劉向遠,梅忠義,張穗萌

(1.皖西學(xué)院數(shù)理系,安徽六安237012;

2.合肥工業(yè)大學(xué)電子科學(xué)與應(yīng)用物理學(xué)院,安徽合肥230009)

1 復(fù)擺模型

圖1所示的模型是一種鐘擺式復(fù)擺,當(dāng)支點確定后,整個系統(tǒng)的質(zhì)心可以隨圖中擺錘M的移動而變化.O點是整個裝置的支點,O點以上部分為菱形支架,O點以下為帶有刻度的直桿,其長度為L,桿上套有可移動的圓柱形擺錘M并以桿為對稱軸,其質(zhì)量為m,半徑為R.通過調(diào)節(jié)擺錘M,當(dāng)擺錘質(zhì)心在B點距支點O為x0時,系統(tǒng)質(zhì)心正好位于O點,此時,系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為I0.

圖1 可變質(zhì)心復(fù)擺模型

設(shè)擺錘質(zhì)心在直桿上離開支點O的距離為x,當(dāng)擺角小于5°時,復(fù)擺的周期公式為

能夠證明T隨x在(x0,∞)區(qū)間內(nèi)變化存在極小值[1-2].對于不同質(zhì)量m的擺錘,T隨x變化的曲線如圖2所示.在實驗室條件下,如果未知此復(fù)擺的有關(guān)參數(shù),要求快速、準(zhǔn)確地尋找到它的極值點位置,可以采用一維精確搜索法來優(yōu)選極值點.

圖2 復(fù)擺周期T隨x變化的曲線

2 用“0.618”法、Fibonacci法、拋物線法搜尋復(fù)擺周期極值點的實驗方法

2.1 “0.618”法與Fibonacci法的基本思想

“0.618”法和Fibonacci法屬于一維精確搜索法中的分割法,這2種方法的基本思想是[3]:在已知的初始區(qū)間[a0,b0]內(nèi),選定兩個新的內(nèi)點ak,bk,然后測出ak和bk對應(yīng)的周期Tk和Tk′,并比較Tk與Tk′的大小,采取舍大取小的原則,舍去Tk與Tk′中對應(yīng)的較大的內(nèi)點以外的點,保留較小的內(nèi)點,由此建立新的搜索區(qū)間,在新的搜索區(qū)間內(nèi)再選取新的內(nèi)點,重復(fù)以上的比較過程.按照這樣的步驟重復(fù)循環(huán),逐步縮小搜索區(qū)間,直到達到所要求的區(qū)間范圍,并且取最后區(qū)間端點的平均值作為極小周期點的位置.

2.2 “0.618”法與Fibonacci法的不同點

“0.618”法與Fibonacci法在確定新的內(nèi)點時有區(qū)別:“0.618”法確定新內(nèi)點所取區(qū)分系數(shù)r=0.618,為恒定值.因此

這樣,兩種方法在縮小搜索區(qū)間上有所不同,“0.618”法每次縮短搜索區(qū)間的長度為38.4%,而Fibonacci法縮短搜索區(qū)間的長度由1-rk來確定,是變化的.

另外,Fibonacci法中的區(qū)分系數(shù)還必須根據(jù)要求縮小的區(qū)間長度來確定Fn.假設(shè)要求將極值點xmin縮短到長度為l的區(qū)間內(nèi),則

此時,取Fn在Fibonacci數(shù)列中滿足條件的最小整數(shù),并由此確定n值[4].當(dāng)區(qū)分系數(shù)為時,應(yīng)該加上或減去很小的數(shù)值,本實驗減去0.02.

2.3 搜尋復(fù)擺極值點的拋物線法

拋物線法又叫三點二次插值法,它是通過已知區(qū)間內(nèi)的三點構(gòu)造二次函數(shù)來逼近已知函數(shù)極小值的方法.如果要求將復(fù)擺的極小周期Tmin的位置xmin通過實驗的方法縮小到l范圍內(nèi),設(shè)L=b0-a0,則取復(fù)擺公式的初始區(qū)間[a0,b0]內(nèi)三點x1

3 搜尋復(fù)擺周期極值點

下面采用計算機采集實驗數(shù)據(jù)[8],并結(jié)合復(fù)擺的T-x曲線來研究“0.618”法、Fibonacci法、拋物線法搜索復(fù)擺極值點的情況.

取復(fù)擺的初始區(qū)間[0,1],則區(qū)間長度L=1.000 0 m,要求將搜索區(qū)間縮小到可以接受的的范圍l≤0.020 m,則采用Fibonacci法時,得Fn>50,由Fibonacci數(shù)列知n=10,F10=55.表1為用“0.618”法測得的10組實驗數(shù)據(jù),表2為Fibonacci法測得的9組實驗數(shù)據(jù),表3為拋物線法測得的4組實驗數(shù)據(jù).

