溫泉河　李傳中

摘 要:《z+z智能教育平臺——超級畫板》(簡稱“超級畫板”)提供了豐富的動態(tài)測量功能。利用這些測量工具,既可以進行機械的計算,又可以為探索研究數(shù)學問題建造模擬實驗環(huán)境。

關(guān)鍵詞:超級畫板;測量;中學數(shù)學;教學應用

中圖分類號:G434文獻標識碼:A 文章編號:1673-8454(2009)16-0046-03

一、超級畫板測量功能

何謂測量?《現(xiàn)代漢語詞典》對測量一詞的解釋是:①用儀器確定空間、時間、溫度、速度等的有關(guān)數(shù)值;②有關(guān)地形、地物等的測定工作。[1] 在百度上搜索,可以找到這樣一個定義:所謂測量,是指用實驗的方法,將被測量(未知量)與已知的標準量進行比較,以得到被測量的具體數(shù)值,達到對被測量定量認識的過程。[2] 在測繪學里,測量的研究地面點的幾何位置、地球形狀及地球重力場,測量的發(fā)展很大程度上依賴測量方法和儀器工具的創(chuàng)造和改革?？梢?測量是確定數(shù)量的過程,同時有研究探索的意思。現(xiàn)在,超級畫板就為我們在計算機的模擬環(huán)境里提供了一系列如直尺、量角器、圓規(guī)的測量工具。

1.超級畫板測量功能概述

這里將測量功能分為狹義的測量和廣義的測量。狹義的測量包括幾何量的測量和簡單變量的測量。幾何量的測量如長度(包括直線段長度和曲線長度)、角度、面積的測量,簡單的代數(shù)量測量,如變量值的測量。廣義的測量,除了包括狹義的測量的范圍外,還包括對表達式的測量。對表達式的測量,正是超級畫板測量功能的一大特色。超級畫板提供了豐富而強大的測量功能。超級畫板目前提供的測量功能可以基本滿足中學數(shù)學范圍內(nèi)的應用,如提供了大量關(guān)于幾何量、代數(shù)量的測量。超級畫板提供的“測量表達式”功能可以進行表達式的測量。其中獨具特色的嵌套測量能進行變量的自加或自減。“測量表達式”功能為我們探索研究和解決一些數(shù)學問題提供了條件。

2.超級畫板的測量功能特點

(1)動態(tài)的測量

超級畫板提供的是動態(tài)的測量。經(jīng)測量的幾何量和表達式,隨相關(guān)的幾何圖形和變量的改變而動態(tài)更新。也就是“測算的結(jié)果是動態(tài)的,隨著圖形的變化而變化。還可以把測量數(shù)據(jù)作為作圖的參數(shù)”。[3]

(2)嵌套測量

在超級畫板里,每進行一次測量,系統(tǒng)會自動產(chǎn)生一個跟測量對象(數(shù)據(jù))對應的編號,從m000一直到m999。新建一個文檔,在測量表達式輸入“m000”后按“確定”?？梢钥吹狡聊簧铣霈F(xiàn)一個測量結(jié)果“m000=0.30”。這里有一個問題,我們之前并沒有進行任何測量,是系統(tǒng)自動給出了m000的初始值“0.30”。就是說,可以把編號本身作為一個變量測量。這時,在測量表達式輸入“m001+1” 后按“確定”觀察,隨著作圖區(qū)的刷新,這測量結(jié)果會不斷地加1。其實輸入的表達式“m001+1”相當于m001=m001+1。這就是嵌套測量。[4]

(3)測量數(shù)據(jù)的刷新機制

表達式(包括變量)的測量結(jié)果不是經(jīng)測量就不變的。當表達式包含的量發(fā)生變化,表達式也重新計算得到新的值。超級畫板提供了以下方式更新測量表達式:

①作圖或產(chǎn)生其它新對象;②拖動圖形或其它對象;③動畫;[4] ④按下屬性設(shè)置的“確定”按鈕。知道了測量的刷新方法,當我們研究的問題需要不斷刷新測量數(shù)據(jù)時,就可以利用其中的方法。如例1、例2。

3.與測量有關(guān)的兩個技巧

(1)指定變量值與設(shè)定變量動畫頻率

在超級畫板里,變量可以隨意使用,而不必進行變量的定義?？梢允褂貌藛卫锏摹皽y量→測量表達式”,直接測量新變量。也可以使用菜單里的“插入→變量對象”,插入新變量。

讓變量在指定范圍內(nèi)變動,方法就是使用動畫。特別地,要使變量精確地取某個值U,方法也是使用動畫,只需要把變量動畫的參數(shù)范圍的最大值和最小值均設(shè)置為U即可。如,使變量T取值為0,只要將最小值和最大值都設(shè)置為0。

如果對變量的變化有特別要求,需要對動畫參數(shù)進行相關(guān)的設(shè)置。如,要使變量T,從0開始以1為增幅變化到7,可以如下設(shè)置:動畫運動的頻率設(shè)置為7,參數(shù)范圍的最小值為0、最大值為7。這樣,當動畫啟動時,變量T的取值分別是:1、2、3、4、5、6、7。即取值范圍除以頻率就是變量的變化幅度。

(2)利用sign函數(shù)實現(xiàn)統(tǒng)計數(shù)據(jù)歸0

sign(a,b)函數(shù)的作用是當a>b時函數(shù)值為1,否則為0。如在數(shù)學實驗中,反復的實驗需要在每次實驗前將統(tǒng)計數(shù)據(jù)歸0,使統(tǒng)計數(shù)據(jù)歸0可以直接制作動畫使相關(guān)變量的值為0。但是,如果統(tǒng)計的數(shù)據(jù)較多,需要制作的動畫也相應增多。利用sign函數(shù),可以令全部的統(tǒng)計數(shù)據(jù)歸0,而不需要增加額外的動畫。如統(tǒng)計數(shù)據(jù)為m000,m001……,m010,在測量表達式的時候加上sign函數(shù),如sign(t,0)*m000,那么在t為0的時候就將m000歸0,每個統(tǒng)計數(shù)據(jù)都加上sign函數(shù),就可以實現(xiàn)全部統(tǒng)計數(shù)據(jù)歸0。

