張金風(fēng)　高向斌

一、 研討課簡(jiǎn)介

為了深化課堂教學(xué)改革，由北京師范大學(xué)裴娣娜教授主持的全國(guó)教育科學(xué)“十五”規(guī)劃國(guó)家重點(diǎn)課題《主體教育視野下課堂教學(xué)改革的深化研究》課題組在北京召開(kāi)了數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革研討會(huì)。在會(huì)上，有六節(jié)研討課，各有特色。展現(xiàn)出在新課程實(shí)施中，在總課題組指導(dǎo)下，成員校數(shù)學(xué)教師的精神面貌。本文將針對(duì)八年級(jí)研討課《等腰三角形復(fù)習(xí)課》進(jìn)行分析?！兜妊切螐?fù)習(xí)課》的總體思路是，通過(guò)學(xué)生用尺規(guī)作圖的方法，在一個(gè)給定的基本圖形上作出各種不同的等腰三角形，進(jìn)而對(duì)所作出的圖形進(jìn)行分析，設(shè)計(jì)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在分析和解決問(wèn)題的過(guò)程中運(yùn)用三角形全等、作輔助線等方法證明線段之間的等量關(guān)系。教師在引導(dǎo)分析的過(guò)程中，設(shè)計(jì)了兩個(gè)幾何問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，對(duì)于每個(gè)問(wèn)題的解決方法，都是由學(xué)生提出，教師再進(jìn)行引導(dǎo)和分析，也有學(xué)生在黑板上講述自己的方法的安排。課堂井然有序，課堂氣氛活躍。顯示了學(xué)生是學(xué)習(xí)主體的特點(diǎn)。在教學(xué)手段上，教師運(yùn)用兒何畫(huà)板，設(shè)計(jì)周詳，可見(jiàn)教師課前做了大量準(zhǔn)備工作，教學(xué)態(tài)度嚴(yán)謹(jǐn)。經(jīng)幾位專(zhuān)家點(diǎn)評(píng)，認(rèn)為是一節(jié)較好的幾何課。為了研討，本次課在事先沒(méi)有專(zhuān)家的指導(dǎo)，所以是一節(jié)幾近自然的課，對(duì)這節(jié)課進(jìn)行片段分析，就很有意義。

二、 片段分析

片段一。教師給出下面問(wèn)題，引入復(fù)習(xí)課。

如圖1，已知一條直線L和L外的一點(diǎn)A，O是直線L上的一點(diǎn)，試用尺規(guī)作出過(guò)A、O兩點(diǎn)，另外一點(diǎn)在L上的等腰三角形。

教師：同學(xué)們看這個(gè)題目，誰(shuí)能給出解答呢?

學(xué)生1、以A為圓心，以AO為半徑畫(huà)弧，與直線L交于兩點(diǎn)O，B，則三角形AOB便是所求。

教師：（用幾何畫(huà)板做出圖2）啊，很好，誰(shuí)還有不同的想法?

學(xué)生2、以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑畫(huà)弧，與L交于兩點(diǎn)，則可得兩個(gè)等腰三角形

教師：（用兒何畫(huà)板作圖3）非常好。這位同學(xué)這樣一來(lái)，又得到兩個(gè)等腰三角形。但是，我們想想，還有別的作法嗎？

學(xué)生3、過(guò)AO的中點(diǎn)作線段AO的垂線，與直線L交于一點(diǎn)E，連結(jié)AE，則三角形OAE就是一個(gè)等腰三角形。

教師對(duì)這個(gè)同學(xué)提出表?yè)P(yáng)。同時(shí)在黑板上簡(jiǎn)單地作了一條垂線，指出這也是一種情況。引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)分類(lèi)討論的方法，指出，求以一條線段為邊的等腰三角形要考慮各種不同的情況。遇到這種情況時(shí)要分類(lèi)討論。

接著，教師就在幾何畫(huà)板上將圖形3去掉線段AD，得到下面的圖形4。

教師提議，大家先探討這個(gè)圖形中角之間的關(guān)系。

分析：教師在復(fù)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)時(shí)，不是直接提出如：大家想想等腰三角形有什么性質(zhì)之類(lèi)的問(wèn)題，而是通過(guò)作圖，首先使學(xué)生能夠全面地理解一個(gè)問(wèn)題，考慮符合要求的所有情況。教師適時(shí)提出分類(lèi)考慮，突顯數(shù)學(xué)思維的完備性。使學(xué)生在全面考慮問(wèn)題的過(guò)程中，自然地產(chǎn)生出一個(gè)較復(fù)雜的圖形，便于進(jìn)一步通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生在已知圖形中識(shí)別等腰三角形的角的關(guān)系，引出更復(fù)雜的探討過(guò)程，這樣，就容易培養(yǎng)學(xué)生面對(duì)已知圖形，利用已知條件進(jìn)行觀察和分析圖形性質(zhì)的習(xí)慣和方法。體現(xiàn)了復(fù)習(xí)課并不只是對(duì)已學(xué)知識(shí)的簡(jiǎn)單重復(fù)，還需要激發(fā)學(xué)生探索興趣的特點(diǎn)。是一個(gè)好的引入。

