湯建英　丁浩清

情境呈現(xiàn)

學(xué)習(xí)圓柱的體積后，老師布置了一道思考題讓學(xué)生回家思考：用一張長(zhǎng)30米、寬20米的長(zhǎng)方形鐵皮圍成一個(gè)直圓柱，并給它配上相應(yīng)的底，怎樣圍這個(gè)圓柱的體積為最大?

情境一：直覺(jué)感知——產(chǎn)生分歧

師：昨天老師布置了一道練習(xí)題讓同學(xué)們回家思考的，誰(shuí)愿意來(lái)說(shuō)一說(shuō)自己的設(shè)計(jì)方案。

生1：我認(rèn)為，用30米的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，用20米的邊做圓柱的高，所圍的圓柱體積最大。

生2：我認(rèn)為，用20米的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，用30米的邊做圓柱的高，所圍的圓柱體積最大。

師：到底是哪種方案圍成的圓柱體積最大呢?現(xiàn)在我們來(lái)進(jìn)一步研究。剛才同學(xué)們給出了兩種方案，憑你的直覺(jué)，你認(rèn)為哪種方案圍成的圓柱體積最大?誰(shuí)愿意來(lái)談?wù)勛约旱南敕ā?/p>

生3：我認(rèn)為用30米的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，用20米的邊做圓柱的高，所圍成的圓柱體積最大。因?yàn)檫@樣圍它的底面半徑就長(zhǎng)，求底面積時(shí)又要求半徑的平方，它的底面積就更大了。我覺(jué)得它的體積肯定比另一種的體積大。

生4：我認(rèn)為第二種方案做成的圓柱體積大。因?yàn)樗母呤?0米，比第一種的高20米要長(zhǎng)10米。

生5：我認(rèn)為兩種圍法圍成的圓柱體積相等。因?yàn)闊o(wú)論怎樣圍，這個(gè)長(zhǎng)方形鐵皮的大小不變。

師：到底哪種圍法圍成的圓柱體積最大呢?下面我們用一張長(zhǎng)方形紙來(lái)演示，用30米的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，做成的圓柱胖胖矮矮的，我們--稱其為“矮胖子”；用20米的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，做成的圓柱瘦瘦高高的，我們稱其為“瘦高個(gè)”。到底是“矮胖子”的體積大，還是“瘦高個(gè)”的體積大呢?怎樣來(lái)比較呢?誰(shuí)愿意來(lái)說(shuō)一說(shuō)?

生5：把兩個(gè)圓柱的體積都計(jì)算出來(lái)，不就可以比較了嗎?(可能還有其他想法)

師：好，下面我們就通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證誰(shuí)的想法是對(duì)的。

情境：計(jì)算證明——統(tǒng)一意見(jiàn)。

師：根據(jù)題意，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)怎樣列式?

生1：方案一：(30÷3.14÷2)²x 3.14×20

生2：方案二：(20÷3.14÷2)²×3.14×30

師：下面就請(qǐng)同學(xué)們算一算。(片刻后學(xué)生可能計(jì)算有困難，教師接著說(shuō)。)同學(xué)們，你在計(jì)算時(shí)有困難嗎?

生3：在計(jì)算體積時(shí)又遇到了新的問(wèn)題。30÷3.14÷2怎么算?它的平方又怎么算?

生4：(又有學(xué)生接著說(shuō))可以用分?jǐn)?shù)表示。商的平方不要算出來(lái)，可以和后面的3.14約分。

師：那大家試試看。

在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生通過(guò)算式變形得出了這樣的結(jié)果：4500/3.14和3000/3.14。

師：在數(shù)據(jù)面前支持第一種方案的同學(xué)認(rèn)可了這道題用較長(zhǎng)的邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，較短的邊做圓柱的高，這樣的圓柱體積較大，即“矮胖子”體積最大。

情境三：由此及彼——探究規(guī)律

師：就根據(jù)這道題解答的情況能說(shuō)明問(wèn)題嗎?是不是所有的用這種方法去圍一個(gè)圓柱，都是這樣的結(jié)論呢?

