徐順湘

數(shù)學(xué)概念不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的重要組成部分，也是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要內(nèi)容。實踐證明，加強(qiáng)概念教學(xué)是切實提高小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的有效策略。筆者認(rèn)為，在當(dāng)前積極開展教學(xué)有效性研究的背景下，應(yīng)該努力探尋提高數(shù)學(xué)概念教學(xué)有效性的策略。

一、引入要恰當(dāng)

1.引入的情境要突出概念的本質(zhì)特征。

借助直觀具體、生動形象的情境引出概念，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，有助于學(xué)生對概念的理解和掌握。但情境一定要與概念的本質(zhì)屬性相關(guān)聯(lián)，否則會因為遠(yuǎn)離教學(xué)內(nèi)容而影響教學(xué)效果，有時甚至產(chǎn)生誤導(dǎo)作用，將學(xué)生的思維引入歧途。

有位老師為了引出“倒數(shù)”的概念，從孫悟空騰云駕霧翻跟斗講起，弄得學(xué)生一時摸不著頭腦，真令人啼笑皆非。雖然學(xué)生對此故事情境很感興趣，但由于故事內(nèi)容不能反映“倒數(shù)”的本質(zhì)特征，因而也只能是無效的教學(xué)。

另一位老師在教學(xué)“加法交換律”時，從“朝三暮四”這個成語的典故引入，卻帶來了奇特的效果。教師講完典故后，引起學(xué)生的哄堂大笑。教師問學(xué)生為什么可笑，學(xué)生說猴子太愚蠢了，其實一天吃到的桃子是一樣多的。然后教師引導(dǎo)學(xué)生列出“3+4”和“4+3”這兩個加法算式來說明道理，進(jìn)而通過比較感知到兩個加數(shù)沒變，和也沒變，只是加數(shù)位置變了。學(xué)生在愉悅的氛圍中輕松感知了加法交換律。

2.引入的方式要符合學(xué)生的認(rèn)知特點。

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性。由于小學(xué)生的思維水平處于從形象思維為主逐步向抽象思維為主過渡的階段，因而理解和掌握概念有一定困難。教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，結(jié)合實例，聯(lián)系學(xué)生已有知識經(jīng)驗，采用直觀操作等實踐活動的形式，自然地引出概念。

例如教學(xué)“小數(shù)的意義”，教師先通過學(xué)生熟悉的元、角、分，讓學(xué)生初步感知小數(shù)。接著引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)米尺上的刻度，進(jìn)一步認(rèn)識一位小數(shù)、二位小數(shù)……通過對實例的觀察、分析比較和抽象概括，使學(xué)生從具體到抽象地理解小數(shù)的概念。

又如，我們可以借助操作活動，建立“平均分”的概念。讓學(xué)生把8根小棒分成2份，交流不同的分法。然后引導(dǎo)學(xué)生將幾種分法進(jìn)行分類，觀察、比較后讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“4根與4根”的分法的本質(zhì)特征是“每份的根數(shù)一樣多”，并指出這種分法叫平均分。

3.引入的路徑要體現(xiàn)概念產(chǎn)生的背景。

教師要根據(jù)概念產(chǎn)生的不同背景，因“材”施教，選定最佳的引人路徑，盡力排除非本質(zhì)屬性的干擾，讓學(xué)生盡快觸及概念的本質(zhì)特點，體現(xiàn)概念建立過程的高效化。

例如，在教學(xué)“質(zhì)數(shù)、合數(shù)”時，有位老師先組織學(xué)生操作學(xué)具：分別用2個、3個、4個……20個小正方形去擺成一個長方形，然后引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)擺出的長方形個數(shù)與小正方形的個數(shù)之間的聯(lián)系，再逐步引到質(zhì)數(shù)、合數(shù)。殊不知，教者刻意追求創(chuàng)新，不僅在擺長方形上花費了大量的時間，還人為地增加了非本質(zhì)屬性的干擾，反而影響了對概念的直接感知，真是得不償失。其實，可以利用約數(shù)的概念直接引入質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念。讓學(xué)生先分別求出一些自然數(shù)的約數(shù)，然后根據(jù)一個數(shù)有幾個約數(shù)進(jìn)行分類，從分類情況便可引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)。這才是引入質(zhì)數(shù)、合數(shù)概念最簡捷的路徑。

