王開圣,趙志敏,劉小廷

(南京航空航天大學理學院,江蘇南京211100)

1 引 言

測量空氣中聲速有多種方法,其中之一為駐波共振法,其實驗電路見圖1,大學物理實驗指導書對駐波共振法測聲速原理一般作如下描述,S1和S2分別為超聲波發(fā)射與接收壓電探頭,S1發(fā)出的聲波以平面波的形式傳播,在S2表面發(fā)生反射,兩探頭間的入射波和反射波相互干涉,當S1與S2的間距滿足半波長的整數(shù)倍時,出現(xiàn)駐波共振現(xiàn)象,形成振幅最大的駐波,此時S2表面為駐波波節(jié),聲壓最大,壓電探頭輸出的電信號最大.實驗時移動S2,系統(tǒng)經(jīng)歷一系列的駐波共振狀態(tài),信號幅度周期性地變化,任意2個相鄰的信號極大值所對應(yīng)的S2移動距離為半波長,此距離由游標卡尺測得.實際上,由于傳播過程中聲波的衰減以及界面的反射損失,入射波和反射波的振幅不相等且不斷變化,這樣的波相干疊加,顯然不符合形成駐波的條件,合成波不是理想的駐波,文獻[1]等對此已有闡述,實驗中觀測到的信號衰減現(xiàn)象以及信號極小值不為零等問題,駐波共振原理都無法做出解釋.文獻[2-4]在考慮聲波吸收衰減的條件下,用平面波理論描述聲波,得到了信號幅值仍以半波長為周期隨探頭間距變化,與駐波共振原理的結(jié)果一致.但考慮了聲波吸收的平面波理論仍不能解釋清楚實驗所觀測到的信號衰減規(guī)律.由聲學理論可知,實驗用的圓形壓電探頭產(chǎn)生的聲波并不是平面波,而是活塞波,其在遠場區(qū)以球面波的形式傳播,在傳播過程中除了吸收衰減,還存在波陣面擴散造成的衰減.為合理解釋信號衰減規(guī)律,本文設(shè)聲波以球面波形式傳播,同時也考慮到空氣對聲波的吸收衰減,研究接收聲壓的變化規(guī)律,并用數(shù)值分析法把用平面波與球面波方法所得到的聲壓衰減規(guī)律進行比較.

圖1 聲速測量實驗電路

2 接收探頭表面聲壓的推導

聲速測量實驗時,示波器上信號幅值的大小取決于接收壓電探頭處的聲壓,兩者成正比,因此,以下分析接收聲壓隨探頭間距的變化規(guī)律.

如圖1所示,由探頭S1發(fā)出的超聲波向右傳播,到達接收探頭S2表面發(fā)生反射,成為逆向波,逆向波向左傳播到S1表面再次發(fā)生反射,成為正向波,如此往復,S1與S2之間有無窮多個正向波和逆向波,S1與S2間的聲場是這些波干涉疊加的總效果.設(shè)S1與S2之間的距離為L,用與分別代表各次正向波和逆向波在S2表面產(chǎn)生的聲壓,求解聲壓過程如下.

2.1 聲波以球面波形式傳播時的接收聲壓

設(shè)發(fā)射探頭S1表面的聲壓為

P0為探頭表面發(fā)射聲壓振幅,ω為振動圓頻率.

以S1的中心為x軸坐標原點,根據(jù)聲學理論,聲波在遠場區(qū)以球面波形式傳播,其S1與S2在連線上以聲壓表示的波動表達式為[5]

其中S為探頭發(fā)射面的面積,k=2π/λ為角波數(shù),λ為波長.

設(shè)空氣對聲波的吸收系數(shù)為α,式(2)修正為

令x=L,得一次正向波在接收探頭S2表面的聲壓為

為簡化推導過程,令

將式(1)和(4)代入式(3),簡化為

一次正向波在S2處發(fā)生反射,形成逆向波,反射面兩側(cè)介質(zhì)為空氣和鋁,其聲壓反射率可按式(6)計算[6]

其中,空氣的特征阻抗Z1=4×102kg·m-2·s,鋁的特征阻抗Z2=17.1×106kg·m-2·s.

計算得γ=0.999 95,反射率為正數(shù)表明反射時聲壓的相位不變,只是振幅有微小的損失,則一次逆向波在S2處的聲壓為

按照與求解一次正向波同樣的方法,可求出一次逆向波到達S1處產(chǎn)生的聲壓為γm2p0.

一次逆向波經(jīng)S1反射,形成二次正向波,其在S1處的聲壓為γ2m2p0,到達S2處的聲壓為

二次正向波在S2處反射,形成二次逆向波,在S2處的聲壓為

依次類推,其余各正向波和逆向波在S2處的聲壓分別為

這無窮多個波疊加后,S2處的總聲壓為

將式(5),(7)～(11)…代入式(13)可得

將式(1)和(4)代入式(14)得接收探頭處總聲壓為

從式(15)求出聲壓p的模

當cos(2kL)=1,即L=nλ/2(n為整數(shù))時,式(16)分母有極小值,則聲壓幅值達到極大值:

表明當探頭間距為半波長的整數(shù)倍時,接收聲壓達到極大,極大值呈現(xiàn)以半波長為周期的變化規(guī)律.當cos(2kL)=-1,即L=nλ/2+λ/4時,式(16)分母有極大值,則聲壓幅值達到極小值

聲壓極小值以半波長為周期變化.

