李　智

【摘 要】本文是筆者對立體幾何教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法去分析和解決有關(guān)問題的一些做法與體會(huì)。

【關(guān)鍵詞】平面化 代數(shù)化 相互化 規(guī)矩化 模型化

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，從平面幾何到立體幾何是一道難度較高的臺(tái)階，立體幾何成了中學(xué)生進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的第一道障礙，學(xué)生們往往對立體幾何的學(xué)習(xí)倍感畏懼。究其原因，不外乎沿襲平面幾何的思維，缺乏空間想象力，造成思維受阻。因此，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，突破空間思維上的障礙，是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵。就此，結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，談一談轉(zhuǎn)化思想在立體幾何教學(xué)中的運(yùn)用。

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法，任何數(shù)學(xué)問題的解決都離不開轉(zhuǎn)化與化歸，它是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂。而立體幾何中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，其中最重要的就是轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法，它貫穿立體幾何教學(xué)的始終，在立體幾何教學(xué)中占有很重要的地位。下面就立體幾何教學(xué)中如何啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法分析和解決有關(guān)問題，談一些做法與體會(huì)。

1．空間問題平面化。由三維空間向二維平面轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一；降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來解決問題。教學(xué)中如果能夠充分引導(dǎo)學(xué)生將“空間問題平面化”，則往往能起到化復(fù)雜為簡單、化生疏為熟悉的功效，從而使問題得到解決； 而運(yùn)用升維的方法把平面或直線中的概念、定義或方法向空間推廣，可以立易解難，溫舊知新，從已知探索未知，有助于培養(yǎng)創(chuàng)新精神和能力，是“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”的重要方法。平面圖形的翻折問題的分析與解決，就是升維與降維思想方法的不斷轉(zhuǎn)化運(yùn)用的過程。

2．幾何問題代數(shù)化。新課程注重代數(shù)與幾何的聯(lián)系，注重學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。新教材在選修部分引入向量和坐標(biāo)，利用向量解決立體幾何中的度量問題以及有關(guān)平行和垂直的證明。這樣將幾何問題代數(shù)化，使學(xué)生對立體圖形的認(rèn)識(shí)有了多個(gè)視角。不僅降低了學(xué)習(xí)立體幾何的難度，而且有利于培養(yǎng)學(xué)生將代數(shù)與幾何聯(lián)系，利用代數(shù)的方法解決幾何問題的能力和數(shù)形結(jié)合的能力。

向量是解答立體幾何問題的一種得力工具，不少復(fù)雜的幾何推理，可借助向量法使幾何問題代數(shù)化， 模式化的解題過程大大地降低了思維的難度。尤其是某些立體幾何的探索性問題，用向量法去處理更能凸顯其優(yōu)越性，它只需通過坐標(biāo)運(yùn)算的手段就能完成其探索的過程，從而達(dá)到簡捷、流暢的解題效果。

在進(jìn)行相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)過程中，筆者改變了以往過于重視學(xué)生利用添加輔助線來解決立體幾何題目的教學(xué)方法，抓住運(yùn)算這條主線，首先幫助學(xué)生理解空間向量的含義，然后讓學(xué)生從向量的角度去認(rèn)識(shí)立體幾何，學(xué)習(xí)利用向量運(yùn)算的方法解決立體幾何的有關(guān)問題。例如，求二面角的平面角的大小時(shí)，可設(shè)計(jì)如下程序展開教學(xué)：①讓學(xué)生結(jié)合相關(guān)圖形建立坐標(biāo)系，并看一下各點(diǎn)坐標(biāo)是否易于求得，如不易求出，則需重建，使學(xué)生掌握建系的原則；②分別準(zhǔn)確地求出兩個(gè)對應(yīng)平面的法向量的坐標(biāo)，強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性；③利用兩個(gè)向量的夾角公式，求出兩個(gè)對應(yīng)平面的法向量的夾角；④對照圖形說明兩個(gè)平面的二面角的大??；⑤其他運(yùn)算方法。如利用射影面積法等也可用于解決此類問題。這樣的教學(xué)將利用運(yùn)算的方法解決幾何問題，改變了以往學(xué)生在解決幾何問題時(shí)，因?yàn)樘聿簧陷o助線，遇到立體幾何題“繞著走”的現(xiàn)象，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

3．線面關(guān)系相互化。線線、線面、面面的平行與垂直的位置關(guān)系是立體幾何中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，其精髓就是平行與垂直位置關(guān)系的相互依存及轉(zhuǎn)化。教學(xué)中如果能夠引導(dǎo)學(xué)生充分利用線面間的位置關(guān)系進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，則往往能起到化難為易的作用。

4．降維轉(zhuǎn)化。由三維空間向二維空間轉(zhuǎn)化，是研究立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一。降維轉(zhuǎn)化的目的是把空間的基本元素轉(zhuǎn)化到某一個(gè)平面中去，用學(xué)生們比較熟悉的平面幾何知識(shí)來解決問題。如線面垂直的判定定理就是轉(zhuǎn)化為三角形全等的平面問題。

5．等積轉(zhuǎn)化?！暗确e法”在初中平面幾何中就已經(jīng)有所應(yīng)用，是一種很實(shí)用的數(shù)學(xué)方法與技巧。立體幾何中的“等積轉(zhuǎn)化”（或稱等積變換）是面積、體積（尤其是四面體的體積）作為媒介，來溝通有關(guān)元素之間的聯(lián)系，從而使問題得到解決。

6．立體圖形規(guī)矩化。“割形”與“補(bǔ)形”是解決立體幾何問題的常用方法之一，通過“割”或“補(bǔ)”可化復(fù)雜圖形為已熟知的簡單幾何體，從而較快地找到解決問題的突破口。而通過或“割”或“補(bǔ)”，目的無非是將立體圖形規(guī)矩化，從而達(dá)到把問題的解決轉(zhuǎn)化為“規(guī)范問題”的效果。

7．方法技能模型化。立體幾何圖形必須借助面的襯托，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系才能顯露地“立”起來。在具體的問題中， 證明和計(jì)算經(jīng)常依附于某種特殊的輔助平面即基面。這個(gè)輔助平面的獲取正是解題的關(guān)鍵所在，通過對這個(gè)平面的截得、延展或構(gòu)造，綱舉目張，問題就迎刃而解了。

8．通過解剖圖形，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何。立體幾何圖形是由點(diǎn)、線、面這些基本元素通過一定的關(guān)系組合而成，這種關(guān)系到了空間相較平面已發(fā)生了很大的變化，不熟悉、不適應(yīng)這種變化，是學(xué)生難以從平面幾何進(jìn)入到立體幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)障礙。如果能將元素按照題意組合成幾何圖形，又能將圖形分解成部件（有簡單關(guān)系的基本元素的幾何體），也就能將復(fù)雜問題分解為簡單問題，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為已熟悉的平面幾何問題加以解決。

總之，在立體幾何的教學(xué)中，要努力讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法去分析和解決有關(guān)問題，借助可取之材來建立空間想象，加強(qiáng)直觀教學(xué)，這樣就容易讓學(xué)生接受，讓他們喜歡上這一門學(xué)科，從而更有效地培養(yǎng)他們的空間想象力，提高他們解決立體幾何問題的能力?！?/p>