二、感知要到位

教學(xué)中，教師要根據(jù)概念的具體特點，精心組織感知活動，為形成表象進(jìn)而抽象概括出概念提供堅實的基礎(chǔ)。

1.感知要全面。

首先，提供的感性材料要注意形式上的充足性。如教學(xué)“認(rèn)識長方體、正方體”時，我們可以引導(dǎo)學(xué)生觀察幾組對比鮮明的長方體實物：大小懸殊的兩個長方體——藥箱和粉筆盒；空心和實心的兩個長方體——木塊和玻璃缸；質(zhì)地不同的兩個長方體；顏色不同的兩個長方體，等等。通過觀察，然后進(jìn)行抽象概括，撇開材料、大小、顏色等非本質(zhì)屬性，而只注意它們的形狀，從而明確了這些物體都是長方體。

其次，提供的感性材料要注意內(nèi)容上的完整性。如教學(xué)“認(rèn)識角”時，既要讓學(xué)生感知直角、銳角、鈍角等不同種類的角，又要注意變化角的大小和角的開口方向，這樣才能獲得對角的清晰認(rèn)識。又如教學(xué)“比的意義”，就不能在感知了兩個同類量的比以后就急于概括出比的概念，而應(yīng)該進(jìn)一步感知兩個不同類量的比，從而讓學(xué)生對比形成完整的認(rèn)識。

再次，提供感性材料時要注意方法上的多樣性。如在幾何概念教學(xué)中，可先通過實物呈現(xiàn)讓學(xué)生直觀獲得感知覺、表象的觀念，然后輔以模型，借助于著色、放大、對比、反襯、動態(tài)等手段，使本質(zhì)特征與非本質(zhì)特征產(chǎn)生強(qiáng)烈對比，使學(xué)生感性認(rèn)識的范圍加以擴(kuò)大，從而突出事物的本質(zhì)特征。與此同時，通過語言的直觀描述喚起學(xué)生生動的表象，從而使感性材料的來源更豐富多樣。

2.感知要鮮明。

在引導(dǎo)學(xué)生感知的過程中，要有明確的感知目標(biāo)，并逐漸加大對概念本質(zhì)特征刺激的強(qiáng)度。如教學(xué)“比的意義”時，我從猜粉筆支數(shù)的游戲引入：第一次左手拿2支白粉筆，右手拿4支紅粉筆；第二次左手拿3支白粉筆，右手拿6支紅粉筆；第三次左手拿4支白粉筆，讓學(xué)生猜右手該拿幾支紅粉筆，并說一說是怎么想的。根據(jù)學(xué)生回答，板書出4÷2=2，2÷4=1/2；6÷3=2，3÷6=1/2；8÷4=2，4÷8=1/2這三組算式，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)白粉筆與紅粉筆之間存在著倍數(shù)關(guān)系，也就是兩個數(shù)相除的關(guān)系。再出示例1，啟發(fā)學(xué)生想一想2杯果汁和3杯牛奶是否也存在兩個數(shù)相除的關(guān)系。由此引入果汁杯數(shù)是牛奶杯數(shù)的2/3，也可以說成果汁杯數(shù)與牛奶杯數(shù)的比是2:3，2/3和2:3都表示出2和3這兩個數(shù)相除的關(guān)系。引入比的概念后，讓學(xué)生進(jìn)一步理解牛奶杯數(shù)與果汁杯數(shù)的比表示的就是3÷2。接著出示例2，根據(jù)路程、時間和速度之間的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生很容易理解路程與時間之間也存在兩個數(shù)相除關(guān)系，因而同樣可用比來表示，而時間和速度之間存在的是兩個數(shù)相乘的關(guān)系，是不能用比來表示的。這樣，概括比的意義便水到渠成學(xué)生對比與分?jǐn)?shù)、除法之間的聯(lián)系自然就會十分清楚。

3.感知要遞進(jìn)。

學(xué)生對事物的認(rèn)識是由表及里、由淺入深遞進(jìn)式發(fā)展的。因而教學(xué)中要十分重視概念的感知過程，引導(dǎo)學(xué)生漸漸“逼近”對概念本質(zhì)特征的認(rèn)識。