片段二。很快，學(xué)生就根據(jù)等腰三角形底角相等，得到在圖4中，∠B=∠AOB=2∠C。

此時(shí)，教師又提出一個(gè)問(wèn)題：

如果在圖形4中，保留下∠B=2∠C這個(gè)條件，我們來(lái)探討，一個(gè)角是另一個(gè)角的二倍的三角形有何性質(zhì)？

分析：這里教師引導(dǎo)學(xué)生從分析三角形角的關(guān)系，到在所涉及圖形中，確定一個(gè)已知關(guān)系的情況下，探索圖形的其他性質(zhì)，體現(xiàn)出復(fù)習(xí)課的探索性質(zhì)。這個(gè)問(wèn)題提得很有價(jià)值。從課堂反應(yīng)中可以看到，學(xué)生對(duì)等腰三角形角的關(guān)系已經(jīng)很熟悉了，此時(shí)，教師不失時(shí)機(jī)提出一些具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生思維保持活躍有很大作用。

片段三。教師看到學(xué)生們探索無(wú)果，便出示一個(gè)問(wèn)題，說(shuō)：老師這里提醒大家，在三角形中，有一條重要線段，是高，（隨即在幾何畫(huà)板上作出邊BC的高AH，并把圖4中的AO去掉，如圖5），看學(xué)生還是茫然，教師便把事先設(shè)計(jì)好的問(wèn)題拿出：同學(xué)們，看看你們會(huì)不會(huì)證明：

如圖5，在三角形ABC中，己知∠B=2∠C，AH是邊BC上的高。求證：CH=AB+BH

學(xué)生們便忙于此問(wèn)題的解決中……

分析：這個(gè)問(wèn)題是教師預(yù)先設(shè)計(jì)好讓學(xué)生解決的，但這么早就出示這個(gè)問(wèn)題，就使剛才的探索活動(dòng)成了一種形式。而這節(jié)課也便成為一節(jié)習(xí)題課了。這里有一點(diǎn)要說(shuō)明的是，教師讓學(xué)生探索，首先應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生一起探索，在本片段中，我們?cè)O(shè)想，如果教師與學(xué)生共同分析圖形4中線段之間的關(guān)系，學(xué)生不難理解：CO=AO=AB，那么在那個(gè)圖形中，由等量性質(zhì)，有CO+OB=AB+OB。這樣就可以設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題：在圖形4中，求證：CB=AB+OB；但教師可以提醒學(xué)生，這樣問(wèn)題太簡(jiǎn)單，再變一下。如果將OB分為相等的兩部分，等式兩邊都去掉一部分，結(jié)合等腰三角形底邊上的高的性質(zhì)就可以得到上面的問(wèn)題。這樣，這個(gè)問(wèn)題就可以看成是由教師和學(xué)生經(jīng)過(guò)對(duì)已知圖形的研究，共同分析出來(lái)的，給學(xué)生一種“編題”的體驗(yàn)。而這種探索活動(dòng)也顯得更自然了。同時(shí)破除學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的神秘感，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信，產(chǎn)生“數(shù)學(xué)問(wèn)題我也能編”的體驗(yàn)，從而能夠?qū)@種問(wèn)題的思想方法有更多的體會(huì)。接著，教師可以再提出，我們編寫(xiě)這道題根據(jù)的條件是：∠B=2∠C，大家可以在課后繼續(xù)考慮：如果∠B是∠C的3倍、4倍，……時(shí)，是否也可以分析編題，這樣可無(wú)形中滲透從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法。

片段四。學(xué)生分析：作線段AO，O在CB上，使AO=AB，BH=HO……

教師強(qiáng)調(diào)：作圖時(shí)用圓規(guī)，這樣就自然一些，作圖不能同時(shí)要求滿足兩個(gè)條件，作一個(gè)條件，另外的條件需要證明。同時(shí)，教師提出：這是一個(gè)線段等量關(guān)系的證明問(wèn)題，大家回憶一下，有什么知識(shí)可以證線段相等？（學(xué)生舉手）

