段惠民　肖麗華

以下是大家熟悉的一個(gè)傳統(tǒng)解析幾何題：

題目 已知直線l:y=4x和點(diǎn)R(6，4)，在l上求一點(diǎn)Q，使直線RQ與l及x軸在第一象限內(nèi)所圍成的三角形的面積最小.

文［1］給出了上題的五種解法，欣賞之后，似有意猶未盡之感.

本題求出的Q點(diǎn)坐標(biāo)為(2，8)，而R點(diǎn)坐標(biāo)為(6，4)，設(shè)QR交x軸于P，則R點(diǎn)恰好為QP的中點(diǎn)，這難道是巧合?由此引發(fā)筆者思考而得出以下兩個(gè)結(jié)論.

定理1 P是∠BAC內(nèi)一定點(diǎn)，過(guò)P作直線EF交∠BAC的兩邊AB、AC于E、F，當(dāng)△AEF的面積最小時(shí)，P為EF的中點(diǎn).

證 如圖2，延長(zhǎng)AP到G，使PG=AP，過(guò)G分別作AB，AC的平行線交AB于E，AC于 F，則P是鰽EGF的中心，故P是EF的中點(diǎn)，過(guò)P任作一直線交AB于E′，交AC于F′，不妨設(shè)E′在線段AE內(nèi)，F(xiàn)′在AF的延長(zhǎng)線上，設(shè)E′F′交FG于S，則面積

S△E′EP=S△SFP

∴S△AEF

由此可見(jiàn)，上述解析幾何題實(shí)在是一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，但筆者感興趣的是它的一個(gè)類比問(wèn)題：如果P是已知三面角內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，類似的四面體體積的最小值是否也有規(guī)律可尋?

事實(shí)上，以下定理是成立的.

定理2 已知P是三面角O-ABC內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，過(guò)P作平面交射線OA，OB，OC于D，E，F(xiàn)，當(dāng)四面體ODEF體積最小時(shí)，P為△DEF的重心.