二、超級畫板測量功能的應用

作為數(shù)值計算功能,超級畫板能進行大整數(shù)的四則運算。如計算2100,只要輸入表達式即可得到結(jié)果。綜合利用超級畫板的測量功能,可以為研究問題建造一個模擬的實驗環(huán)境。

例1: π的計算

我國古代數(shù)學家劉徽使用“割圓術(shù)”,計算到π的近似值為3.14。南北朝時數(shù)學家祖沖之,計算到π的值介于3.1415926與3.141597之間,是我國古代數(shù)學的一個偉大成就。歷史上還有其它計算π的方法,如數(shù)值積分法,概率的方法等等。

我們知道,只要能夠算出圓的面積,就可以得到π的值。單位圓的1/4是扇形,它是邊長為1的正方形面積的一部分。怎樣可以求得扇形的面積?一個辦法就是在正方形范圍內(nèi)隨機投入很多點。每個點落在正方形的任意位置機會相等。假設(shè)一共投n次,我們可以統(tǒng)計落在扇形面積的點的數(shù)目m,再計算m/n,就可以近似地得到扇形面積。

作出單位正方形和扇形。作坐標點B并將其設(shè)置為跟蹤,B點的X坐標和Y坐標均為rand(0,1),拖動參數(shù)為x。計算點B和圓心的距離,小于1即落在扇形內(nèi)。利用超級畫板的嵌套測量可以實現(xiàn)重復投點數(shù)量的統(tǒng)計。主要步驟如下:

(1)先測量點B和圓心的距離:使用語句MeasureLength(,),在“程序”窗口里輸入“MeasureLength(8,1)”;其中,8和1分別是點B和坐標原點在超級畫板里的編號。運行后得到測量的結(jié)果為m000。

(2)統(tǒng)計落在扇形內(nèi)的點的數(shù)目:在“測量表達式”里輸入“sign(x,0)*m001+sign(1,m000)”。當前要測量的是m001,這樣測量就是為了實現(xiàn)m001=m001+1的效果,當點B和圓心的距離m000小于1時,m001就加1。這里加上sign(x,0)相乘是為了每次開始時初始化統(tǒng)計數(shù)據(jù)。(3)統(tǒng)計投點的總數(shù):在“測量表達式”里輸入“sign(x,0)*m002+sign(x,0)”。

(4)π的近似值為:(m001/m002)*4。

(5)設(shè)置變量x的動畫:為了初始化統(tǒng)計數(shù)據(jù)最小值設(shè)為0,每次x的動畫從0開始時,正好將統(tǒng)計數(shù)據(jù)初始化。

反復實驗,觀察,當投點個數(shù)達900個附近時,開始得到3.1的值;投點個數(shù)達5000個附近時,開始得到3.14的值。其它計算的方法又效率如何呢?哪個效率較高?大家都可以動手做一做。

例2:用嵌套測量實現(xiàn)二分法求方程根(如圖1)

在實際中,我們經(jīng)常需要尋求函數(shù)的零點(即根),對于一次或二次函數(shù),我們有熟知的公式解法(如一元二次方程的求根公式)。對高于四次的一元函數(shù),可以使用二分法取得近似解。二分法的原理是,通過“取中點”的方法逐步縮小零點所在的范圍,在一定精確度下,我們可以得到零點的近似值。

以tx+sin(x)為例。打開測量表達式,測量m006,m007,也就是把m006,m007分別賦值給m000,m001。測量t^m006+sin(m006)和t^m007+sin(m007),把m006和m007作為零點兩旁的近似根。測量(m006+m007)/2,測量變量為m004。計算x為m004的方程值,測量t^m004+sin(m004),測量變量為m005。假設(shè)m006為零點左邊的點的X坐標,m007為零點右邊的坐標,則需要判斷新取的中點賦值給m006,m007中的哪一個。測量表達式為:

sign(m005*m002,0)*m004+sign(0,m005*m002)*m006,sign(m005*m003,0)*m004+sign(0,m005*m003)*m007

把m004賦值給m006,m007中函數(shù)值與m005同號的那個變量。這樣實現(xiàn)了不斷取中點。插入變量t、a、b。制作變量m006,m007的動畫,取值分別為a、b。制作變量t的動畫,類型為一次運動,頻率為10。

使用超級畫板的測量功能,既可以做一些機械性的計算;又可以為研究問題、探索規(guī)律建造一個實驗的環(huán)境。在熟練的情況下,制作如例1、例2這樣的實驗環(huán)境只需要十幾分鐘甚至更短的時間。可以讓學生自己動手做這些課件而不僅僅參與實驗,這樣既提高了學生探索研究的興趣,也提高了學生動手能力和學習能力,一舉多得。

參考文獻：

[1]中國社會科學院語言研究所. 現(xiàn)代漢語詞典[M].北京：商務(wù)印書館,1996，3.

[2]電子網(wǎng).測量的定義[DB/OL].http://www.51dzw.com/EmbedPage/2008-11-26/2008-11-2670835.html.

[3]張景中.超級畫板在高中數(shù)學教學中的應用[J].高等函授學報(自然科學版)，2008-2-1(22).

[4]張景中,彭翕成.動態(tài)幾何教程[M].北京：科學出版社,2007．（編輯：劉軒)