如教學(xué)“認(rèn)識角”時，先出示學(xué)生熟悉的五角星、三角板，讓學(xué)生指出其中的角，憑借日常概念一般學(xué)生都以為尖的地方就是角，這時教師有意識地把三角板放在黑板上，按照學(xué)生所指的地方畫下來。當(dāng)拿去三角板，看到黑板上畫的是一個點時，學(xué)生才恍然大悟。經(jīng)教師啟發(fā)誘導(dǎo)，學(xué)生再次指的時候不僅指出了角的頂點，還指出了角的兩條邊。這時，學(xué)生看著黑板上留下的圖形，就對角形成了初步的表象。在進(jìn)一步豐富感知的基礎(chǔ)上，通過求同思維，很容易獲得“角有一個頂點，兩條邊”的認(rèn)識。學(xué)生的感知經(jīng)歷了一個從模糊到清晰的遞進(jìn)過程。

4.感知要深刻。

感知活動不能浮于表面，而應(yīng)真正觸及并涵蓋概念

的全部意義，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入對概念透徹理解的層面，使概念的建立既深刻又牢固。如教學(xué)“認(rèn)識分?jǐn)?shù)”時，我設(shè)計了一系列感知活動，讓學(xué)生獲得對1/2全面而深刻的認(rèn)識。(1)用圓形紙片代替蛋糕，把它平均分成2份，理解1/2的實際意義。(2)要求學(xué)生用多種材料也得到它們的1/2，拓展1/2的實際意義。(3)觀察比較大小懸殊的兩個蛋糕的1/2，幫助學(xué)生初步建立單位“1”的概念，即弄清“是誰的1/2”。(4)用自己喜歡的方式(畫圖或?qū)嶋H操作)表示出1/2，從實際意義上升到抽象意義。

三、抽象要適時

1.把握好抽象的“火候”，及時擺脫對于直觀感知的依賴。

學(xué)生由直觀感知所獲得的對于概念的認(rèn)識是粗略的、膚淺的，而且具有局限性和片面性。若能及時喚起他們頭腦中的有關(guān)表象，發(fā)揮表象的中介作用，就可以使學(xué)生逐步擺脫對于具體感知材料的依賴，克服直觀感知中的局限性。以此為基礎(chǔ)進(jìn)行抽象概括活動，就能揭示概念的內(nèi)涵，使學(xué)生最終形成概念。因此，能否及時擺脫對直觀感知的依賴，反映出學(xué)生對概念的認(rèn)識水平。

如教學(xué)“11～20各數(shù)的認(rèn)識”，教師把握了抽象的時機(jī)，在直觀感知建立計數(shù)單位“十”以后，幫助學(xué)生及時上升到抽象思維水平。(1)通過拿鉛筆的活動，讓學(xué)生知道12支鉛筆可以一支一支地拿，也可以1捆帶2支地拿，感知引進(jìn)計數(shù)單位“十”的必要性。(2)舉出生活中10個一包裝成一份的例子，感受計數(shù)單位“十”的應(yīng)用價值。(3)把10根小棒捆成一捆，建立計數(shù)單位“十”，強(qiáng)化對10個一就是一個十的認(rèn)識。(4)應(yīng)用計數(shù)單位“十”，通過擺小棒抽象出對11～20各數(shù)的認(rèn)識。如用1捆帶3根小棒表示13后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生離開小棒理解13就是1個十和3個一，反之一個十和3個一就組成13。(5)認(rèn)識11～20各數(shù)的大小和順序，培養(yǎng)數(shù)感。

2.體現(xiàn)教學(xué)的層次性，逐步提高抽象程度。

由于受小學(xué)生認(rèn)知能力的制約和知識本身比較抽象的影響，有時需引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷一個分層次逐步抽象的過程，讓他們拾級而上，步步為營，確保達(dá)到一定的抽象程度。

例如，在學(xué)生已經(jīng)初步理解可能性的基礎(chǔ)上，為了讓學(xué)生建立“等可能性”的概念，我安排了4個層次的教學(xué)活動。

(1)猜一猜。出示裝有3個紅球、3個黃球的袋子，讓學(xué)生猜一猜：從中隨意摸出一個球可能會是什么顏色的球?假如把摸出的球再放入袋中，再從中隨意摸一個，如此重復(fù)40次，摸到兩種球的次數(shù)會是怎樣的?由于學(xué)生生活經(jīng)驗和思維水平的差異，會作出不同的判斷，從而產(chǎn)生實驗驗證的需要，同時激起學(xué)生的探究興趣。

