14］的長桿彈侵徹復(fù)合靶板（Al－Al2O3－Al）的實驗條件相同，撞擊速度為3 529m／s，侵徹深度為25.5mm。由于陶瓷材料的強度隨著損傷的積累而降低，見式（4），因此，通過改變不同的損傷度函數(shù)所得到的結(jié)果與實驗結(jié)果相比較，優(yōu)化出最終的D1、D2的值。圖6為侵徹過程中若干時刻的陶瓷損傷狀態(tài)云圖（未顯示表層的鋁合金）。由圖6（a）可見，1.5μs時，彈體開始由結(jié)構(gòu)表面的鋁合金板進入陶瓷層，隨著侵徹深度的增加，陶瓷靶表面產(chǎn)生圓形的損傷區(qū)域，并向外擴展。2.5μs后，表面損傷圖樣近似不變，但彈體在陶瓷靶表面開坑直徑增大，直到5.0μs時彈體完全進入陶瓷靶后，表面坑徑不再增加，直徑約為彈體直徑的5倍。圖6（b）為整體結(jié)構(gòu)的3維損傷云圖，可以看出陶瓷在撞擊點發(fā)生損傷并沿縱向擴展，彈體長度隨著侵徹的加深而逐漸變短。隨著彈體的消蝕，相對損傷區(qū)域逐漸變小，這反映了長桿彈侵徹陶瓷材料的特點，即表層的損傷區(qū)域比內(nèi)部的損傷區(qū)域范圍大，整個侵徹坑的形狀呈一個倒圓錐形，這與R.Subramanian等［14］的實驗結(jié)果相符，可以證明數(shù)值模擬的有效性。

設(shè)模擬得到的侵徹深度為Pc，實驗侵徹深度為Pe。隨著損傷度函數(shù)D1、D2的變化，數(shù)值模擬侵徹深度結(jié)果發(fā)生變化，計算結(jié)果見表2，其中（Pe－Pc）／Pe為實驗與模擬所得侵徹深度的誤差。

圖6 長桿彈侵徹Al2O3陶瓷復(fù)合靶材料損傷示意圖Fig.6 Material damage of penetration behavior for long rod projectile to Al2O3ceramic composite target

表2 數(shù)值模擬結(jié)果Table 2 Results of numerical simulations

參考JH－2模型其他陶瓷材料的損傷度函數(shù)取值［5－6，10］范圍，假設(shè)D1∈［0.001，0.009］，D2∈［0.5，2.0］。首先，固定D2的值為0.7，使D1在0.001～0.009 范圍內(nèi)變化（如S01～S05），發(fā)現(xiàn)當D1≤0.005，隨著D1的增大，誤差值不發(fā)生變化；而當D1＞0.005，隨著D1的增大，模擬與實驗之間的誤差逐漸增大，當D1＝0.009時，最大誤差達到14.05%。因此D1初步選為0.005。然后，固定D1為0.005，使D2在0.5～2.0之間變化（如S06～S12），發(fā)現(xiàn)當D2＜1.0時，隨著D2的增大，誤差逐漸減?。坏擠2≥1.0時，誤差近似不變，約2.27%，因此將D2的值固定為1.0。最后，為了驗證D2＝1.0時，取D1＝0.005的模擬結(jié)果與實驗結(jié)果差別較小，增加了S13～S16等4組模擬工況。結(jié)果表明，隨著D1的變化，結(jié)果誤差變化規(guī)律與S01～S05相同。因此，選取模擬工況中與實驗誤差較小的1組作為Al2O3陶瓷JH－2模型的損傷度參數(shù)，即D1＝0.005，D2＝1.0。

3 數(shù)值模擬分析

3.1 有限元模型

實驗在?12.7mm 的SHPB系統(tǒng)上進行，入射桿與透射桿長均為1 m，子彈長為0.2 m，Al2O3陶瓷試件為?10 mm×8 mm 的短圓柱。共進行了2次實驗，子彈速度均為32m／s，其中1次利用鉛墊整形器對入射波進行整形，使矩形壓縮波變?yōu)閮绾瘮?shù)形狀的壓縮波。利用LS－DYNA 顯式有限元軟件模擬2種條件下的陶瓷試件的動態(tài)破碎過程。建立與實驗系統(tǒng)相同的有限元模型，為了減小計算量，透射桿模型長度取為0.5m。

