張業(yè)兵，張延惠

(1.淄博師范?？茖W校 物理系，山東 淄博 255130；2.山東師范大學 物理與電子學院系)

激光理論和技術的發(fā)展極大地改變了原子、分子物理學的面貌，人們研究介觀物理領域的焦點由側重體系能級結構轉向其相關動力學性質的研究，自從Gutzwiller提出態(tài)密度的周期軌道理論以來[1]，用半經(jīng)典的方法來研究粒子的經(jīng)典運動已成為處理某些量子問題必不可少的工具.近年來，納米器件、微腔結構及其輸運問題[2]已經(jīng)成為人們研究的前沿課題.而量子臺球可以作為研究它們的理想模型，在可積或量子混沌系統(tǒng)中，對理論和實驗都具有很好的指導作用.人們應用周期軌道理論已經(jīng)研究了許多體系中一個粒子量子化的本征值譜和經(jīng)典軌道之間的對應關系[3-5].本文應用半經(jīng)典周期軌道理論的思想，通過定義量子譜函數(shù)，研究了量子臺球在二維圓環(huán)無限深勢阱體系中的經(jīng)典軌道與量子譜的關系，并把這些軌道和體系的傅立葉變換量子譜的峰值位置一一對照.

1 量子譜函數(shù)

一個質量為μ的粒子(為了避免與大家熟悉的量子數(shù)相混淆，此處用μ來表示粒子的質量)，假設體系的Hamiltonian是：

(1)

在無限深圓環(huán)體系勢阱中(如圖1)，設外半徑為Rout=R，內半徑為Rin=R(0<<1)，

其對應的勢能可表示成：

(2)

對應的定態(tài)Schr?dinger方程是：

圖1 同心圓環(huán)

(3)

其中本征能量和本征函數(shù)分別為En和ψn，n為標記量子態(tài)量子數(shù).由于滿足邊界條件，在邊界處：

(4)

在周期軌道理論中，最主要的物理量是量子能態(tài)密度：

(5)

式(5)中的求和包括所有的定態(tài)的能量本征值.周期軌道理論的一個主要結論是，量子能態(tài)密度可以寫成半經(jīng)典形式：

(6)

式中的第一項ρ0(E)是一個平滑的背景項，隨能量E的變化，ρ0(E)變化非常緩慢，因此這一項對態(tài)密度的貢獻為常數(shù).第二項是最關心的振蕩項，Sr(E)為軌道的經(jīng)典作用量，對應著所有的基本軌道(γ=1，…，∞)，ρ表示基本軌道的多次回歸(p=1，…，∞).φr是在路徑積分過程中引入的相位修正.

假設勢阱的面積為A，勢阱的周長為L，在邊界上體系的波函數(shù)ψ=0，這樣平滑的背景項ρ0(E)就可以表述為：

(7)

利用公式(5)，在動量空間中，忽略一些不重要的因素，可以得到相等的態(tài)密度：

(8)

與公式(6)相應的表示，在動量空間中就可以寫成：

(9)

上式兩邊同時乘以eikL，并對整個動量空間積分，可以得到離散的能量項：

(10)

對于半經(jīng)典的振蕩項，經(jīng)過傅立葉變換之后，得到：

(11)

從上式可以看到在δ函數(shù)的峰值出現(xiàn)的地方，對應著經(jīng)典軌道L=ρLr的長度.

在(10)式中，因為計算量的限制，不可能取無窮多的數(shù)值，只能取有限量的數(shù)值來計算.因此(11)寫成：

(12)

2 二維圓環(huán)彈子球體系的量子表達

一個質量為μ的彈子球在兩維圓環(huán)體系中運動，在極坐標系下定態(tài)Schr?dinger方程為:

(13)

假設分離變量解的形式是ψ(r，θ)=R(r)Θ(θ)，由此得到角向方程和徑向方程分別為：

(14)

(15)

歸一化的角向方程解的形式是：

(16)

角動量本征的值為：L=m?

(17)

其中m=0，±1，±2，±3，…是角動量量子數(shù)，“+”和“-分別表示彈子球沿逆時針和順時針運動.

令z=kr，徑向方程變?yōu)椋?/p>

(18)

此方程為m階柱貝塞耳方程，通解是第一類貝塞耳函數(shù)和第二類貝塞耳函數(shù)的線性組合：

R(z)=αJm(z)+βNm(z)=αJm(kr)+βNm(kr)

(19)

其中Jm(z)稱為m階第一類貝塞耳函數(shù)(又叫柱貝塞耳函數(shù))，Nm(z)稱為m階第二類貝塞耳函數(shù)(又稱諾依曼函數(shù))，αβ為線性系數(shù).

由Dirichlet邊界條件，

可以得到：

R(km，nrfR)=αJm(km，nrfR)+βNm(km，nrfR))=0

R(km，nrR)=αJm(km，nrR)+βNm(km，nrR))=0

(20)

消去系數(shù)α、β得徑向本征方程：

Jm(km，nrfR)Nm(km，nrR)-Jm(km，nrR)Nm(km，nrfR)=0

(21)

從而可得本征能量為：

(22)

其中，a(m，nr)=km，nr/R是方程(21)m階的第nr個零點.

