人教A版普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(選修4－10)《開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)》是根據(jù)教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》)選修系列4第10個(gè)專題“開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)”的要求編寫的根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教科書以開(kāi)關(guān)電路設(shè)計(jì)為背景引入一種類似數(shù)的對(duì)象并引入這些對(duì)象之間的運(yùn)算因?yàn)?，在初中物理中，我們都學(xué)習(xí)了基本電路——串聯(lián)電路和并聯(lián)電路已經(jīng)熟悉了這些電路的基本功能，也能熟練地利用這些電路搭建較為復(fù)雜的電路那么能不能用數(shù)學(xué)來(lái)幫助我們刻畫這些現(xiàn)象呢？于是，我們將對(duì)這種新的運(yùn)算系統(tǒng)進(jìn)行探討，得出類似于“數(shù)的運(yùn)算”的各種性質(zhì)最后應(yīng)用這個(gè)數(shù)學(xué)理論，徹底解決開(kāi)關(guān)電路的設(shè)計(jì)問(wèn)題這就是本專題將要解決的問(wèn)題本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，通過(guò)具體的典型案例分析其中的重要數(shù)學(xué)思想，并提出教學(xué)建議，以期拋磚引玉

1 《標(biāo)準(zhǔn)》中對(duì)開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)的定位

開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)是《標(biāo)準(zhǔn)》中新增加的內(nèi)容，《標(biāo)準(zhǔn)》在高中數(shù)學(xué)課程選修系列4中設(shè)置了開(kāi)關(guān)電路與布爾代數(shù)的內(nèi)容，開(kāi)設(shè)的目的是：讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)從不同的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象、概括后，得到符號(hào)化、形式化的數(shù)學(xué)理論，最后將該理論應(yīng)用到解決實(shí)際問(wèn)題的一般規(guī)律

本專題以設(shè)計(jì)由三人控制一個(gè)電燈的電路為背景，從開(kāi)關(guān)電路設(shè)計(jì)，提出一個(gè)具體問(wèn)題，將電路設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)化為電路代數(shù)和電路多項(xiàng)式，完全解決最初提出的問(wèn)題，完整地給出一個(gè)電路代數(shù)的數(shù)學(xué)模型，這也是布爾代數(shù)的一個(gè)實(shí)際應(yīng)用，從中感受到數(shù)學(xué)化的抽象過(guò)程，以及數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用價(jià)值

由電路的“并”、“串”聯(lián)和“逆反”產(chǎn)生的新電路的狀態(tài)｛0，1｝是由原電路的狀態(tài)｛0，1｝經(jīng)過(guò)運(yùn)算+、×和余（0-=1,1-=0）得到的此外，本專題中關(guān)于由簡(jiǎn)單命題通過(guò)“或”、“且”和“非”（“否定”）組成的新命題的真與偽，也是由原命題的真與偽，經(jīng)過(guò)運(yùn)算+、×和余（（0-=1,1-=0）得到的它們是一脈相承的，這些運(yùn)算與中學(xué)數(shù)學(xué)所學(xué)的數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算也有相似之處因此，本專題的學(xué)習(xí)對(duì)學(xué)生深入認(rèn)識(shí)數(shù)與多項(xiàng)式的本質(zhì)也是非常有益的

2 典型教學(xué)案例及重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)建議

2.1 布爾代數(shù)的引入

布爾代數(shù)概念的引入對(duì)于初學(xué)者是一個(gè)難點(diǎn)，《標(biāo)準(zhǔn)》指出：本專題應(yīng)充分體現(xiàn)從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程；體現(xiàn)不同的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象、概括后，可得到相同的數(shù)學(xué)概念、乃至同一數(shù)學(xué)理論為此，筆者將教材中的第一章和第四章的內(nèi)容重新整合，通過(guò)開(kāi)關(guān)電路和命題及其真值的邏輯分析，對(duì)布爾代數(shù)概念的引入進(jìn)行教學(xué)創(chuàng)新設(shè)計(jì)

案例1 布爾代數(shù)的引入——開(kāi)關(guān)電路與命題演算

2.1.1 教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

(1)通過(guò)實(shí)例，理解開(kāi)關(guān)電路、命題邏輯的概念，并掌握它們的符號(hào)表示

(2)基本掌握開(kāi)關(guān)電路圖與數(shù)學(xué)表達(dá)式之間、自然語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言之間的相互轉(zhuǎn)換

(3)了解真值表的含義及作用，會(huì)求真值表

(4)初步了解開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯在結(jié)構(gòu)和規(guī)律上的共同點(diǎn)