3D 實體模型采用8節(jié)點的Solid164動態(tài)顯式單元進行網(wǎng)格劃分，如圖7所示。為了準確模擬陶瓷動態(tài)破碎的過程，將陶瓷材料的網(wǎng)格細化。

有限元模型的入射桿、陶瓷試件、透射桿的單元數(shù)分別為153 600、288 000、76 800。由于實驗中為了減小摩擦，在試件與壓桿接觸面上涂抹了凡士林，因此端面摩擦可以近似為0?；诖?，模擬各個界面的接觸為點面接觸條件且假設(shè)界面之間光滑無摩擦。入射桿與透射桿材料均為高強鋼，采用線彈性材料模型；Al2O3陶瓷采用JH－2本構(gòu)模型，模型參數(shù)為前文得到的數(shù)據(jù)。

3.2 計算結(jié)果

分別計算了SHPB入射桿端部加鉛墊整形器與不加整形器2種工況下的波形結(jié)果，并與實驗得到的應(yīng)力波形進行比較，如圖8所示?？梢园l(fā)現(xiàn)實驗與模擬得到的應(yīng)力波波形吻合較好，形狀基本一致。由于陶瓷材料的波阻抗較高，因此反射波的幅值與寬度較小，透射波幅值近似與入射波相同。由于模擬中透射桿長度為0.5m，因此還可以看到透射波反射后的應(yīng)力波形。

圖7 SHPB系統(tǒng)有限元模型Fig.7 The finite element model of the SHPB device

圖8SHPB實驗與模擬波形比較Fig.8 Comparison between experiment and simulation of SHPB waveform

圖9 為Al2O3陶瓷在不同形狀壓縮波作用下材料表面及內(nèi)部A－A 截面損傷演化云圖。從圖中可以看出，陶瓷材料的破碎模式主要是呈縱向劈裂狀破壞，破壞程度與不同的入射波形狀有關(guān)。圖9（a）為陶瓷在冪函數(shù)形壓縮波作用下的損傷演化模式，200μs時壓縮波波前到達試件表面，由于Al2O3陶瓷內(nèi)的縱波波速為9 591m／s，因此經(jīng)過0.8μs后壓縮波就到達了試件后表面，所以模擬中在試件前后表面邊緣處同時出現(xiàn)若干損傷區(qū)域（圖9（a），205μs），隨著時間的增加，試件兩側(cè)損傷積累并沿表面縱向擴展，前后表面損傷擴展并連接在一起，使表面形成縱向的裂紋。同樣，對于A－A 截面的損傷圖樣可以看出初始損傷區(qū)域在試件中心形成，并向外擴展，最終形成一個環(huán)狀的損傷帶，內(nèi)部裂紋由損傷帶向外擴展與表面裂紋相連，使試件徹底破碎。

圖9SHPB模擬試件表面及A－A 截面損傷云圖Fig.9 Damage patterns of ceramic surfaces and A－A cross sections of ceramic specimens for SHPB simulation

圖9 （b）為陶瓷在矩形壓縮波作用下的損傷演化模式，同圖9（a）比較可以看出，隨著應(yīng)變率的提高，試件前后表面損傷區(qū)域增大，表面裂紋數(shù)增多（圖9（b），220μs），在與壓桿接觸的表面處發(fā)生較大變形，形成2塊明顯的破壞區(qū)域。由A－A 截面的損傷圖樣可以看出與圖9（a）相同的損傷模式，但是試件的中心區(qū)域并沒有形成環(huán)狀損傷帶，而是在整個區(qū)域發(fā)生較大的損傷，形成許多小碎片。