教師讓一個(gè)學(xué)生上黑板講了這個(gè)題的證明。（過(guò)程略）

教師：大家對(duì)他的表現(xiàn)給予鼓勵(lì)。（全班鼓掌），接著教師提出讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)解決這個(gè)問(wèn)題的感受。

一學(xué)生：做題時(shí)不光從題目來(lái)看，要利用題目給定的條件。

分析：就題論題地看，盡管教師沒(méi)有引導(dǎo)學(xué)生編寫(xiě)問(wèn)題的全過(guò)程，但學(xué)生還是覺(jué)得這個(gè)題是由圖4而來(lái)，所以，學(xué)生上來(lái)就要作AO=AB。學(xué)生的分析和對(duì)問(wèn)題的順利解決使教師輕松地進(jìn)入下一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。但在這個(gè)片斷中，如果教師先引導(dǎo)學(xué)生考慮證明一線段等于另外兩線段之和時(shí)線段之間轉(zhuǎn)化的方法，則就會(huì)使學(xué)生在分析解決問(wèn)題的同時(shí)受到數(shù)學(xué)思考方法的熏陶。具體地說(shuō)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)如下兩種方法：一種是把較長(zhǎng)線段分成兩部分，在本題就是在CH上找一點(diǎn)O，使得OH=HB；另一種是把較短線段延長(zhǎng)使兩線合一，在本題中，就可以考慮延長(zhǎng)AB到D，使BD=BH。當(dāng)然這些方法要讓學(xué)生掌握，教學(xué)形式又是多種多樣的。

片段五。教師：在三角形中，剛才我們考慮了一個(gè)重要線段：高，現(xiàn)在我們?cè)倏纯唇瞧椒志€，請(qǐng)看下面的問(wèn)題：如圖6，正三角形ABC中，已知，∠B=2∠C，AM平分∠BAC，求證：AB+BM=AC

分析：在這里，還是教師提出問(wèn)題，讓學(xué)生解決。如果教師在解決了上面的問(wèn)題后，再提出：三角形的重要線段有哪些？教師可以就學(xué)生的回答列出高、中線、角平分線。那么剛才的問(wèn)題是圍繞BC邊上的高提出的，如果以其他重要線段為出發(fā)點(diǎn)，在∠B=2∠C的基礎(chǔ)上，能否再設(shè)計(jì)一些線段等量關(guān)系問(wèn)題呢？在課堂上就圍繞∠A的平分線展開(kāi)分析，與學(xué)生一起設(shè)計(jì)問(wèn)題，而把其他情況的設(shè)計(jì)留在課后，這樣比直接給出問(wèn)題要更有價(jià)值。

片段六。教師：這個(gè)問(wèn)題同樣要作輔助線，怎么作呢？請(qǐng)同學(xué)討論，并派代表講明白。（同學(xué)討論一會(huì)兒）

一學(xué)生：在AC上取D，使AD=AB；

教師充分肯定了該同學(xué)的作法，并在此基礎(chǔ)上分析，由此可以找到全等三角形，由全等關(guān)系證明所求。具體方法：如圖7，在AC上取一點(diǎn)D，使AD=AB，則只要證明DC=MB，連結(jié)MD，我們可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)全等三角形。

學(xué)生：△AMD和△AMB。

教師：為什么？由此能得到什么？

學(xué)生：（解釋原因略）可以得到：DM=MB。

然后再證明DM=DC即可。

另一學(xué)生：由已知條件可知，∠B=2∠C，因此，∠ADM=2∠C，可見(jiàn)，∠DMC等于∠C，所以三角形DCM是等腰三角形?？傻肈M=DC。

教師：很好。接著讓學(xué)生談作輔助線的方法，總結(jié)歸納，并在大屏幕上放了一段波利亞的語(yǔ)錄。課結(jié)束。

分析：教師就學(xué)生提出的一種輔助線給出較詳細(xì)的分析與解答，讓學(xué)生充分表達(dá)了自己的想法，交流大方得體，交流效果明顯。據(jù)課堂觀察學(xué)生的表情和態(tài)度，可以發(fā)現(xiàn)班里所有同學(xué)確實(shí)是理解了這個(gè)方法。但如果結(jié)合第一個(gè)問(wèn)題，教師再?gòu)倪@種問(wèn)題解決的一般證明思路上去分析，提示學(xué)生運(yùn)用另一種證明方法，就是延長(zhǎng)AB到D，使BD=BM，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求證AD=AC，再找全等三角形（三角形ACM與三角形ADM），利用已知條件給出證明（如圖8）。那樣這節(jié)課就會(huì)更加圓滿。如果課堂時(shí)間較緊，也可以啟發(fā)學(xué)生把思路提出，把具體證明留為課后作業(yè)。但在課快要結(jié)束時(shí)，老師在大屏幕上出示數(shù)學(xué)家波利亞的一句話，課堂看似很完整，但筆者認(rèn)為，這只是一種形式，沒(méi)有挑戰(zhàn)性，也不會(huì)給學(xué)生留下深刻印象，不如就今天的課，給學(xué)生一些提示，讓學(xué)生在課后編寫(xiě)一些問(wèn)

