[摘 要] 本文針對企業(yè)按固定比例生產(chǎn)的聯(lián)產(chǎn)品進(jìn)行非線性盈虧平衡分析，確定最優(yōu)規(guī)模和最優(yōu)規(guī)模所對應(yīng)的最優(yōu)價格，分析最小規(guī)模和最大規(guī)模之間的風(fēng)險問題，指出了企業(yè)各種產(chǎn)品定價和非線性盈虧平衡分析的基本思路。示例最優(yōu)規(guī)模、最大規(guī)模和最小規(guī)模以及盈虧平衡點的產(chǎn)量和價格，并分析了絕對量和相對量的變化關(guān)系。

[關(guān)鍵詞] 聯(lián)產(chǎn)品;固定比例;價格;產(chǎn)銷量;收入;成本;盈虧平衡點

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2009 . 22 . 004

[中圖分類號]F234.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A [文章編號]1673 - 0194(2009)22 - 0011 - 04

0 引 言

盈虧平衡分析又稱量本利分析，它是研究在一定的市場和生產(chǎn)能力的條件下，項目的成本費用與收益之間的平衡關(guān)系的一種方法。盈虧平衡點(Break-Even Point，BEP)表示收益與成本相等時不虧不盈的轉(zhuǎn)節(jié)點，在這一點上的經(jīng)濟(jì)意義十分重要。因此尋找盈虧平衡點，計算其相對指標(biāo)和絕對指標(biāo)，進(jìn)行不確定分析，可以為經(jīng)營管理決策提供必要的信息。

在許多文獻(xiàn)中對于盈虧平衡分析僅給出了線性盈虧平衡分析和非線性盈虧平衡分析的簡單模型，雖然能夠反映一定的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，但不具一般性。當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)多種相互關(guān)聯(lián)的產(chǎn)品時，根據(jù)需求定理，由于當(dāng)產(chǎn)銷量相等時，不同的產(chǎn)銷量對應(yīng)的銷售價格并不相同，不同的價格會間接影響到該產(chǎn)品的相關(guān)商品的需求，進(jìn)而影響到各自的需求量，所以產(chǎn)品本身價格、關(guān)聯(lián)產(chǎn)品的價格與產(chǎn)銷量之間必然存在一定的函數(shù)關(guān)系，收入函數(shù)與價格之間也必定存在一定的關(guān)系。這種關(guān)系在產(chǎn)銷量相等、價格不變的假設(shè)前提下則與實際情況存在差距。在盈虧平衡點時，產(chǎn)品的價格是由市場供求決定的，而我們假設(shè)價格不變與實際情況并不完全相符。

在企業(yè)生產(chǎn)多種相互關(guān)聯(lián)產(chǎn)品時，關(guān)聯(lián)產(chǎn)品間可能在需求方面存在著相互關(guān)系，在生產(chǎn)方面也存在著相互關(guān)系，即生產(chǎn)出某種產(chǎn)品，同時又生產(chǎn)出了另外一種產(chǎn)品。這些產(chǎn)品可能是按照固定比例組合起來的，也可能是按照變動比例生產(chǎn)出來的。前者如面粉廠加工1噸小麥可以產(chǎn)出0.6噸的面粉，同時又可以得到0.4噸的麥麩。后者如煉油廠使用原油煉制汽油和柴油，不同的工藝決定了不同的生產(chǎn)組合，企業(yè)可以根據(jù)需求和生產(chǎn)實際確定最佳的生產(chǎn)關(guān)系。這種情況下，各自的價格與產(chǎn)銷量之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，它違背了價格不變和產(chǎn)銷量相等的原則，那么在這種情況下的盈虧平衡點如何呢?以下本文加以介紹。

1 基本假設(shè)

企業(yè)僅生產(chǎn)兩種按固定比例的聯(lián)產(chǎn)品A、B，產(chǎn)量分別是QA、QB，按照1∶n的產(chǎn)量關(guān)系生產(chǎn)，即總產(chǎn)量為Q=QA=nQB，生產(chǎn)1單位產(chǎn)品可同時得到1單位的A和n單位的B，產(chǎn)品A的需求函數(shù)為PA=PA(QA，QB)，產(chǎn)品B的需求函數(shù)為PB=PB(QA，QB)。

當(dāng)A、B產(chǎn)品需求不相關(guān)時，各自的需求函數(shù)可以簡化為

當(dāng)兩種產(chǎn)品具有需求相關(guān)關(guān)系時，各自的需求函數(shù)為

PA=PA(QA)PB=PB(QA，QB)或QB =Q(PA，PB)(1)

產(chǎn)品A、B的收入函數(shù)分別為TRA、TRB，即TRA=PAQA，TRB=PBQB。則企業(yè)總收益函數(shù)為TR=TR(Q)=TRA+TRB，總成本函數(shù)為TC=C(Q)，稅金與銷售收入的比率為s。產(chǎn)銷量相等(銷毀除外)。