2.1.2 基本思想分析

在實(shí)際生活中，識(shí)別一些簡(jiǎn)單的電路已成為當(dāng)代人的一種常識(shí)簡(jiǎn)單的電路一般是由電源、開(kāi)關(guān)、用電器等組成，開(kāi)關(guān)只有接通和斷開(kāi)兩種狀態(tài)，電燈只有燈亮和燈滅兩種狀態(tài)因此，為研究問(wèn)題的方便，不妨用1和0表示具體問(wèn)題中的兩種狀態(tài)，而不作算術(shù)中的數(shù)目考慮

在數(shù)學(xué)中，用來(lái)表示數(shù)學(xué)判斷的語(yǔ)句或者符號(hào)的組合稱為數(shù)學(xué)命題，因此，數(shù)學(xué)命題也是具有真假意義的語(yǔ)句或者式子既然命題的真假性惟一確定，我們不妨將真命題的值記為1，將假命題的值記為0，1與0都叫做命題的真值在邏輯學(xué)中，命題一般用小寫的字母p，q，r，s，……表示，另外，邏輯學(xué)中還有5種邏輯符號(hào)，分別是“析取符(∨)”、“合取符(∧)”、“否定符()”、“蘊(yùn)含符(→)”、“等值符()”，把命題用這些符號(hào)聯(lián)結(jié)起來(lái)，就構(gòu)成了不同的復(fù)合命題

描述一個(gè)數(shù)字系統(tǒng)，必須反映一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)中各開(kāi)關(guān)元件之間的聯(lián)系，這種相互聯(lián)系反映到數(shù)學(xué)上就是幾種運(yùn)算關(guān)系邏輯代數(shù)中定義了“或”、“與”、“非”三種基本運(yùn)算

（1）“或”運(yùn)算

如果決定某一事件是否發(fā)生的多個(gè)條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上條件成立，事件便可發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“或”邏輯

例如，用兩個(gè)開(kāi)關(guān)并聯(lián)控制一個(gè)燈的照明控制電路電路圖及運(yùn)算表如下圖1所示

圖1

邏輯代數(shù)中，“或”邏輯用“或”運(yùn)算描述其運(yùn)算符號(hào)為“+”，有時(shí)也用“∨”表示兩變量“或”運(yùn)算的關(guān)系可表示為F=A+B或者 F=A∨B ，讀作“F等于A或B”

在圖1所示電路中，假定開(kāi)關(guān)斷開(kāi)用0表示，開(kāi)關(guān)閉合用1表示；燈滅用0表示，燈亮用1表示，則燈F與開(kāi)關(guān)A、B的關(guān)系如下表所示 即：A、B中只要有一個(gè)為1，則F為1；僅當(dāng)A、B均為0時(shí)，F(xiàn)才為0“或”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

0 + 0 = 01 + 0 = 1

0 + 1 = 11 + 1 = 1

實(shí)現(xiàn)“或”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“或”門

（2）“與” 運(yùn)算

如果決定某一事件發(fā)生的多個(gè)條件必須同時(shí)具備，事件才能發(fā)生，則這種因果關(guān)系稱之為“與”邏輯

在邏輯代數(shù)中，“與”邏輯關(guān)系用“與”運(yùn)算描述其運(yùn)算符號(hào)為“·”，有時(shí)也用“∧”表示兩變量“與”運(yùn)算關(guān)系可表示為F=A·B 或者 F=A∧B 即：若A、B均為1，則F為1；否則，F(xiàn)為0“與”邏輯關(guān)系如圖2中表所示

圖2

圖2所示電路中，兩個(gè)開(kāi)關(guān)串聯(lián)控制同一個(gè)燈顯然，僅當(dāng)兩個(gè)開(kāi)關(guān)均閉合時(shí)，燈才能亮，否則，燈滅 假定開(kāi)關(guān)閉合狀態(tài)用1表示，斷開(kāi)狀態(tài)用0表示，燈亮用1表示，燈滅用0表示，則電路中燈F和開(kāi)關(guān)A、B之間的關(guān)系即上表所示的“與”運(yùn)算關(guān)系 “與”運(yùn)算的運(yùn)算法則:

0 · 0 = 01 · 0 = 0

0 · 1 = 01 · 1 = 1

數(shù)字系統(tǒng)中，實(shí)現(xiàn)“與”運(yùn)算關(guān)系的邏輯電路稱為“與”門

（3）“非” 運(yùn)算

如果某一事件的發(fā)生取決于條件的否定，即事件與事件發(fā)生的條件之間構(gòu)成矛盾，則這種因果關(guān)系稱為“非”邏輯

在邏輯代數(shù)中，“非”邏輯用“非”運(yùn)算描述其運(yùn)算符號(hào)為“－”，有時(shí)也用“￢”表示“非”運(yùn)算的邏輯關(guān)系可表示為：F= 或者 F=￢A，讀作“F等于A非” 即如圖3所示：若A為0，則F為1；若A為1，則F為0