題，使學(xué)生在編題的過(guò)程中體會(huì)波利亞的語(yǔ)錄的真正內(nèi)涵。

三、 總結(jié)

從總體上看，這節(jié)課可以說(shuō)是一節(jié)成功的課。在課堂上，教師語(yǔ)言溫和生動(dòng)，親切，師生互動(dòng)頻繁，學(xué)生能夠積極地投入到教師設(shè)定的問(wèn)題的分析和解決上來(lái)。而且教師幾次巧妙地糾正了學(xué)生在作圖和證明中存在的問(wèn)題，處理方法自然大方，沒(méi)有傷害學(xué)生的自尊心和探索的積極性。學(xué)生之間也能夠就教師設(shè)定問(wèn)題的解決方法進(jìn)行認(rèn)真討論，生生合作氛圍濃厚。充分體現(xiàn)了主體教育的課堂教學(xué)理念。能夠看出來(lái)，通過(guò)本節(jié)課的教學(xué)，教師預(yù)先設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)都圓滿地達(dá)到了。當(dāng)然，一節(jié)課即使是精心準(zhǔn)備，經(jīng)過(guò)專(zhuān)家指導(dǎo)，存在問(wèn)題也是在所難免的，何況是一節(jié)幾近自然的課。對(duì)課的分析，就是要找出問(wèn)題，以利于教師的進(jìn)一步反思和提高。通過(guò)分析這節(jié)研討課至少給我們下面幾點(diǎn)啟示：第一、有條件的話，在幾何課上應(yīng)有效地使用幾何畫(huà)板。幾何畫(huà)板能夠更直觀、準(zhǔn)確地呈現(xiàn)所要的幾何圖形。這對(duì)于提高幾何課的直觀性，節(jié)約作圖的時(shí)間，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣都能發(fā)揮很大的作用。也可以鼓勵(lì)學(xué)生使用，從中感受幾何的魅力。當(dāng)然，這并不意味著幾何課上不用黑板，而是要針對(duì)所學(xué)內(nèi)容，把幾何畫(huà)板的有效使用與黑板的有效使用結(jié)合起來(lái)，揚(yáng)長(zhǎng)避短，發(fā)揮幾何課在培養(yǎng)學(xué)生思維中的整體作用。本節(jié)課中教師在這方面做得就很好。第二，幾何課中教師要加大對(duì)學(xué)生提出和設(shè)計(jì)問(wèn)題方法的引導(dǎo)。許多教師反應(yīng)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生提出問(wèn)題，可是學(xué)生提不出來(lái)，還是教師提出問(wèn)題讓學(xué)生分析和解決比較自然。其實(shí)，提出問(wèn)題也是一種學(xué)習(xí)過(guò)程，學(xué)生必須經(jīng)歷、參與在教師引領(lǐng)下提出問(wèn)題的全過(guò)程，學(xué)會(huì)提出問(wèn)題的方法。如在本課的片段三和片段五中，教師完全可以把課設(shè)計(jì)成探索型的，讓學(xué)生在探索設(shè)計(jì)問(wèn)題、在“編題”中體會(huì)方法，在片段三、六中可以給學(xué)生留下一些懸念，使學(xué)生在課后繼續(xù)課上的思維。第三，數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)更應(yīng)注意對(duì)所涉及材料中數(shù)學(xué)思想方法的挖掘。評(píng)課時(shí)專(zhuān)家們的共識(shí)是：一節(jié)好的數(shù)學(xué)課應(yīng)該是把先進(jìn)的教學(xué)觀念和精妙的數(shù)學(xué)思想的展現(xiàn)有機(jī)結(jié)合起來(lái)的過(guò)程。但這種結(jié)合的最重要的部分是教師對(duì)數(shù)學(xué)思想的把握和有效示范。如在本課中，在提出問(wèn)題的環(huán)節(jié)中應(yīng)該進(jìn)一步挖掘歸納、類(lèi)比等思想，在解決問(wèn)題的環(huán)節(jié)中應(yīng)更進(jìn)一步挖掘分類(lèi)討論，化歸轉(zhuǎn)化等思想方法。

（責(zé)任編輯劉永慶）