姚衛(wèi)坤 （合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院，安徽 合肥 230009）

0 引 言

從20世紀(jì)60年代起，許多學(xué)者開始關(guān)注變質(zhì)物品的研究，Hadley&Whitin[1]是最早考慮到庫(kù)存會(huì)發(fā)生腐蝕現(xiàn)象的學(xué)者。Dave和Patel[2-3]考慮需求隨時(shí)間線性遞增以及商品腐蝕的特性，進(jìn)而求得固定訂購(gòu)周期與不允許缺貸時(shí)的最佳訂購(gòu)批量。Wee[4]提出 “允許部分補(bǔ)貨”的觀念，他將缺貨期間的補(bǔ)貨率假設(shè)為0-1之間的固定常數(shù)，考慮變質(zhì)物品在生命周期處于衰退期的庫(kù)存模型。Chakrabarti和Chaudhuri[5]則提出在SFI定購(gòu)策略下，考慮需求隨時(shí)間呈指數(shù)遞減的變質(zhì)物品的庫(kù)存模型。

但是有關(guān)變質(zhì)物品的研究中考慮數(shù)量折扣的模型還不是很多見，Wee[6]在購(gòu)買價(jià)格不變的前提下，討論了需求隨價(jià)格和時(shí)間變化的條件下零售商在一定計(jì)劃期內(nèi)各周期的最優(yōu)庫(kù)存策略。Wee和yu[7]注意到數(shù)量折扣對(duì)零售商庫(kù)存策略的影響，討論了供應(yīng)商給予暫時(shí)折扣時(shí)零售商的庫(kù)存策略，但是假定需求在整個(gè)計(jì)劃期內(nèi)是不變的。Monahan[8]首次從供應(yīng)商的角度研究了數(shù)量折扣的問題。L[9]等考慮了一個(gè)供應(yīng)商和多個(gè)零售商的數(shù)量折扣問題，并給出了供應(yīng)商給予數(shù)量折扣的一個(gè)算法。

而對(duì)于臨時(shí)價(jià)格折扣的研究，大多是研究零售商在面對(duì)供應(yīng)商的優(yōu)惠政策時(shí)如何訂貨和定價(jià)，Tersine[10]首先研究了臨時(shí)價(jià)格折扣，并提出了OTOS（one time only sale），隨后他和Price[11]、Ardalan[12]討淪了沒有供應(yīng)商特別訂貨量限制的臨時(shí)價(jià)格折扣的存貯模型，然后Tersine[13]提出了一個(gè)基于臨時(shí)價(jià)格折扣的一般化EOQ模型。

然而上面關(guān)于臨時(shí)價(jià)格折扣的研究都是假設(shè)供應(yīng)商提供價(jià)格折扣，然后零售商決定最優(yōu)訂貨量或者最優(yōu)訂購(gòu)周期。而本文是從零售商的角度出發(fā)，考慮臨時(shí)價(jià)格折扣的制定問題，研究的是零售商做出的面向顧客的臨時(shí)價(jià)格折扣，這在現(xiàn)實(shí)中也是零售商經(jīng)常采用的一種促銷手段，尤其是在銷售變質(zhì)物品時(shí)。文章通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型及對(duì)其求解，決策出零售商應(yīng)該在什么時(shí)候給多大的折扣價(jià)格，使得他的利潤(rùn)會(huì)最大，即決策變量是折扣開始時(shí)間和臨時(shí)價(jià)格折扣系數(shù)，決策條件是利潤(rùn)最大。同時(shí)文章也考慮了零售商做出價(jià)格折扣決策后對(duì)需求的影響，所以本文所開展的研究有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

1 符號(hào)說明及假定

為了便于建立模型，本文給出以下假定： （1）只考慮一個(gè)銷售周期； （2）不允許缺貨，周期結(jié)束時(shí)，庫(kù)存為零； （3）物品變質(zhì)不是從入庫(kù)開始，而是有一個(gè)拖后時(shí)間td，且0

模型中的符號(hào)含義：T——銷售周期長(zhǎng)度I（t）——物品在t時(shí)刻的庫(kù)存水平h——單位時(shí)間單位物品的庫(kù)存費(fèi)用p0—— 零售商每單位物品的購(gòu)買價(jià)格p——零售商每單位物品的售價(jià)，p＞p0D（t）——物品在t時(shí)刻的需求率，且D（t）=（a-bt） p-k，a＞0，b＞0，k為常數(shù) β——臨時(shí)價(jià)格折扣系數(shù)，為決策變量，且0＜β＜1 t1——零售商采取臨時(shí)折扣開始時(shí)間，為決策變量，且0＜t1＜Tθ——物品的變質(zhì)率，為常數(shù)E——零售商單位時(shí)間內(nèi)的平均總利潤(rùn)HR——一個(gè)周期內(nèi)零售商的銷售收入HY——一個(gè)周期內(nèi)零售商的庫(kù)存成本HC——一個(gè)周期內(nèi)零售商的購(gòu)買成本A——零售商每訂購(gòu)一次物品的固定訂購(gòu)成本

2 模型的建立

由模型假設(shè)可以知道，物品在0≤t1≤t時(shí)間段，需求函數(shù)為：

從t1時(shí)刻開始由于實(shí)施價(jià)格折扣策略，且折扣系數(shù)為β，所以在t1≤t≤T時(shí)間段，需求函數(shù)為：

因?yàn)樽冑|(zhì)不是從入庫(kù)開始的，而是有一個(gè)拖后時(shí)間td，所以零售商庫(kù)存的減少在變質(zhì)之前是由于銷售影響，在變質(zhì)之后是由于銷售和變質(zhì)同時(shí)影響，同時(shí)在t1時(shí)刻零售商實(shí)施了價(jià)格折扣策略，由此零售商的庫(kù)存水平是分為三階段的，下面分A，B兩種情況討論：

