張衛(wèi)星

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)質(zhì)上是人腦對(duì)學(xué)習(xí)材料感知、理解、分析和整合的過(guò)程。學(xué)習(xí)材料是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)能力的載體，是學(xué)生感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)價(jià)值，形成正確數(shù)學(xué)觀的重要資源。學(xué)習(xí)材料主要包括教材中的課程資源與教材外拓展的課程資源，如主題情境圖、數(shù)學(xué)問(wèn)題、數(shù)學(xué)習(xí)題、教與學(xué)的操作材料等。教學(xué)中，組織不同的學(xué)習(xí)材料或?qū)ο嗤牧系牟煌M織，學(xué)生經(jīng)歷學(xué)習(xí)的過(guò)程截然不同，學(xué)習(xí)材料的選擇和使用決定著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣、對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及學(xué)習(xí)過(guò)程的生動(dòng)性。而合理選擇和使用學(xué)習(xí)材料的前提是對(duì)學(xué)習(xí)材料本身有一個(gè)深刻的認(rèn)識(shí)。下面，筆者從學(xué)習(xí)材料之間的相互關(guān)系這一視角切入，與大家一起探討數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的主要類型及內(nèi)涵；

一、邏輯性材料——讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)規(guī)律

數(shù)學(xué)區(qū)別于其他學(xué)科最本質(zhì)的東西是什么?那就是它的邏輯性。一個(gè)有邏輯性的學(xué)習(xí)材料不僅能使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中體驗(yàn)到數(shù)學(xué)邏輯的特性，更為重要的是它符合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律。邏輯性學(xué)習(xí)材料，即學(xué)習(xí)材料之間存在一定的內(nèi)在層次性和關(guān)聯(lián)性，學(xué)習(xí)材料之間的素材基本相同，但同時(shí)又具有一定的遞進(jìn)性。邏輯性學(xué)習(xí)材料有助于促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律的理解。

例如，一位教師在教學(xué)《搭配中的數(shù)學(xué)問(wèn)題》時(shí)，先讓學(xué)生充分探究“2件衣服，3條褲子的搭配方法”，之后并不急于概括搭配的一般方法，而是順勢(shì)改變例題的條件，為學(xué)生提供如下一組學(xué)習(xí)材料：

1如果有2件衣服，4條褲子，有幾種搭配方法?

2如果有3件衣服，5條褲子，有幾種搭配方法?

這組學(xué)習(xí)材料的設(shè)計(jì)，注重?cái)?shù)學(xué)材料內(nèi)在的層次性和邏輯性，利于學(xué)生自主探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律。當(dāng)提供這組材料時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生自主探索、積極思考，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。由“2件衣服，3條褲子”的搭配到“2件衣服，4條褲子”以及“3件衣服，5條褲子”的搭配，這樣拓展的目的不僅僅是為了讓學(xué)生通過(guò)不完全歸納發(fā)現(xiàn)規(guī)律：衣服的件數(shù)×褲子的條數(shù)=搭配的總數(shù)，更為重要的是讓學(xué)生較好地實(shí)現(xiàn)由具體問(wèn)題向相應(yīng)“數(shù)學(xué)模型”的過(guò)渡。

二、結(jié)構(gòu)性材料——讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本質(zhì)

“結(jié)構(gòu)”指的是相互關(guān)聯(lián)的方式。數(shù)學(xué)教學(xué)中材料的“結(jié)構(gòu)”是指材料在被使用時(shí)能揭示數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。通俗地說(shuō)，所謂結(jié)構(gòu)性材料，指的就是教師經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的典型教學(xué)材料的組合，這些材料所呈現(xiàn)的問(wèn)題情境可能不同，但問(wèn)題的內(nèi)部表征是一樣的，主要是讓學(xué)生在經(jīng)歷問(wèn)題探究的過(guò)程中理解數(shù)學(xué)情境的本質(zhì)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)材料沒(méi)有結(jié)構(gòu)性，探究活動(dòng)就無(wú)法典型、深刻和精致，教學(xué)目標(biāo)特別是知識(shí)目標(biāo)就僅是“點(diǎn)到”而非“達(dá)到”。因而，教師精心設(shè)計(jì)、選擇、提供的結(jié)構(gòu)性材料是探究活動(dòng)得以開(kāi)展的根本，是學(xué)生參與實(shí)踐、自行探究的前提，對(duì)于實(shí)現(xiàn)有效探究與意義建構(gòu)的統(tǒng)一具有樞紐性的作用，是促進(jìn)學(xué)生形成數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵。