2 基本原理

根據(jù)企業(yè)利潤最大化的條件MR=MC，當(dāng)A、B兩種產(chǎn)品的需求不相關(guān)時，

利用公式(3)可以求出產(chǎn)量Q，把Q分別代入各自的需求函數(shù)，就可以得出A、B兩種產(chǎn)品的定價。但是，當(dāng)把Q代入各自的邊際收益函數(shù)時，如果MRA、MRB中有小于零的，因為沒有一個廠商愿意使自己某種商品的邊際收益為負(fù)值，所以必須銷毀一定的該產(chǎn)品才能保證企業(yè)利潤最大化，也就是保證MRA、MRB≥0，此時產(chǎn)量分別為Q*A，Q*B。把Q*A，Q*B分別代入各自的需求函數(shù)，才可以得出A、B兩種產(chǎn)品的價格。

對于兩種產(chǎn)品具有相關(guān)關(guān)系(替代或互補)時，其原理是相通的，所不同的是需求函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，不贅述。

在盈虧平衡時有TR(1-s)=TC，利用該公式可以求出用產(chǎn)量表示的盈虧平衡點及盈虧平衡時產(chǎn)品A、B的價格。以上我們已經(jīng)求出了最佳產(chǎn)量Q*A、Q*B，于是可以求出盈虧平衡時的絕對量和相對量等指標(biāo)。至此，根據(jù)定價理論和盈虧平衡理論即可確定風(fēng)險問題。

3 圖形分析與推理

假定企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，二者是聯(lián)產(chǎn)品。它們的需求函數(shù)都是線性的，且產(chǎn)銷量相等(銷毀除外)。在圖1中，橫軸代表固定比例生產(chǎn)的聯(lián)產(chǎn)品的產(chǎn)銷量，以產(chǎn)品組為單位;縱軸代表價格。先看圖1(a)，由于兩種產(chǎn)品的需求函數(shù)并不相同，所以產(chǎn)品A、B各有一條需求曲線DA和DB(不失一般性，假設(shè)需求曲線為線性的)。同時，產(chǎn)品A、B也就各有一條邊際收益曲線MRA和MRB。把MRA和MRB進(jìn)行垂直方向加總，可以得到總邊際收益曲線MR。無論如何，企業(yè)都不會使某種產(chǎn)品的邊際收益為負(fù)值，因此，從MRB降到零值水平后，總邊際收益曲線MR就與MRA重合。當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)聯(lián)產(chǎn)品時，由于很難確定多少成本是生產(chǎn)產(chǎn)品A的耗費，多少成本是用于生產(chǎn)產(chǎn)品B的，所以生產(chǎn)成本是無法在兩種產(chǎn)品之間進(jìn)行合理分?jǐn)偟?。因此，兩種聯(lián)產(chǎn)品的生產(chǎn)成本是結(jié)合在一起的，聯(lián)產(chǎn)品的邊際曲線只有一條，即MC。曲線MC和MR的交點E決定了企業(yè)的最佳聯(lián)產(chǎn)品產(chǎn)量與價格。這時，A、B兩種產(chǎn)品的產(chǎn)銷量是相同的，即QA=QB，。產(chǎn)品A的價格為PA，產(chǎn)品B的價格為PB 。圖1(b)也反映企業(yè)生產(chǎn)A、B兩種聯(lián)產(chǎn)品的情況，它與圖1(a)唯一的區(qū)別是邊際成本曲線MC位置比較低，說明企業(yè)生產(chǎn)成本比(a)圖反映的水平要低。這時，總邊際收益曲線MR與邊際成本曲線MC的交點E所表示的產(chǎn)品A的最佳價格為PA，比(a)圖中的PA要低一些;同時，產(chǎn)品A的最佳產(chǎn)量為QA，比(a)圖中的QA要大一些。如果這時產(chǎn)品B的產(chǎn)銷量與產(chǎn)品A的產(chǎn)銷量相同，那么產(chǎn)品B的邊際收益將會是負(fù)值，也就是說產(chǎn)品B的產(chǎn)銷量過大，以至于已經(jīng)達(dá)到了減少企業(yè)利潤，而不是增加企業(yè)總利潤的程度。這時，產(chǎn)品B的產(chǎn)銷量就應(yīng)該決定在它的邊際收益為零的水平，即(b)圖中的QB，比(a)圖中的QB要大一些。相應(yīng)地，產(chǎn)品B的最佳價格水平為PB，比(a)圖中的PB要低一些。由于A、B兩種產(chǎn)品是固定比例的聯(lián)產(chǎn)品，生產(chǎn)QA的A產(chǎn)品時也就生產(chǎn)出了相同數(shù)量的B產(chǎn)品(假定A、B兩種產(chǎn)品的比例是1∶1)，為不使產(chǎn)品B的過大產(chǎn)銷量對企業(yè)利潤產(chǎn)生消極影響，企業(yè)必須把(QA-QB)單位的產(chǎn)品B銷毀。

