王西靜

(晉城職業(yè)技術學院，山西 晉城 048026)

(1)

的光滑解,如果下面的條件滿足:

(i)函數f,g滿足性質:f″≤0,f≤0,g>0,gt≥0,f′h≤h′f,

(ii)函數σ,h滿足性質:σ(x,t)≥0,σt(x,t)≥0,h(u)≥0,h′≥0,

那么，問題(1)一定存在整體解,且:u(x,t)≤G-1(βt+G(u0(x)).

證明構造一個輔助函數φ，通過φ的微分不等式，利用極值原理來導出有關結論.下面分兩部分來完成定理的證明.

1)推導輔助函數的微分不等式.

令:φ(x,t)=-ut+βf(u)

由已知條件知，上式右邊非正.即:Lφ+gf′φ-φt≤0.

由拋物型方程的極值原理知，φ滿足極大值原理，即φ在t=0或?D上取得極小值.當t=0時，

即:φ(x,0)≥0.

把ut=-φ+βf(u)代入上式得：

由φ(x0,t0)<0及已知條件得:

因此可以得到:

φ≥0D×[0,T)內

2)來證明定理1的結論.

由式(1)上面的的證明知:ut≤βf(u)D×[0,T)內,即:

對于一個x∈D，上式兩邊從0到t積分，得:

由ut≤βf(u)得:[G(u)]t≤，

所以:G(u(x,t))≤βt+G(u0(x)).

對上式兩邊施加G逆運算G-1,得;G-1G(u(x,t))≤G-1(βt+G(u0(x))，

所以:u(x,t)≤G-1(βt)+G(u0(x))，

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