例如，一位教師在教學(xué)《100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)》時(shí)，經(jīng)歷了如下的教學(xué)片斷：

師：我們班有幾位小朋友，誰(shuí)能領(lǐng)著大家數(shù)一數(shù)。(邊點(diǎn)邊數(shù)，數(shù)到47。)

師：剛才數(shù)人數(shù)時(shí)數(shù)到了47，還能接著數(shù)嗎?(叫了幾位學(xué)生接著往下數(shù)。最后全體學(xué)生一起往下數(shù)，數(shù)到100。)

師：請(qǐng)看一下你桌上的小棒或小豆子，你能估計(jì)出大約有多少嗎?(同桌兩人，一人是小棒，一人是豆子。)

生：100、23、88、50。(四名學(xué)生分剮回答。)

師：小朋友到底估得準(zhǔn)不準(zhǔn)，怎么辦呢?

生：數(shù)一數(shù)。

師：用你喜歡的方式來(lái)數(shù)一數(shù)。(學(xué)生數(shù)數(shù)。)

師：你數(shù)出來(lái)的數(shù)與你估計(jì)的數(shù)接近嗎?接近的請(qǐng)舉手。

師：請(qǐng)每位小朋友想一想，怎么樣能使別人一下子就能數(shù)出來(lái)?可以利用桌上的小袋子或牛皮筋。(學(xué)生操作活動(dòng)。時(shí)間較長(zhǎng)，有的學(xué)生10粒10粒一包，有的學(xué)生10根10根1捆，有的學(xué)生5粒5粒一包，還有學(xué)生4根4根一捆。)

教師展示部分學(xué)生作品：一位學(xué)生10粒10粒一包。一住學(xué)生是10根10根一捆，一位學(xué)生是3根3根一捆。還有一位學(xué)生是5粒、6粒、13粒、3粒，亂的。你覺(jué)得哪種方法數(shù)起來(lái)最方便?

生1：第一位同學(xué)10粒10粒一包，4包是40粒，還有3粒，是43粒。

生2：第二位同學(xué)10根10根一捆。3捆是30根，還有6根，是36根。

師：你們喜歡這兩種方法嗎?用這樣的方法試一試。

教師通過(guò)大屏幕呈現(xiàn)一位學(xué)生的作品：52粒豆子，5個(gè)10和2個(gè)1舍起來(lái)是多少?

生：52。

教師用小棒呈現(xiàn)4個(gè)10和2個(gè)1，合起來(lái)是多少?

生：42

上述教學(xué)從數(shù)學(xué)生人數(shù)開(kāi)始，初步感知100；再通過(guò)數(shù)小棒、數(shù)豆子等操作活動(dòng)，來(lái)理解100以內(nèi)各數(shù)是由幾個(gè)“十”和幾個(gè)“一”組成的。體會(huì)“滿十進(jìn)一”的進(jìn)位制和數(shù)位的意義，在估數(shù)、數(shù)數(shù)活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。上述教學(xué)中，學(xué)生人數(shù)、小棒根數(shù)、豆子粒數(shù)都是學(xué)習(xí)材料，這些材料從表面上看好象沒(méi)有聯(lián)系，但這些材料的內(nèi)在特征都是一樣的，都是由幾個(gè)“十”和幾個(gè)“一”組成，通過(guò)操作活動(dòng)可以使學(xué)生較好地理解學(xué)生人數(shù)、小棒根數(shù)、豆子粒數(shù)所蘊(yùn)含的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維遷移能力。