由此得到徑向波函數(shù):

(23)

此處歸一化系數(shù)Am，nr滿足:

(24)

由此就可以得到圓環(huán)體系勢阱中彈子球的能量本征波函數(shù)：

(25)

3 二維圓環(huán)彈子球體系運動的經(jīng)典表達

一個質量為μ的彈子球，在二維無限深圓環(huán)體系勢阱中運動，γmin表示運動的路徑與圓心的最短距離，彈子球與內圓和外圓發(fā)生碰撞時遵循反射定律，則經(jīng)典的周期軌道的長度可以用n，p，q三個整數(shù)表示，其中n=1，2，3…為回歸的次數(shù)，p=1，2，3…為粒子與外圓碰撞的次數(shù)，q=1，2，3…為粒子第一次回到初始點粒子轉的圈數(shù)，要求p≥2q.粒子運動的經(jīng)典的周期軌道的長度，可以分下列兩種情況討論：

(1)第一種情況，粒子沒跟內圓發(fā)生碰撞：

γmin表示路徑到圓心的最短距離，這種情況與勢阱為圓的情況相同，(圖2為p=5，q=1的情況)，此時的要求為：

[5，1]

(26)

此時軌道的長度為：

(27)

如果q不變，p無限增大，當p→∞時，運動接近圓周運動，當q=1時，其軌道的總長度就是圓的周長，q≠1，其軌道的總長度就是圓的周長整數(shù)倍即2πR，4πR，6πR……：

L1(n;p→∞，q)=n2πR

(28)

(2)第二種情況，粒子跟內圓發(fā)生碰撞，又分為兩種情況.

(29)

圖3為p=5，q=-1，負號表示粒子與內圓發(fā)生了碰撞，p，q與圖2值相同，但是與內圓發(fā)生碰撞的.

幾種特殊情況：第一，粒子運動路徑與內圓相切，f=cos(πq/p)，則此種情況的軌道長度也為(27)即：

L2(n;p，q，f=cos(πq/p))=L1(n;p，q)

(30)

第二，粒子由外圓上的某點出發(fā)，經(jīng)內圓反射后直接按原路徑返回到出發(fā)點(對應著[p，q]=[2，1])以及這種方式的多次回歸情況(back-and-forth)，此時角動量的粒子數(shù)為零，即m=0，這種

[5，-1]

情況軌道的長度為：

L3(n；f)=n[2(1-f)R]=L2(n;2，1，f)

(31)

(32)

如果q不變，p→∞時，對應著彈子球回到初始點在內外圓之間經(jīng)過了無限次碰撞，其軌道的總長度為：

(33)

4 量子譜與經(jīng)典軌道的對應

通過上面的討論，寫出了粒子在二維圓環(huán)體系幾種典型情況經(jīng)典運動的軌道長度，求出了粒子在二維圓環(huán)勢阱體系量子波函數(shù)和能量本征值，又利用周期軌道理論和傅利葉變換寫出了量子譜函數(shù)的表達式，下面通過計算來尋找經(jīng)典與量子的對應.

經(jīng)典具體軌道如圖5所示，方括號內兩個值中第一個為彈子球與外圓碰撞的次數(shù)，后面一個值為粒子從初始點出發(fā)第一次回到初始點所轉的圈數(shù)，有負號表示與內圓發(fā)生了碰撞：

圖4 f=0.2時圓環(huán)體系量子譜與經(jīng)典軌道的對應

圖5 f=0.2圓環(huán)體系，彈子球運動的部分經(jīng)典軌道

編號量子峰的位置經(jīng)典軌道的形態(tài)經(jīng)典軌道的長度11.61[2,1]1.6023.192[2,1]3.2034.823[2,1]4.8045.21[3,1]5.2055.51[3,-1]5.5065.69[4,1]5.6675.85[5,1]5.8886.31[∞,1]6.2896.394[2,1]6.40106.95[4,-1]6.97117.975[2,1]8.00128.45[5,-1]8.48139.50[5,2]9.51149.586[2,1]9.60

表1是圓環(huán)中彈子球體系的量子譜傅立葉變換峰的位置與經(jīng)典軌道的對照，從圖4，圖5和表1可以看出，把經(jīng)典軌道與傅立葉變換量子譜進行對照，在誤差允許的范圍內，經(jīng)典軌道與傅立葉變換量子譜有很好的對應，每條峰都對應著一條和幾條經(jīng)典的軌道.各種量子峰的高度是不同的，量子峰的高低反映其對應經(jīng)典軌道的條數(shù)的多少.

5 結論

本文利用分離變量法求出了二維無限深勢阱圓環(huán)彈子球體系的本征值和本征函數(shù)，給出精確的數(shù)值解.應用幾何的方法根據(jù)不同情況，分別給出了經(jīng)典軌道的信息(形狀、軌道長度)，并把這些軌道和體系的傅立葉變換的量子譜的峰值一一對照.又計算出了當Rin=0.2時，不同情況的經(jīng)典軌道的長度，通過比較它們的傅立葉變換譜和經(jīng)典軌道，結果發(fā)現(xiàn)量子譜的峰位置與經(jīng)典軌道的長度在誤差允許的范圍內符合的很好，為了便于理解，分別畫出了量子譜的圖像、經(jīng)典運動的軌道圖像，列出了二者的對應表，這些特點可以通過這些表和圖清晰、直觀的顯現(xiàn)出來.從而證明了周期軌道理論的正確性，進一步說明半經(jīng)典理論為經(jīng)典和量子力學提供了很好的橋梁作用.這種理論可以用來解釋光譜學中強電磁場中的原子結構，微腔輸運中的相關技術，半導體微結設計的連接，尤其在是兩維或是三維彈子球系統(tǒng)中[6-8]，由于半導體器件中電子的輸運性質依賴于腔體的形狀，因此對圓環(huán)彈子球體系的動力學性質的研究，在未來還有較高的應用價值.

參考文獻：

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