圖3

“非”運(yùn)算的運(yùn)算法則：

數(shù)字系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)“非”運(yùn)算功能的邏輯電路稱為“非”門，有時(shí)又稱為“反相器”其運(yùn)算法則為：0-=1,1-=0

2.1.3 教學(xué)建議

（1）上面介紹的實(shí)際上是預(yù)備知識(shí)，為引入布爾代數(shù)概念作鋪墊用數(shù)學(xué)方式描述開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯，目的為圖4了突出二者之間的聯(lián)系，教學(xué)時(shí)應(yīng)將開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯內(nèi)容進(jìn)行比較，通過(guò)類比，加深學(xué)習(xí)者對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)和對(duì)本質(zhì)的理解，了解開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯在結(jié)構(gòu)和規(guī)律上的相同性

（2）布爾代數(shù)的定義通常有兩種形式，即形式公理化定義和有補(bǔ)分配格定義，這兩種定義的方式或抽象或復(fù)雜，學(xué)生理解上有一定困難為了使學(xué)生更易接受布爾代數(shù)這個(gè)抽象的概念，教學(xué)應(yīng)作相應(yīng)處理，將學(xué)術(shù)形態(tài)知識(shí)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的知識(shí)通過(guò)學(xué)生已較熟悉的開(kāi)關(guān)電路知識(shí)抽象出布爾代數(shù)的定義，此時(shí)，進(jìn)一步讓學(xué)生思考：實(shí)際上接點(diǎn)的串聯(lián)和并聯(lián)構(gòu)成了接點(diǎn)的“運(yùn)算”，而每一個(gè)接點(diǎn)接通與斷開(kāi)的狀態(tài)決定了電路的狀態(tài)將接點(diǎn)的“運(yùn)算”與電路狀態(tài)聯(lián)系起來(lái)，并用字母表示出來(lái)，就是開(kāi)關(guān)電路的代數(shù)化的過(guò)程比如，任何一個(gè)電路，如圖4所示，可表示一個(gè)“代數(shù)”式：（（a·b）+（c·d））+a-，當(dāng)然每一個(gè)類似上面這樣由小寫字母（表示開(kāi)關(guān)）經(jīng)“+”，“·”，“-”，以及適當(dāng)?shù)姆?hào)連接起來(lái)的式子也給出一個(gè)電路├從知圖4電路的效應(yīng)，當(dāng)a=1（開(kāi)關(guān)a處于“通”狀態(tài)），b=0，c=1，d=1時(shí)電路的狀態(tài)是什么，只把這些值代入上面的式子，按照運(yùn)算的規(guī)則進(jìn)行計(jì)算即得，這就是：（（1·0）+（1·1））+1-=（0+1）+0=1+0=1，即此時(shí)電路的狀態(tài)是“通”顯然，解決這些問(wèn)題之后，在數(shù)學(xué)中引入布爾代數(shù)的定義就水到渠成了這樣更加符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，較易為學(xué)生所接受然后在理論上再作進(jìn)一步的提升，指出開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯的數(shù)學(xué)描述都可以看成二元布爾代數(shù)，即二元布爾代數(shù)就是從開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯這兩個(gè)系統(tǒng)中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型；反之，布爾代數(shù)是開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯的抽象

（3）高度的抽象性及其帶來(lái)的符號(hào)化、形式化是數(shù)學(xué)的基本特征之一教學(xué)中通過(guò)用數(shù)學(xué)方式描述開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯，讓學(xué)生體會(huì)不同的實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象、概括后，可得到相同的數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則，乃至同一數(shù)學(xué)理論；反之，同一數(shù)學(xué)概念、運(yùn)算法則和數(shù)學(xué)理論可應(yīng)用到表面看來(lái)完全不同的實(shí)際問(wèn)題中，向?qū)W生揭示開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯這兩門完全不同的學(xué)科在結(jié)構(gòu)和規(guī)律上的相同性使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性，進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力

2．2 布爾代數(shù)

從案例1我們可以看出：如果將電路中燈F的明滅情況看作邏輯“加（+）”（相當(dāng)于復(fù)合命題p∨q的真假情況看作“析?。ā牛保┑倪\(yùn)算，串聯(lián)電路中燈F的明滅情況看作邏輯“乘（·）”（相當(dāng)于復(fù)合命題p∧q的真假情況看作“合?。ā模保┑倪\(yùn)算，逆反電路中燈F的明滅情況看作邏輯“非（-）”（相當(dāng)于復(fù)合命題￢p的真假情況看作“非（-）”）的運(yùn)算，且開(kāi)關(guān)A，B的取值只有1，0兩種情況（相當(dāng)于命題的真假取值只有1，0兩種情況），將0，1構(gòu)成的集合記為M，則可引入布爾代數(shù)的概念