三、系統(tǒng)性材料——讓學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，各部分知識(shí)之間的縱橫聯(lián)系十分緊密。因此，能否根據(jù)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展規(guī)律構(gòu)建系統(tǒng)性學(xué)習(xí)材料就成為數(shù)學(xué)教師的一種教學(xué)智慧。所謂系統(tǒng)性學(xué)習(xí)材料，就是根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)組織的學(xué)習(xí)材料，各學(xué)習(xí)材料之間聯(lián)系緊密，所有學(xué)習(xí)材料圍繞課題構(gòu)成一個(gè)相對(duì)完整的知識(shí)系統(tǒng)。學(xué)生經(jīng)過(guò)學(xué)習(xí)，能獲得相對(duì)完整的數(shù)學(xué)知識(shí)及結(jié)構(gòu)。從某種意義上說(shuō)，系統(tǒng)性學(xué)習(xí)材料的實(shí)質(zhì)也是一種結(jié)構(gòu)性材料，但它的范圍更深廣，內(nèi)涵更豐富。

例如，《工程問(wèn)題》包含以下知識(shí)點(diǎn)：求合作完成整項(xiàng)工程的時(shí)間；求合作完成整項(xiàng)工程的幾分之幾；求合作完成部分工程后還乘下幾分之幾；求合作完成部分工程的時(shí)間。這四個(gè)知識(shí)點(diǎn)中最重要的是第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，即工程問(wèn)題的基本模型1÷(1/a+1/b)，教學(xué)時(shí)就要圍繞這一基本模型展開(kāi)，其余知識(shí)點(diǎn)則在完成基本模型的建構(gòu)后以變式的形式呈現(xiàn)。為此，筆者組織了以下學(xué)習(xí)材料：

1一條公路全長(zhǎng)2400米，由甲工程隊(duì)單獨(dú)施工，需8天完成；由乙工程隊(duì)單獨(dú)施工，需12天完成。兩隊(duì)同時(shí)施工，需多少天完成?

2把“一條公路全長(zhǎng)2400米”變成“一條公路全長(zhǎng)600米”。

3把“一條公路全長(zhǎng)600米”變成“一條公路全長(zhǎng)200米”。

4把“一條公路全長(zhǎng)200米”變成“一條公路全長(zhǎng)12米”。

5把“一條公路全長(zhǎng)12米”變成“一條公路全長(zhǎng)a米”。

6把“一條公路全長(zhǎng)a米”變成“一條公路”。

7把“需多少天完成?”變成“一起做3天完成這條公路的幾分之幾?”

8把“需多少天完成?”變成“舍做完成3天后，還剩下這條公路的幾分之幾?”

9把“需多少天完成?”變成“幾天完成這項(xiàng)工程的3/5?”

10把“兩隊(duì)同時(shí)施工，需多少天完成?”變成“甲隊(duì)先做3天，剩下的由乙隊(duì)來(lái)完成，還需要多少天?”

上述10個(gè)學(xué)習(xí)材料都在同一情境中順次展開(kāi)，內(nèi)在聯(lián)系非常緊密。當(dāng)學(xué)生完成這10個(gè)學(xué)習(xí)材料的學(xué)習(xí)后，對(duì)工程問(wèn)題就有了一個(gè)比較系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)。

四、比較性材料——讓學(xué)生厘清數(shù)學(xué)知識(shí)

著名教育家烏申斯基認(rèn)為：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，我們正是通過(guò)比較來(lái)了解世界上的一切的?！毙W(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，需要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)材料的比較、分析來(lái)認(rèn)識(shí)知識(shí)的形成過(guò)程，把握知識(shí)的來(lái)源，理解知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系與區(qū)別。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中根據(jù)教材的特點(diǎn)恰當(dāng)運(yùn)用比較性學(xué)習(xí)材料，可以使學(xué)生順利接受新知識(shí)，提高辨別能力，從而扎實(shí)地厘清并掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，獲得規(guī)律性認(rèn)識(shí)。