(2)摸一摸。學(xué)生分小組操作，并對摸球結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計。在每一組交流摸球結(jié)果后，引導(dǎo)學(xué)生說一說觀察每一組摸到兩種球的次數(shù)后的發(fā)現(xiàn)。這里只要讓學(xué)生初步感知到兩種球出現(xiàn)的次數(shù)都較接近。

(3)算一算。把兩個組、三個組……所有組的實驗結(jié)果，逐次相加，并分別觀察兩種球出現(xiàn)的次數(shù)，你又發(fā)現(xiàn)了什么?至此，讓學(xué)生感知到隨著摸球次數(shù)的不斷增加，兩種球出現(xiàn)的次數(shù)越來越接近，由此抽象出“兩種球出現(xiàn)的次數(shù)差不多”。

(4)想一想。引導(dǎo)學(xué)生想象，當(dāng)摸球次數(shù)增加到無限多時，摸到兩種球的可能性大小會怎樣?“等可能性”的概念便呼之欲出。

四、鞏固要及時

1.注重概念的理解。

一方面要幫助學(xué)生理解概念的內(nèi)涵。其主要方法有：(1)判斷。如運用三角形概念判斷所提供的圖形是一不是三角形并說明理由，讓學(xué)生進(jìn)一步明確三角形的本質(zhì)特征。(2)舉例?？梢宰寣W(xué)生舉實例進(jìn)一步解釋概念，使概念具體化，也可舉反例強(qiáng)化對概念內(nèi)涵的理解。如用足球場上的比分強(qiáng)化對比的意義的理解。(3)變式。如教垂直概念時，可運用變式方法畫出各種不同的圖形，引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析，加強(qiáng)對垂直的理解。(4)比較。將相近易混的概念加以比較，更加突出它們的本質(zhì)屬性。如“周長”和“面積”可從意義、計量單位等方面進(jìn)行比較。

另一方面要幫助學(xué)生理解概念的外延。其主要方法有：(1)強(qiáng)化。如讓學(xué)生判斷百15/24能否化成有限小數(shù)。教師故設(shè)疑問：這個分?jǐn)?shù)分母中含有因數(shù)3怎么也能化成有限小數(shù)呢?是不是與得到的結(jié)論相矛盾呢?由此，強(qiáng)化了一個分?jǐn)?shù)能否化成有限小數(shù)是在“一個最簡分?jǐn)?shù)”前提下歸納出來的。(2)補充。概念揭示的是事物的一般性，對于特殊性必須作補充說明，從而獲得全面認(rèn)識。如認(rèn)識長方體后，讓學(xué)生知道有兩個相對的面是正方形的長方體以及正方體都是特殊的長方體。(3)擴(kuò)展。即對概念的適用范圍作一定的拓展和延伸。如，對于乘法分配律，可出現(xiàn)(a+b+c)d=ad+bd+cd、(a-b)c=ac-bc等形式。

2.注重概念的應(yīng)用。

數(shù)學(xué)概念主要是在應(yīng)用中得到鞏固的。通過概念的應(yīng)用，除了能加深學(xué)生對概念的理解，促進(jìn)概念的鞏固外，還有利于啟迪學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。同時，通過概念應(yīng)用，可以檢驗學(xué)生理解和掌握概念的情況，以便及時彌補。小學(xué)數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用形式大致有：應(yīng)用概念進(jìn)行判斷；應(yīng)用概念分析推理；應(yīng)用概念分析數(shù)量關(guān)系，指導(dǎo)計算；概念的綜合應(yīng)用。

3.注重概念的建構(gòu)。

數(shù)學(xué)概念之間存在著種種的關(guān)系，如交叉關(guān)系、反對關(guān)系、并列關(guān)系、種屬關(guān)系等。當(dāng)人們頭腦中建立了概念間的這些聯(lián)系時，就形成了一定的概念系統(tǒng)。幫助學(xué)生逐步建立一定的概念系統(tǒng)，這是概念教學(xué)的重要組成部分。在概念的系統(tǒng)中教學(xué)概念，學(xué)生容易理解，容易掌握。比如，教某一新概念時，講清它的來龍去脈，將它納入到原有的概念系統(tǒng)中去，不但能使學(xué)生全面、深刻地理解新概念，而且還能使原有概念得到充實和發(fā)展，更加鞏固。同時，由于系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的知識具有良好的抗遺忘作用，所以，建立概念結(jié)構(gòu)，有利于學(xué)生掌握概念，鞏固概念。