周文娟

提要本文建立了1952～2007年中國GDP的計量經(jīng)濟模型(ARIMA模型)。對有指數(shù)趨勢的原始序列用單位根法和自相關圖法判別差分后序列是否平穩(wěn)，先通過最小BIC值建立計量經(jīng)濟模型中的時間序列模型，然后利用AIC和SBC準則判別所建立的模型是否為最優(yōu)，然后用條件最小二乘法對模型的參數(shù)進行估計，并進行白噪聲檢驗和參數(shù)顯著性檢驗，預測2008～2015年GDP的發(fā)展水平。

關鍵詞：ARIMA模型；SAS軟件；AR模型

中圖分類號：F12文獻標識碼：A

時間序列是指按照時間順序得到的變量的觀測值，而按時間順序得到的經(jīng)濟變量的觀測值即為經(jīng)濟時間序列。文中討論的ARIMA模型是一類常用的隨機時序模型，它是一種精度較高的時序短期預測方法，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間t的一族隨機變量，構成該時序的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相應的數(shù)學模型近似描述。通過對該數(shù)學模型的分析研究，能夠更本質(zhì)地認識時間序列的結構與特征，達到最小方差意義下的最優(yōu)預測。

我國GDP總量的形成是一個復雜的過程，受經(jīng)濟、政策、科技水平、自然等多因素的影響。GDP總量或人均GDP預測的理論及應用研究非常多。國內(nèi)外學者對我國GDP的研究方法主要有三種：（1）時間序列方法：研究GDP隨時間發(fā)展的規(guī)律。通過時間序列的歷史數(shù)據(jù)揭示現(xiàn)象隨時間變化的規(guī)律，建立ARMA、ARCH等模型，將這種規(guī)律延伸到未來，從而對該現(xiàn)象的未來作出預測；（2）協(xié)整檢驗的計量經(jīng)濟學模型：通過分析影響GDP發(fā)展的本質(zhì)因素，研究GDP與這些因素的協(xié)整關系，建立計量經(jīng)濟學模型；（3）生產(chǎn)函數(shù)模型：分析一定技術條件下，投入與產(chǎn)出的關系，等等。由于GDP不僅能夠在總體上度量國民產(chǎn)出和收入規(guī)模，也能夠在整體上度量經(jīng)濟波動和經(jīng)濟周期狀態(tài)，因此成為宏觀經(jīng)濟中最受關注的經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)，被認為是衡量國民經(jīng)濟發(fā)展、判斷宏觀經(jīng)濟運行狀況的最重要的一個指標，也是政府制定經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略和經(jīng)濟政策的重要依據(jù)。因此，建立我國GDP的時間序列模型并對其進行分析具有十分重要的意義。

一、我國GDP時間序列模型的建立與分析

由于原始序列非平穩(wěn)但取對數(shù)且一階差分后平穩(wěn)，故采用求和自回歸移動平均模型（ARIMA），差分后的序列也就是ARMA模型。

（一）數(shù)據(jù)的分析與處理

1、平穩(wěn)性檢驗。時間序列是否平穩(wěn)，可以有兩種判別方法：一是自相關圖；另一種是單位根檢驗法。文章對這兩種方法結合起來進行檢驗。根據(jù)2007統(tǒng)計年鑒中GDP數(shù)據(jù)，從用SAS軟件繪制的時序圖中可以看出我國GDP序列含有指數(shù)趨勢，并具有很強的非平穩(wěn)性。

2、數(shù)據(jù)平穩(wěn)化。對于含有指數(shù)趨勢的時間序列，可以通過取對數(shù)將指數(shù)趨勢轉(zhuǎn)化為線性趨勢，然后再進行差分以消除線性趨勢。取對數(shù)過后的GDP依舊存在非平穩(wěn)性，需要對其進行差分，先進行一階差分，繪制一階差分后的時間序列圖。從圖中很難看出一階差分后的序列是否平穩(wěn)。于是，首先考察序列的樣本自相關圖，從直觀上檢驗該序列的平穩(wěn)性；其次，我們對該序列進行ADF單位根檢驗。

從自相關圖中發(fā)現(xiàn)序列的自相關系數(shù)一直都比較小，延遲一階后始終控制在2倍標準差的范圍以內(nèi)，可以認為該序列在零軸附近波動，具有短期相關性，因而可以直觀地判別一階差分后序列平穩(wěn)。

從單位根檢驗結果看，由于Tau統(tǒng)計量的P值都小于0.05，可以認為該序列平穩(wěn)，不存在一個單位根，即有指數(shù)趨勢的序列，經(jīng)過取對數(shù)、一階差分后序列平穩(wěn)。

對差分后序列進行純隨機檢驗，發(fā)現(xiàn)延遲各階的P值顯著地小于?琢（?琢=0.05），拒絕原假設，即可以認為序列為非白噪聲序列。

（二）模型的建立與識別。從上文分析已知道，序列經(jīng)過差分后為平穩(wěn)非白噪聲序列，可以對差分后序列擬合ARMA模型。即是對原始序列用ARIMA（p，d，q）模型擬合。考察序列的樣本自相關圖，自相關圖顯示延遲1階之后，自相關系數(shù)全部衰減到2倍標準差范圍內(nèi)波動，但序列在延遲4階后，衰減為小值的過程相當緩慢，該自相關系數(shù)可以認為不截尾。