例如，在教學(xué)《圓錐的體積》時(shí)，筆者經(jīng)歷了如下的教學(xué)片斷：

師：請(qǐng)各小組從實(shí)驗(yàn)器材(兩個(gè)圓柱容器和兩個(gè)圓錐容器)中選一個(gè)圓柱容器和一個(gè)圓錐容器，利用圓柱容器、圓錐容器、水進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，共同探究圓柱體積與圓錐體積之間的關(guān)系。

6個(gè)小組展開(kāi)合作實(shí)驗(yàn)：有的用圓錐裝滿水往圓柱里倒，有的用圓柱裝滿水再倒入圓錐，有的觀察水的高度，有的記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。必須說(shuō)明的是，其中三個(gè)小組使用的圓柱和圓錐分別是等底等高的。另外三個(gè)小組使用的分別是等底不等高、等高不等底、或底高均不相等的。

師：通過(guò)實(shí)驗(yàn)，你們有何發(fā)現(xiàn)?

組1：我們實(shí)驗(yàn)時(shí)，用圓錐三次裝滿水連續(xù)倒在圓柱里，圓柱正好裝滿。這說(shuō)明圓錐的體積是圓柱體積的1/3。

組2：我們用圓柱裝滿水往圓錐里倒，等到圓錐第三次裝滿水，圓柱里的水也正好倒完。這說(shuō)明圓柱的體積是圓錐體積的3倍。

組3：我們組實(shí)驗(yàn)的結(jié)果與前面兩組基本一致。

組4：我們用圓錐三次裝滿水連續(xù)往圓柱里倒，圓柱并沒(méi)有裝滿，所以，我們認(rèn)為圓錐的體積不是圓柱體積的1/3。

組5：我們組實(shí)驗(yàn)時(shí)，用圓錐裝滿水往圓柱里倒，倒完第二次后圓柱就滿了。

組6：我們還要快，圓錐第一次裝滿水倒入圓柱后。圓柱就滿了。

師：根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)組的匯報(bào)，我們可以把結(jié)論分成兩大類：1、圓錐的體積是圓柱的三分之一；2、圓錐體積不是圓柱的的三分之一。這是怎么回事呢?同樣的實(shí)驗(yàn)為什么會(huì)得到不同的結(jié)果呢?

學(xué)生陷入了沉思。開(kāi)始對(duì)整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程進(jìn)行回顧。

生：是不是我們實(shí)驗(yàn)所用的圓柱和圓錐有什么差剮呢?

“一語(yǔ)驚醒夢(mèng)中人”，學(xué)生開(kāi)始用各種方式比較各組所用的圓柱和圓錐，也有的拿起尺子開(kāi)始測(cè)量圓柱和圓錐的底和高……

上述教學(xué)中，學(xué)生使用的學(xué)習(xí)材料就是比較性學(xué)習(xí)材料。通過(guò)對(duì)這些比較性學(xué)習(xí)材料的操作與思考，學(xué)生可以真正厘清圓柱體積和圓錐體積之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而真正理解圓錐體積公式的內(nèi)涵。

五、整體性材料——讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)內(nèi)涵

教材是由一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)組成的，其呈現(xiàn)方式是按照一定的知識(shí)序列逐一呈現(xiàn)的，但其蘊(yùn)涵著極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)性。如果我們?cè)谑褂媒滩臅r(shí)仍然按照教材中的知識(shí)序列對(duì)知識(shí)點(diǎn)一個(gè)個(gè)孤立地進(jìn)行教學(xué)，那么具體的知識(shí)與抽象的結(jié)構(gòu)性知識(shí)就無(wú)法有機(jī)結(jié)合，零星的知識(shí)就無(wú)法納入完整的知識(shí)體系中。因此，教師在教學(xué)中要突破教材的束縛，學(xué)會(huì)從整體結(jié)構(gòu)的高度分析和組織教材。所謂整體性材料，就是指從局部看學(xué)習(xí)材料之間好像沒(méi)有什么聯(lián)系。但是把這些材料整合在一起，通過(guò)一定的相互作用就可能形成一個(gè)整體并產(chǎn)生1+1>2的整體效應(yīng)。

例如，在教學(xué)《三角形三邊關(guān)系》時(shí)，一位教師經(jīng)歷了如下的教學(xué)片斷：

師：如果用小棒來(lái)圍三角形，要用幾根?