A.當(dāng)0＜td＜t1時(shí)， 可以知道庫(kù)存水平分三種情況， 即在0≤t≤td為I1（t ）， 在 td≤t≤t1為 I2（t ）， 在 t1≤t≤T為I3（t）， 并且可知道庫(kù)存水平的變化率為：

所以，由 （9）、 （10）、 （11）可得零售商在單位時(shí)間內(nèi)的平均總利潤(rùn)=（銷售收入－庫(kù)存成本－購(gòu)買成本－固定訂貨成本，即：

3 模型求解

對(duì)于A種情況，所建立的模型是關(guān)于β和t1的二元函數(shù)，通過求偏導(dǎo)可以解出β和t1，進(jìn)而求出零售商的最大平均利潤(rùn)，即：

把 （21）式代入 （19）式中，可以得到一個(gè)關(guān)于t1的一元方程，進(jìn)而可以解出t1，再把t1代入 （21）式，就可以解出β，最后把β和t1代入 （12）式中就可以求出零售商的最大平均利潤(rùn)。

對(duì)于B種情況，可以用同樣的方法求出解。

然后對(duì)不同的物品開始變質(zhì)時(shí)間td，可以分別代入 （12）， （18）式求出最優(yōu)策略，在從它們兩個(gè)結(jié)果中選擇出零售商利潤(rùn)最大的一個(gè)策略，即為模型的最優(yōu)解。

在具體求解模型的過程中，可以通過常用的數(shù)學(xué)軟件matlab優(yōu)化工具箱求出最優(yōu)解。

4 算例分析

為了說明模型的實(shí)用性，下面給出應(yīng)用例子。

（1）假設(shè)a=100,b=10，T=5，p=4，p0=2，k=1，h=0.05，A=10，td＝0（即物品的變質(zhì)從入庫(kù)開始），當(dāng)物品變質(zhì)率不同時(shí)，通過matlab計(jì)算可以得到表1中的數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

表1 變質(zhì)率不同時(shí)對(duì)利潤(rùn)的影響分析

從表1中可以看出，若物品變質(zhì)從入庫(kù)開始，當(dāng)物品變質(zhì)率增大時(shí)，實(shí)施折扣的時(shí)間越要提前，折扣系數(shù)也越來越小。而當(dāng)物品變質(zhì)率接近時(shí)，零售商的平均利潤(rùn)也很接近，但是當(dāng)變質(zhì)率忽然變大時(shí)，零售商的平均利潤(rùn)也會(huì)減少很多，可見變質(zhì)率對(duì)折扣開始時(shí)間，臨時(shí)折扣系數(shù)和利潤(rùn)的影響是非常顯著的。在實(shí)際問題中，也往往是物品越容易變質(zhì)，零售商越擔(dān)心變質(zhì)影響銷售，也越會(huì)提早采取折扣，這和計(jì)算結(jié)果相符合。從表中也可以看出，當(dāng)物品變質(zhì)率變化時(shí)，零售商的訂貨量基本不變，從而可以說明零售商在適當(dāng)?shù)臅r(shí)間給合適的折扣價(jià)格是很又必要的。當(dāng)θ=0.0005時(shí)，E=33.3733，當(dāng)θ=0.1時(shí)，E=23.2398，平均利潤(rùn)減少了33.36%。

（2）假設(shè)a=100，θ=0.05，T=5，p=4，p0=2，k=1，h=0.05，A=10，當(dāng)物品的變質(zhì)開始時(shí)間不同時(shí) （即td不同時(shí)），可以得到表2是數(shù)值計(jì)算結(jié)果。

表2 變質(zhì)開始時(shí)間不同對(duì)利潤(rùn)的影響分析

從表2中可以看到，當(dāng)物品變質(zhì)開始時(shí)間越來越晚時(shí)，即物品越不容易變質(zhì)，臨時(shí)折扣開始的時(shí)間也就越來越晚，這和實(shí)際很相符合。而對(duì)于不同的變質(zhì)開始時(shí)間，代入模型中通過分析比較可以決策出最優(yōu)的促銷策略，所以零售商在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候打折扣對(duì)其利潤(rùn)是有一定影響的，這從表中可以很明顯的看出。

5 結(jié)束語

本文分析了需求隨時(shí)間和價(jià)格變化條件下，零售商在銷售易變質(zhì)物品時(shí)面向顧客做出的臨時(shí)價(jià)格折扣，決策變量是臨時(shí)折扣系數(shù)和折扣開始時(shí)間，決策條件是零售商的利潤(rùn)最大化，通過本模型零售商可以決策出折扣開始時(shí)間和臨時(shí)折扣價(jià)格。其實(shí)還可以結(jié)合變質(zhì)物品的質(zhì)量狀況，考慮多個(gè)折扣開始時(shí)間和折扣系數(shù)，使得零售商的平均利潤(rùn)最大。其中，發(fā)生價(jià)格折扣的時(shí)間及多大的折扣價(jià)格對(duì)需求變化都有一定的影響。本文研究中的一些不足： （1）我們只是從零售商的角度考慮，如果能從整個(gè)供應(yīng)鏈的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)出一個(gè)臨時(shí)折扣價(jià)格和折扣開始時(shí)間的模型，使得整個(gè)供應(yīng)鏈的利潤(rùn)最大，同時(shí)零售商的利潤(rùn)也達(dá)到最大。 （2）本文考慮的是一個(gè)銷售周期，實(shí)際上還可以考慮有限計(jì)劃期內(nèi)多個(gè)銷售周期的情況，在此情況下零售商的最大利潤(rùn)模型應(yīng)該如何確定？這些問題均有待進(jìn)一步研究。

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