圖10為與圖9模擬載荷條件相同的實驗中回收的Al2O3陶瓷試件的破壞照片。由圖10（a）可見，當陶瓷試件在冪函數(shù)壓縮波的作用下，破碎成不規(guī)則的5塊碎片，其中1塊為中心部分碎片，其余為邊緣碎片，這與圖9得到的破碎形式相吻合。圖10（b）為無整形器SHPB 實驗得到的Al2O3試件的破壞模式?？梢娞沾刹牧显诰匦螇嚎s波的作用下，劈裂成許多不規(guī)則的碎片，其中大部分大碎片是邊緣碎片，中心區(qū)域的小碎片成短針狀，并發(fā)現(xiàn)試件表面有材料剝落現(xiàn)象，這些現(xiàn)象與圖9（b）模擬結(jié)果吻合。

圖10 SHPB實驗試件破壞模式Fig.10Specimen fragmentationmodesinSHPBtest

從實驗與模擬結(jié)果可以看出，在相同峰值壓力下，強間斷波比加速度波對陶瓷試件造成的損傷更嚴重。這主要是由于SHPB實驗對于不同入射波情況，材料內(nèi)部的應(yīng)力均勻性不同造成的，上升時間越長材料內(nèi)部的應(yīng)力均勻性越好［15］。圖11為2種工況下陶瓷材料軸向的應(yīng)力分布圖，其中x 方向為應(yīng)力波傳播時間，y 軸為試件坐標（y＝0mm 為入射桿與試件接觸面，y＝8mm 為試件與透射桿接觸面），z方向為沿試件軸線方向的應(yīng)力。

圖11 2種工況下SHPB實驗中陶瓷試件的軸向應(yīng)力均勻性Fig.11 Axial stress uniformity of ceramic specimens in the SHPB experiments

由圖11可以發(fā)現(xiàn)：（1）初始加載段（150～180μs），矩形脈沖上升時間明顯小于冪函數(shù)形脈沖上升時間，試件需要在短時間內(nèi)達到較高的應(yīng)力狀態(tài)。試件輸入桿和輸出桿接觸面有2塊明顯的壓應(yīng)力極值區(qū)，試件內(nèi)部應(yīng)力小于邊緣應(yīng)力，可見材料加載過程中內(nèi)部應(yīng)力不均勻。在應(yīng)力波動劇烈的區(qū)域試件內(nèi)部的應(yīng)力狀態(tài)較復(fù)雜，容易在夾雜、微孔洞處產(chǎn)生應(yīng)力集中造成局部拉壓不均，引起試件破碎。（2）初始加載過后（180～250μs），冪函數(shù)應(yīng)力波作用下的試件內(nèi)部應(yīng)力逐漸均勻，且外側(cè)應(yīng)力趨近于0；矩形脈沖下試件內(nèi)部波動較劇烈，且在邊緣處出現(xiàn)明顯的拉應(yīng)力區(qū)域。陶瓷材料拉壓性能不對稱，抗壓強度約為抗拉強度的6倍以上，因此在拉應(yīng)力區(qū)更容易形成裂紋源，造成試件的破碎。

4 結(jié) 論

討論了描述陶瓷材料動態(tài)損傷的JH－2本構(gòu)模型及其參數(shù)的確定，并對Al2O3陶瓷在低速SHPB實驗中的損傷演化過程及破碎形式進行了模擬，得到如下結(jié)論：

（1）利用JH－2本構(gòu)模型可以較準確的模擬陶瓷在低速撞擊下的動態(tài)破碎模式及損傷演化形式。

（2）Al2O3陶瓷在動態(tài)壓縮過程中，損傷首先在試件前后端面上積累并逐漸沿縱向擴展，試件內(nèi)部產(chǎn)生1個環(huán)形的損傷帶，內(nèi)部損傷由損傷帶向外呈放射狀擴展，并與外部損傷相連，造成試件整體破碎。陶瓷試件主要發(fā)生徑向劈裂狀破碎，破碎碎片包括中心區(qū)域碎片以及材料邊緣碎片。

（3）隨著壓縮波波前上升時間的減小，造成試件內(nèi)部應(yīng)力不均勻分布，產(chǎn)生拉應(yīng)力區(qū)域，使陶瓷試件的破碎程度增大，中心碎片從1個完整的大碎片變成短針狀的小碎片。

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