摘要：分形函數(shù)的研究在分形幾何中占有重要的地位，在分形函數(shù)的研究中分形維數(shù)的討論則是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)手段。由迭代產(chǎn)生的分形函數(shù)的維數(shù)已基本解決。文章對另一類分形函數(shù)進(jìn)行了研究，并用網(wǎng)立方體與函數(shù)相交的方法對該分形函數(shù)的Box維數(shù)的上下界、填充維及Hausdorff維數(shù)上界進(jìn)行了估計(jì)，同時(shí)討論了該分形函數(shù)Holder條件，并把結(jié)果推廣到了Bush函數(shù)，最終使該分形函數(shù)的一些分形性質(zhì)得到了解決。
　　關(guān)鍵詞：b-進(jìn)制；分形函數(shù)；Box維數(shù)；Hausdorff維數(shù)；填充維數(shù)
　　
　　一、引言
　　
　　19世紀(jì)，人們了解了連續(xù)和可微的性質(zhì)及二者之間的關(guān)系，隨之一個(gè)處處連續(xù)、點(diǎn)點(diǎn)不可微的函數(shù)是否存在成為研究熱門。在一代代科學(xué)家的研究推動下，近年來，隨著一門新興的數(shù)學(xué)分支-分形幾何的誕生及迅猛發(fā)展，無處可微連續(xù)函數(shù)已成為分形幾何的一類重要研究對象，對于分形函數(shù)復(fù)雜性的分析在分形學(xué)中不僅具有重要的理論意義，而且具有重要的應(yīng)用價(jià)值。楊曉玲、王宏勇等人研究了Kiesswetter函數(shù)、Bush函數(shù)等一些分形函數(shù)的有關(guān)問題。楊衛(wèi)國對Bush函數(shù)進(jìn)行了推廣，構(gòu)造了一類新的函數(shù)并證明了它的連續(xù)不可微性，本文將在《一類連續(xù)不可維函數(shù)的分形性質(zhì)》研究的基礎(chǔ)上對由《一類無處可微連續(xù)函數(shù)》構(gòu)成的二元分形函數(shù)的一些分形性質(zhì)進(jìn)行研究討論。
　　
　　二、基本概念
　　
　　定義1：設(shè)x∈[0，1]，其b進(jìn)制小數(shù)表示為：
　　x=0.x1x2……xn…＝
　　xn∈{0，1，2，…，b-1}
　　定義函數(shù)：
　　u＝f（x）＝ uk（ ）k ①
　　其中λ＞0，b是大于2的整數(shù)，u1=1，當(dāng)k≥2時(shí)
　　uk＝uk-11- uk-1
　　文獻(xiàn)《一類無處可微連續(xù)函數(shù)》證明了該函數(shù)若滿足λ＞1時(shí)，b＞1+λ；0＜λ≤1時(shí)，b＞1+ 則是一類無處可微連續(xù)函數(shù)。
　　定義2：設(shè)F是Rn上任意非空的有界子集，Nδ（F）是直徑最大為δ，可以覆蓋F的集的最少個(gè)數(shù)，則F的上下計(jì)盒維數(shù)分別定義為：
　　dimBF=
　　dimBF=
　　如果這兩個(gè)值相等，則稱這共同的值為F的計(jì)盒維數(shù)或盒維數(shù)。記為dimBF=。
　　定義3：設(shè)E 為Rn中的一非空有界集，對δ>0，集合E 的一個(gè)δ-填充指的是球心在E上，半徑最多為δ的互不相交的可數(shù)球族。對s≥0，定義Pδs（E）＝sup{Σ|Ui|s：{Ui}}為E的δ-填充}，那么PSδ（E）為δ的非增函數(shù)，故可取極限ps0（E）＝ Psδ（E），但P0S（E）不是一個(gè)測度，因?yàn)樗粷M足可數(shù)可加性。為此，定義Ps（E）＝inf P0s（Ei）：E?奐∪ Ei。其中下確界是對E的所有可數(shù)覆蓋集而取。這是Rn上一個(gè)測度，稱為s維填充測度。集合E 的填充維數(shù)dimp（E）=inf{s：Ps（E）＝0}＝sup{s：Ps（E）＝∞}。
　　定義4：由《一種新的Bush型分形曲面及其維數(shù)》構(gòu)造如下二元函數(shù)：
　　I2=[0，1]×[0，1]?奐R2，對任意x，y∈[0，1]，其分形b-進(jìn)制表達(dá)式分別為：
　　x=0.x1x2…xk…=
