汪樹林

摘要：數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)總方向，就是讓數(shù)學(xué)教學(xué)回歸教育的本體——兒童，關(guān)注兒童的生活，追求兒童的可持續(xù)發(fā)展?！皟和瘮?shù)學(xué)”重新賦予數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)有的魅力，它基于兒童生活，在兒童的生活中，引領(lǐng)兒童的生活；它順應(yīng)兒童的天性，讓兒童從自我經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，在活動(dòng)中自主建構(gòu)，進(jìn)而理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，同時(shí)達(dá)到兒童本質(zhì)力量的全面解放與舒展!

關(guān)鍵詞：兒童數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)教育課程

一、“兒童數(shù)學(xué)”的內(nèi)涵詮釋

1.兒童數(shù)學(xué)是一種“經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)”。

兒童學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，與大學(xué)生是不一樣的。大學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)前不一定有應(yīng)用和計(jì)算微積分的經(jīng)驗(yàn)，而兒童在日常活動(dòng)中卻經(jīng)常有加減等運(yùn)算的體驗(yàn)。如購(gòu)物活動(dòng)、游戲活動(dòng)等。實(shí)際上，每個(gè)兒童并不是上學(xué)才接觸數(shù)學(xué)，也不僅僅是在學(xué)校中才接觸數(shù)學(xué)，他們?cè)谌粘Ｉ钪袝?huì)碰到各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，逐步形成自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)。兒童玩過(guò)各種形狀的積木，折過(guò)紙，比過(guò)物體長(zhǎng)短、大小、輕重、厚薄、寬窄，他們知道幾點(diǎn)起床幾點(diǎn)睡覺、幾點(diǎn)到校幾點(diǎn)放學(xué)，他們隨著父母一起外出購(gòu)物，等等，所有這些活動(dòng)，都為他們積淀了數(shù)量和幾何形體的初步觀念。雖然這些觀念往往是非正規(guī)、不系統(tǒng)的甚至是模糊的，或許還有錯(cuò)誤隱藏其中，但這些都為他們上學(xué)后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定了基礎(chǔ)?！皟和瘉?lái)到課堂里不僅帶來(lái)了眼睛、耳朵和良好的記憶力，而且也帶來(lái)了不知從生活的什么地方所獲得的大量的‘前數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，帶來(lái)了‘兒童的數(shù)學(xué)、‘兒童的物理學(xué)、‘兒童的化學(xué)、‘兒童的哲學(xué)、‘兒童的歷史學(xué)，等等?！彼械倪@些“學(xué)”，都是兒童的經(jīng)驗(yàn)資源。我們稱作為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“前理解”，或者稱作為兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“期待視界”，它們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中發(fā)揮著重要作用。

兒童數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)性，還表現(xiàn)為數(shù)學(xué)不僅僅是教室中的行為，而且是一種社會(huì)性活動(dòng)，家里、公園、商店里都可以是兒童的數(shù)學(xué)課堂。校外，無(wú)論是買賣活動(dòng)、建造房子活動(dòng)，都有數(shù)學(xué)問(wèn)題和數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)不僅僅是學(xué)校中的書本知識(shí)，研究者把大眾生活中的數(shù)學(xué)稱為“街頭數(shù)學(xué)”。因此，兒童數(shù)學(xué)既是一種知識(shí)形式，又是一種活動(dòng)形式；既是兒童在學(xué)校中學(xué)習(xí)的學(xué)科。也是兒童在生活中的一種思考方式，這正是兒童數(shù)學(xué)作為經(jīng)驗(yàn)數(shù)學(xué)的魅力所在!

當(dāng)然，兒童的生活經(jīng)驗(yàn)可以促進(jìn)兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如我們常常借助兒童日常生活中日升日落、白天黑夜周而復(fù)始的經(jīng)驗(yàn)來(lái)幫助他們理解“循環(huán)小數(shù)”中“循環(huán)”的含義)，也可以阻礙兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)(如“生活角”對(duì)“數(shù)學(xué)角”的干擾、日常生活中的“質(zhì)量”概念對(duì)數(shù)學(xué)中“質(zhì)量”概念的學(xué)習(xí)影響等)。作為教師，我們應(yīng)當(dāng)選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，對(duì)兒童的生活經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加工、重組、提煉、干預(yù)，使作為兒童個(gè)體的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)上升為人類的“類經(jīng)驗(yàn)”!