在圖2中，總收益曲線TR和總成本曲線TC有兩個交點E1、E2，根據(jù)盈虧平衡點的定義，E1、E2就是該問題的盈虧平衡點，在E1、E2兩點所對應(yīng)的產(chǎn)量分別為Q1、Q2，因此企業(yè)只有安排在Q1、Q2之間的水平上進(jìn)行生產(chǎn)才能盈利，否則必然虧損。我們稱Q1、Q2為經(jīng)濟(jì)規(guī)模。在Q1、Q2之間有一個產(chǎn)量Q*對應(yīng)于利潤最大化，我們稱之為最佳經(jīng)濟(jì)規(guī)模。那么Q*與前面求得的最優(yōu)產(chǎn)量一定相等嗎?如果不考慮稅金對成本的影響，則答案是肯定的，因為定價理論與盈虧平衡理論所使用的原理是相同的，即MC=MR。

4算 例

解:

TRA=PAQA=2Q(60-0.1×2Q)=120Q-0.4Q2

TRB=Q(70-0.5Q)=70Q-0.5Q2

MRA=120-0.8Q，MRB=70-Q

TR=TR(Q)=TRA+TRB=190Q-0.9Q2，MR=190-1.8Q

TC=C(Q)=8 400-10Q+0.1Q2，MC=-10+0.2Q

當(dāng)MR=MC時，有190-1.8Q=-10+0.2Q

∴Q=100

因為MRA=120-0.8×100>0，MRB =70-100<0，所以應(yīng)銷毀部分B產(chǎn)品(若不銷毀則B的價格為20)。當(dāng)MRB =70-Q=0，Q=70，則銷毀量為100-70=30。

此時

PA=60-0.1×200=40，PB=70-0.5×70=35

TR=10 450，TC=8 400，π=TR-TC=2 050

在盈虧平衡時有TR=TC，

190Q-0.9Q2=8 400-10Q+0.1Q2

解得盈虧平衡時的產(chǎn)量為Q1=140，Q2=60，最佳規(guī)模為Q*=100(MC=MR)，由于沒有稅金，所以最佳規(guī)模與前面所求得的最優(yōu)產(chǎn)量相同。在該最優(yōu)產(chǎn)量水平上銷毀30單位的B產(chǎn)品，此時A、B的價格分別為40單位和35單位。

產(chǎn)量允許增加至140單位，此時A的價格為32單位，由于此時MRB =-70<0，所以應(yīng)銷毀全部的B產(chǎn)品。此時總成本與總收益都為8 960單位。

產(chǎn)量允許降低至60單位，此時A的價格為48單位，MRB =70-60>0，則B的價格為40單位。此時總收益與總成本均為8 160單位。

同理，在最優(yōu)產(chǎn)量水平上，A、B的價格分別為40單位和35單位;在最大規(guī)模水平上A的價格為32單位，B全部銷毀;在最小規(guī)模水平上A、B的價格分別是48單位和40單位，于是得出A產(chǎn)品的價格允許下降至32單位、上升幅度為48-40=8單位、下降的幅度為40-32=8單位;B產(chǎn)品的價格允許上升至40單位，上升的幅度為40-35=5單位。

用相對量表示，A產(chǎn)品的產(chǎn)量允許升降的幅度為40%，B產(chǎn)品的產(chǎn)量不考慮銷毀問題允許升降的幅度為40%。A的價格允許升降的幅度為20%，B的價格允許上升的幅度為14.3%。

對于盈虧平衡時的相對量表示，則更容易求解了。

5結(jié) 論

以上本文僅就企業(yè)按固定比例生產(chǎn)兩種相互關(guān)聯(lián)的產(chǎn)品進(jìn)行了盈虧平衡分析，得出了用產(chǎn)量和價格表示的盈虧平衡點。對于用固定成本、單位可變成本來表示該盈虧平衡點，以及對兩種以上聯(lián)產(chǎn)品的盈虧平衡分析，在此不再深入討論。從上面推導(dǎo)與求解過程來看，確定了最優(yōu)規(guī)模和最優(yōu)規(guī)模所對應(yīng)的產(chǎn)品價格，同時也分析了最小規(guī)模和最大規(guī)模之間的風(fēng)險問題，這是企業(yè)生產(chǎn)規(guī)模決策和定價決策的關(guān)鍵。另外我們可以根據(jù)前面的思路推導(dǎo)企業(yè)按變動比例生產(chǎn)聯(lián)產(chǎn)品的盈虧平衡問題，以及生產(chǎn)能力有剩余時的盈虧平衡問題，還可以針對價格歧視和壟斷、壟斷競爭和寡頭壟斷等市場結(jié)構(gòu)問題進(jìn)行盈虧平衡分析。

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