　　xk∈（0.1，…，b-1）②
　　y=0.y1y2…yk…＝
　　yk∈（0.1，…，b-1）③
　　定義I2的二元函數(shù)：
　　z=g（s，y）＝p（x，y）f（x）+q（x，y）f（y）④
　　p（x，y），q（x，y）為定義在I2的兩個(gè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，且對任意（x，y）∈I2都有p（x，y）≠0，f（x）是①所定義的函數(shù)，顯然④所定義的函數(shù)是I2上的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)λ＞0，b＞1+λ或λ≤1，b＞1+ 時(shí)是處處連續(xù)不可微的。
　　令G表示g（x，y）的圖像，G＝graph={（x，g（x，y））：（x，y）∈I2}，令osc（g，Δ）為g（x，y）在任意區(qū)間Δ?奐I2上的最大，osc（g，Δ）＝sup{θ|g（x，y）-g（x'，y'）|：（x，y），（x'，y'）∈Δ}。
　　引理1：dimPF≤dimBF；
　　引理2：設(shè)F?奐Rn是緊集，且對所有與F相交的開集
　　dimB（F∩V）=dimBF，則dimPF＝dimBF；
　　引理3：設(shè)E是Rn中非空有界集，則dimHE≤dimBE。
　　
　　三、主要定理
　　
　　定理1：G的Box維上下界滿足條件：
　　0＜λ≤1，b＞ ，3-logb ≤dimBG≤dimBG≤3-logb1+λ；
　　λ＞1，b＞1+λ，3-logb1+λ≤dimBG≤dimBG≤3-logb 。
　　證明：對任意（x，y）∈I2，x，y的b-進(jìn)制表示式分別為②、③。存在一個(gè)充分大的n，使得xn＜b-1，yn＜b-1，將區(qū)間I進(jìn)行bn等份，得到b2n個(gè)小立方體Δij，i，j＝1，2，…，bn。Δij每邊的邊長為b-n。設(shè)Nn（G）為邊長為b-n的網(wǎng)立方體與G相交的個(gè)數(shù)，則對任意的（x，y），（x'，y'）∈Iij，
　　x=0.x1x2…xkxk+1…
　　x'＝0.x1'x2'…xk'xk+1'…
　　y=0.y1y2…ynyn+1…
　　y'＝0.y1'y2'…yn'yn+1'…
　　且有xk＝x'k，yk＝y(tǒng)'k1≤k≤n，b-n-1≤|x'-x|≤b-n，b-n-1≤|y'-y|≤b-n。
　　當(dāng)0＜λ≤1時(shí)，
　　f（x）-f（x'）≤21+n+1⑤
　　f（y）-f（y'）≤21+n+1⑥
　　令M1=sup{|f（x）|：x∈I}，M2為|p（x，y）|，|q（x，y）|，|px（x，y）|，|py（x，y）|，|qx（x，y）|和|qy（x，y）|在I2上的上界，則有：
　　|p（x，y）-p（x'，y'）|≤M2（|x-x'|+|y-y'|）≤2M2b-n⑦
　　|q（x，y）-q（x'，y'）|≤M2（|x-x'|+|y-y'|）≤2M2b-n⑧
　　根據(jù)⑤、⑥、⑦、⑧，我們有：
　　|g（x，y）-g（x'，y'）|≤|f（x）‖p（x，y）-p（x'，y'）|+|p（x'，y'）‖f（x）-f（x'）|+|f（y）‖q（x，y）-q（x'，y'）|+|q（x'，y'）‖f（y）-f（y'）|≤4M1M2b-n+4M2（1+ ）（1+ ）n+1≤M3[b-n+（1+ ）（ ）n+1]
　　取M3＝max{4M1M2，4M2}＞0
　　即osc（g，Δij）≤M3[b-n+（1+ ）（ ）n+1]
　　Nn（G）≤ [ +2]
　　≤ M3（1+（1+ ）（ ）n+1bn）+2
　?。?[M3（1+ （ ））nbn）+2]≤ （M3+1） （ ）nbn＜2（M3+1） （ ）nb3n
　　所以：
　　dimBG≤≤3-logb（1+λ）⑨
　　[a]表示a的整數(shù)部分。
　　當(dāng)λ＞1時(shí)，
　　|f（x）-f（x'）|≤4λ（ ）n+1和|f（y）-f（y'）|≤4λ（ ）n+1
　　|g（x，y）-g（x'，y'）|≤|f（x）‖p（x，y）-p（x'，y'）|+|p（x'，y'）‖f（x）-f（y）|+|f（y）‖q（x，y）-q（x'，y'）|+|q（x'，y'）‖f（y）-f（y'）|≤4M1M2b-n+8M2λ（ ）n+1≤M'3[b-n+λ（ ）n+1]