生1：再舉一個(gè)例子試試看。

師：好!舉怎樣的例子呢?長(zhǎng)是多少?寬是多少?

生2：兩個(gè)數(shù)據(jù)相差大一些。舉例1：長(zhǎng)100米，寬10米。

生3：兩個(gè)數(shù)據(jù)相差更小一些。舉例2：長(zhǎng)30米，寬28米。

師：我們先對(duì)舉例l通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證。(學(xué)生獨(dú)立完成)

生4：(100+3.14+2)²x3.14x10=25000/3.14

生5：(10+3.14+2)²x3.14x100=2500/3.14

師：同學(xué)們，再次得到結(jié)論：還是用長(zhǎng)邊做圓柱的底面周長(zhǎng)，短邊做圓柱的高時(shí)，圍成的圓柱體積較大

情境四：一波未平——波又起

生1：(另一組數(shù)據(jù)長(zhǎng)30米，寬28米還未進(jìn)行計(jì)算，又有學(xué)生叫道)老師我又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)體積的比值和長(zhǎng)與寬的比值相等。

生1：(接著說(shuō))我和其他同學(xué)計(jì)算后發(fā)現(xiàn)果然課外思考題中兩種圍法的體積之比是3：2，長(zhǎng)與寬之比也是3：2；舉例1兩種圍法的體積之比是10：1，長(zhǎng)與寬之比也是10：1。

生2：老師，這種結(jié)論會(huì)不會(huì)是偶然的呢?

師：那就請(qǐng)同學(xué)們用長(zhǎng)28米、寬30米的這組數(shù)據(jù)再算算看。

師生集體完成。

(1)長(zhǎng)為圓柱的底面周長(zhǎng)(30÷3.14÷2)²x3.14×9R=6300/3.14

(2)寬為圓柱的底面周長(zhǎng)(28÷3.14÷2)²×3.14×30=5880/3.14

師：你又發(fā)現(xiàn)了什么?

生3：還是第一種方案的體積較大，體積之比和長(zhǎng)與寬之比也是一致，都是15：14。

師：看來(lái)同學(xué)們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是正確的。

情境五：字母幫忙——一舉兩得

生1：(又有學(xué)生接著追問(wèn)道)為什么會(huì)這樣?

師：(想了片刻，便引導(dǎo)學(xué)生思考)剛才我們舉出了三組具體的數(shù)據(jù)，那有沒(méi)有更好的代替這些數(shù)據(jù)的具有普遍意義的方法來(lái)證明呢?

生2：老師，能不能用字母來(lái)表示，a表示長(zhǎng)，b表示寬來(lái)試試看。

師：好，說(shuō)干就干。我們一起來(lái)完成。

(1)a為圓柱的底面周長(zhǎng)(a÷3.14÷2)²×3.14×b=a²b/12.56

(2)b為圓柱的底面周長(zhǎng)：(b÷3.14÷2)²×ah²/12.56

師：兩個(gè)體積的比是a：b，長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬的比也是a：b。而且因?yàn)閍>b，所以a²b/12.56>ab²/12.56，同時(shí)證明了第一種的體積大。

“哇，一舉兩得!”學(xué)生們開(kāi)心得叫了起來(lái)。

反思回放整個(gè)過(guò)程，學(xué)生一直處于一種亢奮的狀態(tài)，幾個(gè)男同學(xué)激動(dòng)得漲紅了臉，師生一起經(jīng)歷了一次有直覺(jué)思維、邏輯思維、歸納思維、形式思維、抽象思維等組成的“思維聚餐”，它是一場(chǎng)由學(xué)生發(fā)起，推動(dòng)的“思維碰撞”，是一出師生同臺(tái)、學(xué)生為主角的“思維連續(xù)劇”。

上述案例是偶一得之，完全是老師的“無(wú)心插柳”，結(jié)果卻引發(fā)了學(xué)生一節(jié)課的討論，獲得了“柳成行”的效果，它帶給我很多思考。