2.兒童數(shù)學(xué)是一種“建構(gòu)數(shù)學(xué)”。

如上所述，兒童入學(xué)前就發(fā)展了許多非正式的、非形式化的數(shù)學(xué)知識(shí)，這些知識(shí)對(duì)兒童來(lái)說(shuō)很有意義，也很有趣味。非形式化的數(shù)學(xué)常常是兒童自主建構(gòu)而不是被動(dòng)接受的，兒童是入學(xué)后才開始學(xué)習(xí)用符號(hào)寫成的“形式數(shù)學(xué)”的。研究表明，在學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，“兒童常常不按照教師的方式去做數(shù)學(xué)”，也就是說(shuō)，兒童不只是模仿和接受成人的策略和思維模式，他們要用自己經(jīng)驗(yàn)中已有的數(shù)學(xué)知識(shí)去過(guò)濾和解釋新信息，以至同化它。如果兒童看不出教師所呈現(xiàn)的信息和他們已有的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，那么，教師的講授就如同對(duì)牛彈琴。因此，兒童的數(shù)學(xué)化過(guò)程就是兒童“自組織”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料的過(guò)程，也是兒童對(duì)客觀的“數(shù)學(xué)知識(shí)”進(jìn)行主觀“意義賦予”的過(guò)程。換言之。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是兒童在已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上的一種自我的、能動(dòng)的、有意義的建構(gòu)!

因此，兒童視閾中的數(shù)學(xué)就不應(yīng)簡(jiǎn)單地被等同于數(shù)學(xué)知識(shí)的匯集，不應(yīng)被看作無(wú)可懷疑的真理的集合，而應(yīng)主要被看作兒童的一種“創(chuàng)新性建構(gòu)”。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究，是兒童的思想實(shí)驗(yàn)或“準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)”。在弗賴登塔爾看來(lái)，一個(gè)6歲的兒童用手指或用計(jì)算器算出8+5=13，對(duì)成人來(lái)說(shuō)，可能那并不算是什么數(shù)學(xué)，但對(duì)這個(gè)年齡層次的兒童來(lái)說(shuō)。就是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。通過(guò)探究，兒童自己建構(gòu)的知識(shí)，也許不是成人所認(rèn)為的“科學(xué)”和“正確”的知識(shí)。但從建構(gòu)主義觀點(diǎn)看，所有的知識(shí)都只具有相對(duì)的意義，也即意義是相對(duì)于知識(shí)的建構(gòu)者而言的。比如有一個(gè)學(xué)生。認(rèn)為“6是奇數(shù)”，理由是6可以寫成2×3，而3是奇數(shù)，所以6是奇數(shù)。這告訴我們，這位學(xué)生有他自己關(guān)于奇數(shù)的定義，他是根據(jù)自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。用自己的方式理解數(shù)學(xué)的。因此。在兒童學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程中，如果我們只按照自己的理解方式強(qiáng)迫兒童接受是不可取的。我們首先要反思自己概念的形成過(guò)程。然后再分析兒童的概念建構(gòu)過(guò)程。要尊重兒童對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的原初解讀，給兒童充分的時(shí)間建構(gòu)，幫助兒童反思自己的先前圖式。建立正確的數(shù)學(xué)觀念。

3.兒童數(shù)學(xué)是一種“活動(dòng)數(shù)學(xué)”。

“活動(dòng)是智慧的根源”(皮亞杰語(yǔ))，也是兒童的經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)方式。在活動(dòng)中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是兒童的一種自由與自覺，因?yàn)樗鼣[脫了兒童生疏的紙筆策略，營(yíng)造了具有真實(shí)的、有意義的、支持性的情境，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成為“真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”，符合兒童心智的發(fā)展。例如。在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，師生做一個(gè)爭(zhēng)奪紅旗的游戲，有一面小紅旗插在地上，然后讓一些孩子排列在紅旗的正前方，等老師發(fā)出口令后，大家都奔上前去奪這面紅旗，以?shī)Z到者為勝。他們可能立刻就會(huì)提出異議，這樣的游戲方法不公平，理由是每一個(gè)人到達(dá)紅旗的距離不相等。那么，怎樣解決最合理呢?經(jīng)過(guò)思考、討論、嘗試等一系列的探究活動(dòng)，它們很快就逐漸形成一個(gè)手拉手的形狀(圓)。于是，一個(gè)“動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)是一個(gè)定長(zhǎng)”的意識(shí)就開始形成了——盡管它并不是一個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)概念，但對(duì)“形式數(shù)學(xué)”來(lái)說(shuō)，就可能會(huì)是從空間的“點(diǎn)集”性質(zhì)特征來(lái)建構(gòu)“圓”的概念的。因此?！皵?shù)學(xué)活動(dòng)”能讓兒童自覺地經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”，實(shí)現(xiàn)兒童真正的“數(shù)學(xué)化”!

