李義仁

2009年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)的壓軸題是數(shù)列題,這道題有什么特點(diǎn),它對(duì)我們的教學(xué)有什么啟示?本文擬作簡要分析.

一、試題特點(diǎn)

題目:已知曲線Cn:x2-2nx+y2=0(n=1,2,…),從點(diǎn)P(-1,0)向曲線Cn引斜率為kn(kn>0)的切線ln,切點(diǎn)為Pn(xn,yn).

(1)求數(shù)列xn和yn的通項(xiàng)公式;

(2)證明:x1?x3?x5…x2n-1<

分析這道試題,它有以下特點(diǎn):

1. 主體結(jié)構(gòu)簡約.試題的主體結(jié)構(gòu)是:構(gòu)造數(shù)列→數(shù)列的形式化→數(shù)列性質(zhì)證明.如果將數(shù)列看作一種數(shù)學(xué)模型,那么它可以看作是:建立數(shù)列模型→數(shù)列模型進(jìn)一步求解.試題的主體結(jié)構(gòu)很簡約,而且這個(gè)簡約的結(jié)構(gòu)與新課程每個(gè)單元的主體結(jié)構(gòu)、與新課程倡導(dǎo)的“知識(shí)形成→知識(shí)應(yīng)用”課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)相同.

2. 雙基容量較大.試題材料有平面直角坐標(biāo)系中圓的方程、圓的切線、切點(diǎn)坐標(biāo)、數(shù)列通項(xiàng)、冪函數(shù)、三角函數(shù)、不等式等方面的基礎(chǔ)知識(shí),解題過程中還要用到與之相關(guān)的其他基礎(chǔ)知識(shí)和運(yùn)用計(jì)算、作圖、推理等技能,因此,試題的知識(shí)跨度比較大,雙基容量比較大.

3. 解題方法多樣.多方面知識(shí)綜合的問題往往意味著解題有多個(gè)切入點(diǎn),多種方法.除高考評(píng)分參考外,第(1)問,可根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造過程求通項(xiàng)公式,如圖1,由x2-2nx+y2=0得(x-n)2+y2=n2,曲線Cn是圓心為Cn(n,0)、半徑為n的圓.作PnQn⊥x軸,垂足為Qn,則

cos∠PCnPn==,從而xn=OQn=OCn-CnQn=n-CnPn×cos∠PCnPn=,yn=CnPn×sin∠PCnPn=n×=.

第(2)問,左邊不等式可根據(jù)xn的單調(diào)性證明,因?yàn)閤n==1-單調(diào)遞增,所以x1

sin=×OP×sin,因?yàn)椤螦OB=≤<<,所以∠OPB>>∠AOB,PB

二、若干思考

1. 雙基教學(xué)要增強(qiáng)模型意識(shí).

雙基教學(xué)通常比較關(guān)注知識(shí)點(diǎn),包括重點(diǎn)、難點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)等,關(guān)注對(duì)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)涵的分析,幫助學(xué)生比較準(zhǔn)確熟練地解決知識(shí)點(diǎn)組合的數(shù)學(xué)問題.這是最基本的要求,新課程還要求數(shù)學(xué)教學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生“對(duì)客觀事物中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)模式進(jìn)行思考和做出判斷”,新課程高考綜合題通常具有“建立數(shù)學(xué)模型→應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”的結(jié)構(gòu)特征和解題要求.因此,雙基教學(xué)要關(guān)注知識(shí)點(diǎn),但不能只專注于知識(shí)點(diǎn),要不斷增強(qiáng)模型意識(shí),用模型整合知識(shí)點(diǎn),讓學(xué)生經(jīng)歷“建立數(shù)學(xué)模型→應(yīng)用數(shù)學(xué)模型”的全過程,用數(shù)學(xué)模型為學(xué)生理解數(shù)學(xué)和分析解決問題提供更強(qiáng)有力的支撐.

2. 雙基復(fù)習(xí)要增強(qiáng)整體意識(shí)

雙基復(fù)習(xí)都比較關(guān)注知識(shí)綜合,但層次比較低——只構(gòu)建具體知識(shí)網(wǎng)絡(luò),范圍比較小——只重視單元知識(shí)綜合.新課程采用模塊結(jié)構(gòu)螺旋上升地呈現(xiàn)課程內(nèi)容,著力打破人為分割高中課程內(nèi)容的思維慣性,促進(jìn)課程內(nèi)容的融合.新課程高考認(rèn)為知識(shí)的整體性是切實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的重要標(biāo)志,著力從學(xué)科整體意義的高度設(shè)計(jì)問題、考查學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.因此,雙基復(fù)習(xí)要從更大范圍更高層次進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì),更大范圍是指將全部高中課程內(nèi)容納入具體復(fù)習(xí)的視野之中,使每次復(fù)習(xí)都具有向全部高中課程內(nèi)容擴(kuò)展的張力;更高層次是指將貫穿全部高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的主線——變量與函數(shù)、計(jì)算與算法、圖形與直觀、數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)等,落實(shí)到每個(gè)具體內(nèi)容的復(fù)習(xí)之中,幫助學(xué)生以這些主線為線索,將全部高中課程內(nèi)容融會(huì)貫通.

責(zé)任編輯羅峰