一、關(guān)于“問(wèn)題”的思考

1、不斷生成的問(wèn)題是課堂教學(xué)的動(dòng)態(tài)資源。課堂上的很多信息、很多細(xì)節(jié)是稍縱即逝的，這就需要教師敏銳的捕捉，機(jī)智的處理，合理的“縱容”，有時(shí)候要在平靜的湖水里拋下一塊石頭，讓它蕩起層層漣漪；有時(shí)候要播下一點(diǎn)火種，借風(fēng)之勢(shì)讓星星之火可以燎原。在這個(gè)課例中，學(xué)生先后自主地提出了(1)到底“矮胖子”體積大還是“瘦高個(gè)”體積大?為什么?(2)是不是所有的用一個(gè)長(zhǎng)方形去圍成一個(gè)圓柱，都有這樣的結(jié)論呢?(3)圍成的兩種圓柱體積之比和長(zhǎng)與寬之比是不是都一樣呢?(4)為什么體積之比和長(zhǎng)與寬之比會(huì)一樣?這些問(wèn)題為課堂教學(xué)提供了豐富多彩的教學(xué)資源，這些教學(xué)資源會(huì)有效推動(dòng)課堂教學(xué)的進(jìn)程，使得數(shù)學(xué)課堂顯示出別樣的張力。

而來(lái)自于學(xué)生的問(wèn)題更具有挑戰(zhàn)性和創(chuàng)造性，更容易激起學(xué)生的斗志和思維緊張度。在這樣的來(lái)自內(nèi)心發(fā)問(wèn)的引導(dǎo)下，學(xué)生便很快進(jìn)入思維的軌道，更會(huì)讓思維綿亙千里。學(xué)生“疑”猶未盡是課堂教學(xué)的最高境界。

2、教師對(duì)學(xué)生提出的問(wèn)題不妨小題大做。也許學(xué)生的問(wèn)題你能一語(yǔ)道明，也許你的教學(xué)進(jìn)度會(huì)受到影響，也許學(xué)生的問(wèn)題會(huì)讓你措手不及，無(wú)從應(yīng)對(duì)等等，但教師要給予學(xué)生一種欣賞、一種保護(hù)，盡量留給學(xué)生一定的時(shí)間和空間，盡量讓學(xué)生通過(guò)自主探究發(fā)現(xiàn)問(wèn)題解決問(wèn)題。

真正數(shù)學(xué)化的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是一個(gè)不斷生成問(wèn)題一解決問(wèn)題——生成新問(wèn)題——解決新問(wèn)題的過(guò)程，我們企盼看到我們的學(xué)生能在學(xué)習(xí)中生成各種問(wèn)題。

二、關(guān)于“思維”的思考

1、呈現(xiàn)真實(shí)自然的狀態(tài)。鄭毓信在微學(xué)課程改革2005：審視與展望中呼吁“新課改要對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)過(guò)程中的思維活動(dòng)有較為深入的了解”，并要求“深入地去了解學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的真實(shí)思維活動(dòng)”。

如今的數(shù)學(xué)公開(kāi)課教學(xué)中很少能看到學(xué)生思維的原生態(tài)，大多數(shù)課的進(jìn)程非常順利，學(xué)生和教師配合非常默契，思維的行進(jìn)與思維的成果基本已經(jīng)預(yù)設(shè)，很少有思維的“旁枝逸出”或“受阻梗塞”。現(xiàn)在我們呼喚真實(shí)的課堂，看到學(xué)生真實(shí)的思維過(guò)程，我們希望看到學(xué)生思維過(guò)程中受阻、停頓、徘徊、矛盾、模糊等真實(shí)過(guò)程，太順暢的課堂總讓人覺(jué)得少了些味道。這節(jié)課沒(méi)有預(yù)設(shè)，完全是學(xué)生思維的自然“滑翔”。此次無(wú)意而為。卻讓我們深深感知數(shù)學(xué)課堂研究如果停留在表層，那終將是“隔靴搔癢”，無(wú)濟(jì)于事。只有真正進(jìn)入學(xué)生思維的領(lǐng)地，才能真正觸及數(shù)學(xué)的本質(zhì)。我們的數(shù)學(xué)課堂，教師不妨少說(shuō)一些，多看一看，學(xué)生不妨多問(wèn)一問(wèn)，多說(shuō)一說(shuō)，多想一想。課堂上尤其需要給學(xué)生安靜思考的過(guò)程。