　　
　　取M'3＝max（4M1M2，8M2），即osc（g，Δij）≤M'3[b-n+λ（ ）n+1]
　　Nn（G）≤+2≤ [M'3（1+λ（ ）n+1bn）+2]≤ [M'3（（ ）n bn+2（ ）n bn）+2（ ）n bn≤ （ M'3+2） （ ）n bn=（3M'3+4）λ（ ）n+1b3n
　　故dimBG=≤3-logb ⑩
　　另一方面，取（x'，y）為Δij左邊上的點(diǎn)，x'可表示為：
　　x'=0.x'1x'2…x'nx'n+1…
　　則存在足夠大的n使x'n+1＜b-1，設(shè)：
　　 =0.x'1x'2…x'nb-1000…； =0.x'1x'2…x'nb-1b-100…
　　對 ， ∈Ii，有| - |＜b-n。
　　當(dāng)0＜λ≤1時(shí)，|f（ ）-f（ ）|≥（ ）n+2
　　顯然
　?。?，y），（ ，y）∈Δij
　　 |g（ ，y）-g（ ，y）|=|p（ ，y）f（ ）+q（ ，y）f（y）-p（ ，y）f（ ）-q（ ，y）f（y）≥‖p（ ，y）‖f（ ）-f（ ）|-|f（ ）[p（ ，y）-p（ ，y）]+f（y）[q（ ，y）-q（ ，y）]‖≥p0（ ）n+2-2M1M2| - |＞p0（）n+2-2M1M2b-n＝b-n（P0 ）n+2bn-2M1M2）
　　取P0＝min{|p（x，y）|：（x，y）∈I2}＞0，
　　當(dāng)n取足夠大時(shí)，且b＞ 時(shí)，我們有P0（ ）n+2bn＞4M1M2。
　　故當(dāng)n充分大時(shí)有： |g（ ，y）-g（ ，y）|≥ （ ）n+2
　　osc（g，Δij）＞ （ ）n+2{11}
　　Nn（G）≥≥ （ ）n+2b3n
　　故：
　　dimBG＝≥3-logb {12}
　　當(dāng)λ＞1時(shí)
　　|g（ ，y）-g（ ，y）|＝|p（ ，y）f（ ）+q（ ，y）f（y）-p（ ，y）f（ ）-q（ ，y）f（y）|＞P'0（ ）n+2-2M1M2b-n=b-n（P0（ ）n+2bn-2M1M2）
　　取P'0＝min{p（x，y）：（x，y）∈I2＞0
　　同樣，當(dāng)n足夠大且b＞1+λ時(shí)，我們有：
　　P0（ ）n+2bn＞4M1M2
　　則有|g（ ，y）-g（ ，y）|≥ （ ）n+2
　　即
　　osc（g，Δij）≥ （ ）n+2{13}
　　Nn（G）≥≥
　?。?）n+2 b3n
　　 G=≥3-logb（1+λ）{14}
　　由⑨、⑩、{12}、{14}定理得證。
　　定理2：當(dāng)λ＝1時(shí)，dimPG＝dimBG＝3-logb2
　　證明：由定理1，當(dāng)λ＝1易知dimBG=3-logb2且只證等式右邊即可。由引理2將I2進(jìn)行b2n0等份，每份記為Δij，i，j＝1，2，…，bn0。記Gi0j0，i0，j0＝1，2，…，bn0為V∩G所含的一體。則對任意與G相交的開集V存在一個(gè)，Δi0j0，i0，j0＝1，2，…，bn0使得G在Δi0j0的圖象GΔi0j0∈V∈G。
　　討論Gi0j0的上盒維數(shù)。對充分大n＞n0大把Δi0j0等分成b2（n-n0）個(gè)立方體σij，i，j=1，2，…，bn-n0每立方體邊長為b-n。由{13}我們有：
　　osc（g，σij）≥ （ ）n+2{13}
　　Nn（Gi0j0）≥≥ b3np0（ ）n+2
　　故dimBGi0j0＝≥3-logb {15}
　　dimB（V∩Gi0j0）≤dimBGi0j0≤dimBG≤3-logb（1+λ）{16}
　　由{15}、{16}可得：
　　3-logb ≤dimB（V∩G）≤dimBG≤3-logb（1+λ）{17}
　　當(dāng)λ＝1時(shí)，由{17}dimB（V∩Gi0j0）＝dimBG成立，由引理2得
　　dimBG＝dimPG＝3-logb2。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
　　1、楊衛(wèi)國.一類無處可微連續(xù)函數(shù)[J].數(shù)學(xué)實(shí)踐