再看樣本偏自相關圖，從圖中可以看出，除了延遲一階的偏自相關系數(shù)顯著大于2倍標準差之外，其他的偏自相關系數(shù)都在2倍標準差范圍內(nèi)做小值隨機波動，而且由非零相關系數(shù)衰減為小值波動的過程非常突然，所以偏自相關系數(shù)可以視為1階截尾。

綜合序列自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)的性質(zhì)，為擬合模型定階為AR（1）。

（三）參數(shù)估計。利用SAS，用estimate命令可以得到未知參數(shù)估計結果及擬合統(tǒng)計量的值。從圖中可以看出均值MU顯著（t檢驗統(tǒng)計量的P值小于0.0001），參數(shù)也顯著（t檢驗統(tǒng)計量的P值為0.0003）。輸出結果顯示序列的擬合模型為ARIMA（1，1，0），模型口徑為：

xt=0.11087+1.47833xt-1-0.47833xt-2+?著t

（四）模型檢驗。確定了擬合模型的口徑之后，就要對擬合模型進行必要的檢驗。

1、模型的顯著性檢驗。模型的顯著性檢驗主要是檢驗模型的有效性，一個模型是否顯著有效主要看它提取的信息是否充分。一個好的擬合模型應該能夠提取觀察值序列中幾乎所有的樣本相關信息，換言之，擬合殘差項中將不再蘊涵任何相關信息，即殘差序列應該為白噪聲序列。為考核所建模型的優(yōu)劣，需要對模型的殘差序列進行檢驗，檢驗其是否為白噪聲序列。若殘差序列是白噪聲序列，可認為模型合理，適用于預測，否則，意味著殘差序列還存在有用的信息沒被提取，需要進一步改進模型。

從SAS作出的殘差自相關圖中可以看出除延遲6階外，其余的延遲各階的LB統(tǒng)計量的P值均顯著大于?琢（?琢=0.05），可知殘差通過了白噪聲檢驗，該擬合模型顯著成立。即認為殘差序列為白噪聲序列，擬合模型顯著有效。

2、參數(shù)的顯著性檢驗。參數(shù)的顯著性檢驗就是要檢驗每一個未知參數(shù)是否顯著非零。?準1的條件最小二乘檢驗結果是t統(tǒng)計量的值為3.85，P值為0.003；均值的條件最小二乘檢驗結果是t統(tǒng)計量的值為4.7，P值<0.001；結論是由于系數(shù)t統(tǒng)計量的P值為0.003，小于?琢（?琢=0.01），模型系數(shù)在1%的水平以上。顯然兩參數(shù)檢驗均顯著。

（五）模型優(yōu)化。當一個擬合模型通過了檢驗，說明在一定的置信水平下，該模型能有效地擬合觀察值序列的波動，但這種有效模型并不是唯一的。同一個模型可以構造多個擬合模型，當這些模型都顯著有效時，難以選擇哪個模型來進行推斷，于是引進AIC和SBC信息準則來選擇相對最優(yōu)模型。

通過用AIC和SBC準則對多個ARIMA模型的比較，最小信息量檢驗顯示無論是AIC準則還是SBC準則，ARIMA（1，1，0）模型的AIC函數(shù)和SBC函數(shù)都是最小的，所以ARIMA（1，1，0）是相對最優(yōu)模型。

（六）模型預測。用上面擬合的模型可以得到未來8年GDP的預測值。（表1）

二、結果分析

本文主要從自身發(fā)展規(guī)律來分析和預測國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP），比較準確地預測和判斷未來幾年內(nèi)的國內(nèi)生產(chǎn)總值的狀況。從預測結果來看，預測值有個明顯的增長趨勢，這符合我國GDP發(fā)展的現(xiàn)況，因為近年來，我國的經(jīng)濟以較快的速度增長。

由前面我國GDP時間序列模型可知，我國GDP的增長與上一期GDP增長有關。另外，根據(jù)我國GDP的單位根檢驗，發(fā)現(xiàn)我國GDP消除指數(shù)增長趨勢后的序列為一階單整的，這說明我國GDP時序數(shù)據(jù)對沖擊具有持久的特性，往往具有一個固定的增長趨勢，一般不會返回某個特定值。我國GDP增長具有長期可持續(xù)性，并且穩(wěn)定性也在逐步增強。

文中我們能做到的也僅限于以GDP的變化為視角，并在這樣一個視角下，力圖達到對經(jīng)濟運行較為準確的預測。本文有一個沒有仔細研究的問題，就是GDP數(shù)據(jù)的周期性，如果能從這方面詳細研究，肯定更能對GDP的發(fā)展變化做出更準確地分析。

（作者單位：重慶工商大學數(shù)學與統(tǒng)計學院）

主要參考文獻：

[1]王燕.應用時間序列分析[M].中國人民大學出版社，2003.

[2]徐亞鵬.我國GDP分析及預測[Z].2006.

[3]趙盈.我國GDP時間序列模型的建立與實證分析[J].西安財經(jīng)學院學報，2006.