生：3根。

師：請(qǐng)用你們手中的小棒擺一擺，看看能不能圍成一個(gè)三角彤?(每捆小棒5根，分別由2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米的小棒組成。)

師(出示合作要求)：

1從所給的小棒中任意選擇三根，共有幾種選法?在紙上記錄下來(lái)。

2判斷所選擇的三根小棒能夠圍成一個(gè)三角形嗎?

3討論能夠圍成三角形的三根小棒具有什么特點(diǎn)?

學(xué)生開(kāi)始合作，教師巡視指導(dǎo)。

師：誰(shuí)來(lái)匯報(bào)第一個(gè)問(wèn)題?(生匯報(bào)，教師板書(shū)記錄。)

師：上述選法中，哪些選法的結(jié)果不能圍成三角形?

生1：選2厘米、2厘米、4厘米這三根小棒圍不成。

生2：選2厘米、2厘米、5厘米這三根小棒圍不成。

生3：選2厘米、3厘米、5厘米這三根小棒圍不成。

師：現(xiàn)在，你們有什么話要說(shuō)?

生：不能圍成三角形的結(jié)果有兩種，一種是兩根小棒的長(zhǎng)度之和與第三根小棒相等，另一種是兩根小棒的長(zhǎng)度之和比第三根小棒短。

師：那么，能圍成三角形的三根小棒之間又有什么關(guān)系呢?

生：能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長(zhǎng)度之和大于第三根小棒。

師：你為什么要加上一個(gè)任意?能舉例說(shuō)說(shuō)嗎?

生：比如第一組小棒：2厘米+2厘米>3厘米；2厘米+3厘米>2厘米。因此，我認(rèn)為能圍成三角形的三根小棒，任意兩根小棒的長(zhǎng)度之和都大于第三根小棒。

師：你們聽(tīng)明白了嗎?誰(shuí)還能像他這樣來(lái)說(shuō)說(shuō)能圍成三角形的三根小棒之間的關(guān)系?(生回答。)

師：誰(shuí)能用你所學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)解釋這一現(xiàn)象呢?

師：兩點(diǎn)之間直線距離最短。

上述教學(xué)中的學(xué)習(xí)材料是一組小棒，這組小棒的長(zhǎng)度分別是2厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米。這些小棒從表面上看好像沒(méi)有什么聯(lián)系，但通過(guò)操作活動(dòng)卻產(chǎn)生了整體效應(yīng)：兩根小棒長(zhǎng)度之和小于第三根小棒不能圍成三角形；兩根小棒長(zhǎng)度之和等于第三根小棒不能圍成三角形；兩根小棒長(zhǎng)度之和大于第三根小棒才能圍成三角形。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生概括三角形的三邊關(guān)系也就水到渠成了。可見(jiàn)，整體性學(xué)習(xí)材料必須要通過(guò)一定的整合與使用才能產(chǎn)生整體效能。

在異彩紛呈的學(xué)習(xí)材料中，我們應(yīng)努力認(rèn)清材料的本質(zhì)，思考和挖掘每一個(gè)學(xué)習(xí)材料的數(shù)學(xué)價(jià)值，盡量將各種材料進(jìn)行有機(jī)整合，發(fā)揮它們的最大價(jià)值，從而盡可能多地引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，使數(shù)學(xué)課堂充滿生命活力。

責(zé)任編輯：陳國(guó)慶