肖高祥，向大晶

(湖北民族學院 理學院，湖北 恩施 445000)

美國控制論專家L. A. Zadeh于1965年提出模糊集概念[1],模糊集理論是處理不確定信息的一種數(shù)學方法. 在1999年Molodtov又提出了軟集的概念[2],軟集是一種全新的處理不確定性、不精確性的數(shù)學工具. 模糊集理論和軟集理論提出之后,許多學者對它們進行了進一步的研究并取得了很大成就[3,4].2001年, P.K.Maji提出了模糊軟集的概念[5]，最近，Y．B．Jun將模糊軟集運用到BCK/BCI代數(shù)，并研究其基本性質(zhì)[6].A. Aygunoglu也提出了模糊soft群的概念[7].基本模糊軟集理論的廣泛應(yīng)用.本文在此基礎(chǔ)上，定義了模糊軟環(huán)的概念并討論它們的基本性質(zhì).

1 預(yù)備知識

在文獻[3]中給出soft集和soft子集的定義，以及soft集的交運算與并運算，在文獻[5]中給出模糊soft集和模糊soft子集的定義，以及模糊soft集的交運算與并運算.

定義1[3]稱一個序?qū)?F,A)為集合U上的軟集，如果F為A到U的冪集P(U)的一個映射，即F∶A→P(U)．

定義2[3]對于集合U上的兩個軟集(F,A)和(H,B)，如果滿足下面兩個條件：

(i)A?B，

(ii)x∈A,F(x)?H(x)．

定義3[2]稱兩個軟集(F,A)和(H,B)是相等的，如果(F,A)是(H,B)的軟子集，(H,B)也是(F,A)的軟子集．

定義4[2]稱軟集(W,C)是軟集(F,A)和(H,B)的交集，如果滿足下面兩個條件：

(i)C=A∩B，

(ii)?x∈C,W(x)=F(x)或W(x)=H(x)，

定義5[3]稱(V,A×B)是兩個軟集(F,A)和(H,B)的和，如果

V(α,β)=F(α)∩H(β),?(α,β)∈A×B,

定義6[3]稱軟集(W,C)是軟集(F,A)和(H,B)的并集，如果滿足下面兩個條件：

(1)C=A∪B，

定義7[5]設(shè)IX為所有在X上模糊集的集合，A?E， 稱一個序?qū)?f,A)為集合X上的模糊軟集，如果f是A到IX的映射，且?a∈A,f(a)=fa∶X→I是X上的一個模糊集.

定義8[5]對于集合X上的兩個模糊軟集(f,A)和(g,B)，如果滿足下面兩個條件：

(i)A?B，

(ii)a∈A,fa≤ga，這里fa是ga的模糊子集．

定義9[5]稱兩個模糊軟集(f,A)和(g,B)是相等的，如果(f,A)是(g,B)的模糊軟子集，(g,B)也是(f,A)的模糊軟子集．

定義10[5]稱模糊軟集(h,C)是模糊軟集(f,A)和(g,B)的交集，如果滿足下面兩個條件：

(i)C=A∩B，

定義11[5]稱(h,A×B)是兩個模糊軟集(f,A)和(g,B)的和，如果：

定義12[5]稱模糊軟集(h,C)是模糊軟集(f,A)和(g,B)的并集，如果滿足下面兩個條件：

(i)C=A∪B，

2 模糊軟環(huán)

定義13 設(shè)(F,A)是R上的一個軟集，如果?x∈A，F(xiàn)(x)都是R的一個子環(huán)，則稱(F,A)是R上的一個軟環(huán)．為了方便起見，認為?也是R的一個子環(huán)．

定義14 設(shè)R是一個環(huán)，(f,A)是一個R上的模糊軟集，稱(f,A)是R上的一個模糊軟環(huán)，如果?a∈A和?x,y∈R有:

(i)fa(x-y)≥min{fa(x),fb(y)}，

(ii)fa(x·y)≥min{fa(x),fb(y)}，?a∈A，fa是一個模糊子環(huán).

f0-1-2-3-0-0.80.70.70.71-0.90.50.50.5

g0-1-2-3-0-0.80.60.70.71-0.90.80.70.6

定理2中的條件A∩B=?是不可缺少的，否則，結(jié)論不成立．

f0-1-2-3-0-10.70.70.71-10.50.50.52-10.40.40.4

g0-1-2-3-0-10.60.60.61-10.50.50.5

min{max{0.7,0.6},max{0.7,0.6}}=0.7.