2、體現(xiàn)思維教學(xué)的過(guò)程。數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)質(zhì)是思維活動(dòng)的教學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)凸顯學(xué)生思維活動(dòng)。(1)強(qiáng)化直覺(jué)。直覺(jué)思維是一種活潑的思維方式，反映出一個(gè)人的數(shù)學(xué)感覺(jué)。上述課例中題目思考的開(kāi)始便讓學(xué)生調(diào)動(dòng)直覺(jué)思維談?wù)勛约鹤钪苯拥南敕ǎ瑢?duì)題目的結(jié)果進(jìn)行猜想，學(xué)生的兩種意見(jiàn)都是合乎情理的直感。彭加勒認(rèn)為：直覺(jué)用于發(fā)現(xiàn)。直覺(jué)產(chǎn)生的想法是否正確，需要“根據(jù)說(shuō)理”，需要用分析思維進(jìn)行檢驗(yàn)。(2)嚴(yán)格推理。學(xué)生通過(guò)計(jì)算已經(jīng)看出了這個(gè)“矮胖子”的體積大，但是不是所有的“矮胖子”都比相對(duì)應(yīng)的“瘦高個(gè)”體積大呢?為什么?彭加勒還說(shuō)過(guò)：邏輯用于證明。最后一個(gè)層次用字母a、b表示長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬，然后通過(guò)算式變形，得到用字母表示的體積，通過(guò)求比，證明了體積之比等于長(zhǎng)與寬之比，也證明了長(zhǎng)邊做底面周長(zhǎng)圓柱的體積較大，一舉兩得，盡釋前疑。對(duì)于小學(xué)生，有些結(jié)論還無(wú)法讓學(xué)生經(jīng)歷嚴(yán)格證明的過(guò)程，教材也沒(méi)有這樣的目標(biāo)要求，但為了培養(yǎng)高年級(jí)學(xué)生的邏輯推理能力，有時(shí)在理解難度不大的情況下不妨打開(kāi)一扇門，讓學(xué)生感受一下邏輯證明的魅力。(3)適度抽象。對(duì)于小學(xué)高年級(jí)的學(xué)生，要加大抽象思維培養(yǎng)的力度，讓字母參與運(yùn)算從而推出結(jié)論的方法，即代數(shù)方法也必須讓學(xué)生有一定的接觸，這為學(xué)生以后的學(xué)習(xí)起到—個(gè)很好的鋪墊作用。

學(xué)生的解題過(guò)程是一個(gè)由直覺(jué)思維發(fā)現(xiàn)到邏輯思維證明的過(guò)程。數(shù)學(xué)的思維教學(xué)應(yīng)當(dāng)強(qiáng)化直覺(jué)思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

三、關(guān)于“結(jié)果”的思考

今天探討的問(wèn)題超出了教材的要求，也打亂了原定的教學(xué)計(jì)劃，但是我們和學(xué)生的收獲都是很大的，有數(shù)學(xué)情感的體驗(yàn)，有數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，有數(shù)學(xué)過(guò)程的感受。后來(lái)有老師提出，其實(shí)要證明矮胖子體積大還可以從另一個(gè)角度去想，因?yàn)閳A柱的體積也可以用“側(cè)面積的一半×半徑”來(lái)計(jì)算，同樣的一張長(zhǎng)方形鐵皮圍成圓柱，側(cè)面積相等，只要看半徑，底面周長(zhǎng)長(zhǎng)的半徑就大，所以此時(shí)圍成的圓柱體積就大。有的老師提出，可以讓學(xué)生通過(guò)裝沙的方法驗(yàn)證等等，他們認(rèn)為我不必大費(fèi)周張地如此去做。好像有浪費(fèi)時(shí)間之嫌，但是我很慶幸自己沒(méi)有直接用這種方法去證明。否則學(xué)生怎會(huì)經(jīng)歷這么一個(gè)高潮迭起的思維過(guò)程呢?思維的美麗，應(yīng)該在路途中。