圖3是根據(jù)表1,“0.618”法測得數(shù)據(jù)的9個區(qū)間端點在T-x曲線上的位置以及趨近于極值點的情況.圖中從左到右第6個點為極值點.此時復(fù)擺的極值點位置xmin=0.457 4 m,極小周期T=2.005 57 s.

圖4是根據(jù)表2,Fibonacci法測得數(shù)據(jù)的8個區(qū)間端點在T-x曲線上的位置以及趨近于極值點的情況.從圖中看,從左到右第5個點為極值點,其中第5和第6個點因?qū)嶒炛迪嘟?重疊在一起.此時復(fù)擺的極值點位置xmin=0.455 4 m,極小周期Tmin=2.005 54 s.

圖5是根據(jù)表3實驗數(shù)據(jù),其中7個數(shù)據(jù)點在T-x曲線上趨近于復(fù)擺極值點的情況,從左至右,第5個點即為實驗測得的極值點,與第4個點靠得很近.此時,取Tmin=2.005 53 s,xmin==0.454 5 m.

表1 “0.618”法搜尋復(fù)擺極值點的實驗數(shù)據(jù)

表2 Fibonacci法搜尋復(fù)擺極值點的實驗數(shù)據(jù)

表3 拋物線法搜尋復(fù)擺極值點的實驗數(shù)據(jù)

圖3 “0.618”法搜索復(fù)擺極值點的情況

圖4 Fibonacci法搜索復(fù)擺極值點的情況

由以上結(jié)果可以看出:

1)以上實驗中,按實驗要求,“0.618”法用了15次測量(不包括重復(fù)數(shù)據(jù)點),Fibonacci法用了17次測量.由于在“0.618”法的內(nèi)點中出現(xiàn)了較多的重復(fù)數(shù)據(jù),使得“0.618”法比Fibonacci法的測量次數(shù)較少.由此可見,盡管從理論上講Fi-犫狅狀犪犮犮犻法比“0.618”法收斂速度快,但是由于受到實驗條件的影響,實際情況并非如此.

圖5 拋物線法搜尋復(fù)擺極值點的情況

2)Fibonacci法搜索復(fù)擺極值點比“0.618”法精度高.以上實驗中,這2種方法都通過第8組數(shù)據(jù)比較后,即8次搜索后,Fibonacci法將搜索區(qū)間長度縮小到0.018 9 m,而“0.618”法將搜索區(qū)間長度縮小到0.021 3 m.因此,采用實驗的方法搜尋復(fù)擺的極值點,從搜索精度來看,Fibonacci法比“0.618”法較高,但從搜尋速度上看Fibonacci法并非占優(yōu)勢.

3)拋物線法搜尋復(fù)擺極值點比“0.618”法和Fibonacci法速度較快且精度較高.從以上實驗數(shù)據(jù)可以看出,拋物線法經(jīng)過7次測量和4組數(shù)據(jù)的比較就可以將最小周期點位置縮小到l=0.015 5 m范圍內(nèi).

4 結(jié)束語

“0.618”法、Fibonacci法和拋物線法都屬于最優(yōu)化方法中的一維精確搜索法,在實驗中將這些方法應(yīng)用于物理學(xué)中復(fù)擺的極值點搜尋,拋物線法較“0.618”法和Fibonacci法效果好,測量次數(shù)少,而且精度較高;使用Fibonacci法較“0.618”法在搜尋精度上有較好的提高,但是在搜尋速度上并不占優(yōu)勢.不僅如此,還可以用這些方法搜尋物理學(xué)中其他單值單峰的極值點問題,在具體應(yīng)用這些方法時適當(dāng)?shù)貞?yīng)用它們的優(yōu)點,有利于得到需要的實驗結(jié)果.

[1] 肖蘇,任紅.實驗物理教程[M].合肥:中國科技大學(xué)出版社,2000:149-153.

[2] 毛瑞全,劉翠紅,鄭卿.復(fù)擺方程的一種求解方法[J].物理實驗,2008,28(3):45-46.

[3] 佘守憲,胡頡.黃金數(shù)與Fibonacci數(shù)列[J].物理與工程,2006,16(2):6-8.

[4] Fink D,John H.Mathews and Kurtis.數(shù)值方法[M].周璐,陳渝,錢方,譯.北京:電子工業(yè)出版社,2005:319-321.

[5] 袁亞湘,孫文瑜.最優(yōu)化原理與方法[M].北京:科學(xué)出版社,2001:84-89.

[6] 薛毅.最優(yōu)化原理與方法[M].北京:北京工業(yè)大學(xué)出版社,2004:153-155.

[7] 解可新,韓立興,林友聯(lián).最優(yōu)化方法[M].天津:天津大學(xué)出版社,2002:22-24.

[8] 梅忠義,倪菱湖,劉向遠.黃金分割法在物理實驗中的應(yīng)用[J].大學(xué)物理實驗,2006,19(2):51-52.