h(a,b)=fa∩hb是R的一個模糊子環(huán)． 因此，(h,C)是R上的一個模糊軟環(huán)．

定義15 設(shè)(f,A)和(g,B)是R上的兩個模糊軟環(huán)，稱(g,B)是(f,A)的模糊軟子環(huán)，如果B?A，且?b∈B，gb是fb的模糊子環(huán)．

定義16[7]設(shè)ψ∶X→Y和φ∶A→B是兩個函子, (f,A)和(g,B)是R上的兩個模糊軟環(huán),則稱(φ,ψ)是從X到Y(jié)的模糊軟函子.

定義17[7]設(shè)(f,A)和(g,B)分別是X和Y上的兩個模糊軟環(huán)，(φ,ψ)是從X到Y(jié)的模糊軟函子.

(i)(f,A)在模糊軟函子(φ,ψ)下的像記為(φ,ψ)(f,A).則:

(φ,ψ)(f,A)=(φ(f),ψ(A))，其中:

(ii)(g,A)在模糊軟函子(φ,ψ)下的原像記為(φ,ψ)-1(f,B).則:(φ,ψ)-1(f,B)=(φ(f),ψ(B))，

其中φ-1(g)a(x)=gψ(a)(φ(x)),?a∈ψ-1(A),?x∈X.

如果φ和ψ是單射(滿射)，則是(φ,ψ)單射(滿射).

定義18[7]設(shè)(φ,ψ)是從X到Y(jié)的模糊軟函子，如果φ是從X到Y(jié)的同態(tài)，則(φ,ψ)是模糊軟同態(tài). 如果φ是從X到Y(jié)的同態(tài)和ψ是從A到B的一一映射，則(φ,ψ)是模糊軟同構(gòu).

定理4 設(shè)(f,A)是X上的一個模糊軟環(huán)，(φ,ψ)是從X到Y(jié)的模糊軟函子，則(φ,ψ)(f,A)是Y上的模糊軟環(huán).

證明設(shè)k∈ψ(A)和y1,y2∈Y，如果φ-1(y1)=?或者φ-1(y2)=?，則結(jié)論顯然成立.

設(shè)x1,x2∈X使得φ(x1)=y1,φ(x2)=y2.

這個不等式是滿足對任意的x1,x2∈X有：φ(x1)=y1,φ(x2)=y2，所以：

同理可證：φ(f)k(y1-y2)≥min{φ(f)k(y1),φ(f)k(y2)}.

綜上所述得(φ,ψ)(f,A)是Y上的模糊軟環(huán).

定理5 設(shè)(g,B)是Y上的一個模糊軟環(huán)，(φ,ψ)是從X到Y(jié)的模糊軟函子，則(φ,ψ)-1(f,B)是X上的模糊軟環(huán).

證明設(shè)a∈ψ-1(B)和x1,x2∈X，

φ-1(g)a(x1-x2)=gψ(a)(φ(x1-x2))=gψ(a)(φ(x1)-φ(x2))≥

min{gψ(a)φ(x1),gψ(a)φ(x2)}=min{φ-1(g)a(x1),φ-1(g)a(x2)}.

同理可證φ-1(g)a(x1·x2)≥min{φ-1(g)a(x1),φ-1(g)a(x2)}.

綜上所述得(φ,ψ)-1(f,B)是X上的模糊軟環(huán).

[1] Zadeh L A. Fuzzy sets[J]. Inform and Control,1965,8(1):338-353.

[3] Maji P K, Roy A R, Biswas R.Soft set theory[J].Comput Math Appl,2003,45(4-5):555-562.

[6] Jun Y B, Lee K J, Park C H. Fuzzy soft set theory applied to BCK/BCI-algebras[J].Comput Math Appl,2010,59(9):3180-3192.

[7] Aygunoglu A,Aygun H.Introduction to fuzzy soft groups[J].Comput Math Appl,2009,58(6):1279-1286.

[4] Liu W J. Fuzzy invariant subgroups and fuzzy ideals[J].Fuzzy Sets and Systems,1982,8(2):133-139.

[5] Maji P K,Biswas R,Roy A R.Fuzzy soft set[J].Journal of Fuzzy Mathematics,2001,9(3):589-602.

[8] Molodtsov D. Soft set theory-first result[J].Comput Math Appl,1999,37(4/5):19-31.