二、“兒童數(shù)學(xué)”的實(shí)踐建構(gòu)

1.讓“兒童生活”嵌入數(shù)學(xué)教學(xué)。

“數(shù)學(xué)科學(xué)是人類精神從外界借取的東西最少的創(chuàng)造物之一”(龐加勒語(yǔ))，但兒童數(shù)學(xué)卻應(yīng)該親近兒童，純粹例題式的教學(xué)起點(diǎn)對(duì)于兒童來(lái)說(shuō)不具有可攀性。于是，我們需要借取生活素材，讓“兒童生活”嵌人數(shù)學(xué)教學(xué)，讓“陌生的數(shù)學(xué)”變得熟悉、親切。一方面我們要“活化教材”，充分感受新教材選擇素材的獨(dú)特視角，盡可能地發(fā)揮這些素材的教育功能：另一方面我們也應(yīng)認(rèn)識(shí)到，由于每個(gè)兒童的家庭背景以及自身思維方式的差異，使得同一教材不可能適應(yīng)不同地域的兒童。因此，我們要?jiǎng)?chuàng)生教材以外的資源，將觸角延伸至兒童周遭的“生活世界”，善于捕捉“生活現(xiàn)象”，設(shè)計(jì)“生活情境”，勾勒“生活畫面”，使之符合兒童的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)”!

例如，對(duì)于“平均數(shù)”，我們?cè)趯W(xué)習(xí)材料的組織中，通常都是呈現(xiàn)一個(gè)“工業(yè)生產(chǎn)”方面的背景，而這種背

景對(duì)兒童來(lái)說(shuō)并不熟悉。即便是呈現(xiàn)一些算“成績(jī)”(成績(jī)的平均數(shù))的背景，對(duì)兒童來(lái)說(shuō)，也是難以理解的。因?yàn)檫@通常是作為成人的教師行為。有時(shí)，為了表示所謂的“平均數(shù)本質(zhì)特征”——“移多補(bǔ)少”，還常常用幾塊積木，在多和少之間移來(lái)移去?；蛘咴趲赘L(zhǎng)短不一的線段之間加來(lái)減去，兒童很難理解教師的這些行為。假如我們呈現(xiàn)這樣一個(gè)背景：一群兒童在隨意地“爭(zhēng)奪”積木，有的多，有的少，發(fā)生了爭(zhēng)吵。老師怎么辦?讓兒童去想象并設(shè)計(jì)一下教師的行為(方法和過(guò)程)，然后思考：里面含有什么樣的數(shù)學(xué)特點(diǎn)?用原來(lái)什么樣的數(shù)學(xué)知識(shí)可以解釋?這樣可能更容易讓兒童理解“平均數(shù)”的本質(zhì)特性。

2.開辟“用手思考”的道路。

對(duì)兒童來(lái)說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)不應(yīng)是去記數(shù)學(xué)、去背數(shù)學(xué)、去練數(shù)學(xué)，而更應(yīng)是“做數(shù)學(xué)”。因?yàn)樗季S的形成，必須從外在的可見活動(dòng)開始，這既是人類數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的起源，也是兒童心智發(fā)展的歷程，兒童需要“用手思考”!

例如對(duì)于“平均分”，我們是將其作為“數(shù)學(xué)概念”還是作為兒童的“思維對(duì)象”?是將其作為“數(shù)學(xué)符號(hào)”直接教學(xué)。還是讓兒童經(jīng)歷“平均分行為”?很顯然，我們應(yīng)該讓兒童在“平均分”的活動(dòng)中運(yùn)用自己的經(jīng)驗(yàn)去自主建構(gòu)“除法”、“除數(shù)”、“余數(shù)”等概念?；顒?dòng)開始時(shí)，兒童可能會(huì)依照經(jīng)驗(yàn)，為了保證每個(gè)人所得的同樣多。就用一種類似于一群人圍在一起打牌時(shí)發(fā)牌的方式，將物品輪流地一個(gè)一個(gè)地分發(fā)(有時(shí)也會(huì)每一次先等量地分發(fā)給每一個(gè)人，然后再這樣輪發(fā))，用弗賴登塔爾的觀點(diǎn)。這就是關(guān)于分配問(wèn)題的“水平數(shù)學(xué)化”。