2.2 聲波以平面波形式傳播時的接收聲壓

用與2.1中同樣的推導方法,可求出聲波以平面波形式傳播時的接收聲壓、聲壓極大值和極小值.類似推導過程文獻[2-4]中也給出,不再贅述.結(jié)果如下:

聲壓極大值和極小值以半波長為周期變化.

3 聲壓幅值衰減規(guī)律的討論

從式(17),(18),(20),(21)的解析結(jié)果可看出,考慮空氣吸收的球面波理論和空氣吸收的平面波理論都給出了聲壓按半波長的周期性變化規(guī)律,與駐波共振理論相一致,在這一點上三者有共性,但在描述聲壓衰減規(guī)律時出現(xiàn)了差異.

駐波共振理論認為聲波無衰減,聲壓極大值不隨距離變化,極小值為零,顯然與實驗結(jié)果相悖.而從平面波理論的式(17)和(18)及球面波理論的式(20)和(21)可看出,聲壓極大值都隨距離增加而衰減,極小值都不為0,似乎都與實驗現(xiàn)象一致.但通過Matlab軟件,用數(shù)值方法模擬接收聲壓隨距離的變化情況,即將式(16)～(21)圖示化,進行比較后發(fā)現(xiàn)2種理論處理方法存在差異.

根據(jù)實驗儀器的技術(shù)參數(shù)確定模擬量,聲波頻率f=35 kHz,探頭直徑38 mm,聲壓反射率γ=0.999 95,常溫下空氣吸收系數(shù)α[7]為2.94～3.99×10-11f2,模擬時取3.5×10-11f2.模擬結(jié)果如圖2和圖3所示.

圖2顯示了平面波條件下聲壓衰減情況,聲壓極大值隨探頭間距增大而出現(xiàn)一定程度的減小,與實驗觀察到的現(xiàn)象較一致,但極小值非常小,極大值與極小值相差數(shù)百倍,這與觀測到的實驗現(xiàn)象明顯不相符.

圖2 平面波條件下聲壓衰減規(guī)律

圖3顯示了球面波條件下聲壓衰減情況,聲壓極大值隨探頭間距增大而減小,衰減速度比平面波要快,這更接近測量結(jié)果;極大值與極小值的差值不像平面波那么大,這與測量結(jié)果相近.

圖3 球面波條件下聲壓衰減規(guī)律

從上面分析可看出球面波表示的聲場比平面波更接近實際情況,因為平面波方法僅考慮了聲波的吸收衰減,而低頻超聲波在空氣中吸收系數(shù)較小,這使得聲波衰減速度慢,這樣入射波與反射波的振幅相差不大,干涉疊加后,聲壓極小值雖然不為零,但會小于極大值.而球面波理論處理時,不僅考慮了聲波的吸收衰減,而且考慮了波陣面擴散所引起的擴散衰減,所以聲波的衰減速度比平面波要快,入射波與反射波的振幅相差較大,這樣干涉疊加后,聲壓極大值與極小值的差值不會像平面波那樣大.

4 結(jié) 論

通過用平面波方法以及球面波方法分析發(fā)射和接收探頭之間的聲場,得到以下結(jié)果:

1)盡管由于空氣對聲波的吸收衰減,波陣面的擴散衰減及界面反射損失,探頭間聲場不是理想駐波,但任意2個相鄰信號極大值或極小值所對應(yīng)的探頭移動距離仍為半波長,與理想的駐波共振理論相一致,利用這種周期性可測量波長.

2)用球面波處理方法得到的聲場比較準確,能更全面地解釋聲速測量實驗中觀測得到的現(xiàn)象,有助于理解實驗中的聲波衰減問題.

[1] 陳潔,蘇建新.聲速測量實驗有關(guān)問題的研究[J].物理實驗,2008,28(6):31-33.

[2] 鄭慶華.聲速測量實驗的探討[J].大學物理,2007,26(9):31-33.

[3] 胡險峰.駐波法測量聲速實驗的討論[J].物理實驗,2007,27(1):3-6.

[4] 趙新聞.聲速測定中“駐波共振”條件的討論[J].物理與工程,2002,12(3):11-18.

[5] 羅斯J L.固體中的超聲波[M].北京:科學出版社,2004:277.

[6] 杜功煥,朱哲民,龔秀芬.聲學基礎(chǔ)[M].南京:南京大學出版社,2001:203.

[7] 許肖梅.聲學基礎(chǔ)[M].北京:科學出版社,2003:246.