但是，當(dāng)任務(wù)較大(要分的物品或分配的對(duì)象等數(shù)額較大)時(shí)，兒童就會(huì)對(duì)這種分配方式進(jìn)行反思，他們會(huì)嘗試去獲得另外一種分法，即用尋找盡可能大的份額來(lái)一次性地完成分配，并最終形成了用“除法”的概念與算法，甚至他們可能會(huì)有趣地發(fā)現(xiàn)，有的正好分完，有的還有多余，這多余的物品又不夠再分，于是余數(shù)的概念就這樣逐漸建立起來(lái)。此外，從多余的物品不能再分的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境中，兒童對(duì)“余數(shù)必須比除數(shù)小”的道理也有隱約的理解。這就是弗賴登塔爾所說(shuō)的“垂直數(shù)學(xué)化”——逐步的圖式化。

不難看到，在兒童數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程中，一刻也離不開思維，更準(zhǔn)確地說(shuō)是離不開兒童的“反思”。因此，“用手思考”我們也可以理解為“用頭腦做”、“用頭腦看”、“用頭腦聽”……真正的“做數(shù)學(xué)”活動(dòng)意味著：一方面，兒童的手、腦、眼、耳等的多感官協(xié)同活動(dòng)?？梢约訌?qiáng)對(duì)客觀事物的動(dòng)態(tài)感知；另一方面，兒童的外顯活動(dòng)與內(nèi)隱言語(yǔ)、思維必須緊密結(jié)合，以便讓活動(dòng)成為“外化的思維”，讓思維成為“內(nèi)化的活動(dòng)”!

因此，“用手思考”就不是一種具體的教學(xué)模式。更不是一種具體的學(xué)習(xí)方法，而是一種教學(xué)思想和兒童的學(xué)習(xí)方法論。其基本的價(jià)值觀是：兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一種兒童的主動(dòng)觀察、思考、操作、探究、嘗試、發(fā)現(xiàn)與體驗(yàn)活動(dòng)，它讓兒童用一種整體的、手腦聯(lián)動(dòng)的實(shí)踐方式去把握認(rèn)識(shí)對(duì)象。這種方式既契合教育學(xué)家杜威的“做中學(xué)”理論，也符合皮亞杰的“發(fā)生認(rèn)識(shí)論”學(xué)說(shuō)，更是馬克思主義的唯物實(shí)踐觀在兒童數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的具體運(yùn)用。

3.凝聚——必要的抽象。

數(shù)學(xué)“客觀知識(shí)”的形成過(guò)程是一個(gè)“去情景化、去個(gè)人化和去時(shí)間化”的過(guò)程。兒童數(shù)學(xué)固然應(yīng)該指向兒童——借助兒童的現(xiàn)實(shí)生活，尊重兒童的生活經(jīng)驗(yàn)。讓兒童在教師的價(jià)值引領(lǐng)下進(jìn)行自主建構(gòu)，但兒童數(shù)學(xué)也應(yīng)該尊重?cái)?shù)學(xué)本質(zhì)。在兒童數(shù)學(xué)教學(xué)中，要謹(jǐn)防數(shù)學(xué)內(nèi)涵的悄悄流失，謹(jǐn)防兒童思維的“卡通化”、“淺表化”。要切實(shí)處理好生活的隨意性與數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性之間的關(guān)系，將兒童的思維進(jìn)行形式化的提升。努力促成兒童由“卡通思維”向“形式思維”的有效過(guò)渡!

現(xiàn)代數(shù)學(xué)思維研究的一個(gè)重要成果就是指明了“凝聚”(由“過(guò)程”向“對(duì)象”的轉(zhuǎn)化)構(gòu)成了數(shù)學(xué)思維的一個(gè)基本形式。不少的數(shù)學(xué)概念最初是作為一個(gè)過(guò)程得到引進(jìn)的，但最終則又轉(zhuǎn)化成了一個(gè)對(duì)象，我們不僅可以研究它們的性質(zhì)，也可以此為對(duì)象去施行某些新的運(yùn)作(指廣義的數(shù)學(xué)運(yùn)演)。

因此，兒童數(shù)學(xué)活動(dòng)中“火熱的思考”最終都必須凝固成“冰冷的美麗”，原先“做數(shù)學(xué)”的動(dòng)態(tài)行為也終將客體化為一個(gè)靜止的數(shù)學(xué)符號(hào)?！坝檬炙伎肌钡臄?shù)學(xué)作為兒童“再創(chuàng)造”的過(guò)程表征，變成了兒童熟悉的事物，使得兒童可以用一種新的眼光去打量!也正是在這個(gè)意義上，弗賴登塔爾說(shuō)，“與其說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)形式，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)形式化；與其說(shuō)是學(xué)習(xí)公理，毋寧說(shuō)是學(xué)習(xí)公理化”!