案例2 布爾代數(shù)的概念及其性質(zhì)

2.2.1 教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）通過(guò)開(kāi)關(guān)電路，理解代數(shù)系統(tǒng)、二元布爾代數(shù)的概念

（2）體會(huì)從具體事物中抽象出數(shù)學(xué)模型的方法，了解二元布爾代數(shù)就是從開(kāi)關(guān)電路和命題邏輯這兩個(gè)系統(tǒng)中抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型

（3）了解布爾代數(shù)的9組運(yùn)算律，并能正確應(yīng)用

（4）布爾代數(shù)與普通代數(shù)的比較

2.2.2 基本思想分析

（1）概念的理解

設(shè)M=｛0，1｝，若在M上定義了“加（+）”、“乘（·）”、“非（-）”三種基本運(yùn)算，a，b是取值于集合M的任意兩變?cè)?，且a，b關(guān)于這三種基本運(yùn)算滿足下表：

aba +ba·ba-

00001

01101

10100

11110

則稱集合M對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成布爾代數(shù)，記為｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝，0 叫做零元素，1叫做單位元素，叫做a的否定或補(bǔ)元素，a+b叫做a與b的布爾和，a·b叫做a與b的布爾積（為了研究問(wèn)題的方便，布爾積符號(hào)“·”常省略不寫）

如果把字母a，b解釋為開(kāi)關(guān)通與不通的兩種狀態(tài)，那么｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝稱為布爾代數(shù)；如果把字母a，b解釋為命題真與假對(duì)應(yīng)的取值，那么｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝稱為命題代數(shù)因此，布爾代數(shù)是命題代數(shù)和開(kāi)關(guān)代數(shù)的抽象概括，命題代數(shù)和開(kāi)關(guān)代數(shù)是布爾代數(shù)的兩個(gè)具體模型

（2）布爾代數(shù)與普通代數(shù)的比較

為了今后應(yīng)用方便，避免差錯(cuò)，我們應(yīng)將布爾代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律與普通代數(shù)的運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行對(duì)比，比較它們的異同① 常量與常量關(guān)系的等式

布爾代數(shù)只含有0和1兩個(gè)常量布爾代數(shù)與普通代數(shù)共有的等式：1+0=0+1；1·0=0·1=0；0+0=0；0·0=0；1·1=1. 布爾代數(shù)特有的等式1+1=1.

② 變量與常量關(guān)系的等式

布爾代數(shù)與普通代數(shù)共有的等式：

a+0=a；a·1=a；a·0=0.

布爾代數(shù)特有的等式：

a+1=a；a+a-=1；aa-=0.

③ 運(yùn)算定律

布爾代數(shù)與普通代數(shù)共有的定律：交換律：a+b= b+a；ab=ba

結(jié)合律：(a+b)+c=a+（b+c) ；

(ab)c=a(bc)；

乘法對(duì)加法的分配律：a(b+c)=ab+ac；

布爾代數(shù)特有的運(yùn)算定律——加法對(duì)乘法的分配律：a+bc=(a+b)(a+c)

注意：由布爾代數(shù)和普通代數(shù)所共有的運(yùn)算規(guī)律推證的公式、法則等，在這兩種代數(shù)里都是成立┑謀熱紓(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

④ 布爾代數(shù)的一些特有的公式

冪等律：a+a=a;aa=a

吸收律：a+ab=a;a(a+b)=a

二次互補(bǔ)律：a==a

德莫根定律：゛+b=a-b-；゛b=a-+b-

注意：布爾代數(shù)里的三種布爾運(yùn)算都是沒(méi)有逆運(yùn)算的

2.2.3 教學(xué)建議

（1）布爾代數(shù)是一種特殊的代數(shù)系統(tǒng)，與其它的代數(shù)系統(tǒng)相比較，布爾代數(shù)有滿足自身特點(diǎn)的運(yùn)算律關(guān)于運(yùn)算律的教學(xué)應(yīng)注意與數(shù)系相類比，因?yàn)閿?shù)系提示我們：乘法對(duì)加法的分配律是否在布爾代數(shù)中也成立，有趣的是，在布爾代數(shù)中，不僅a(b+c)=ab+ac成立，并且也有加法對(duì)乘法的分配律，a+bc=(a+b)(a+c)成立另外，對(duì)于運(yùn)算律的證明應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生既要從數(shù)學(xué)證明（即驗(yàn)算），又要將布爾代數(shù)與開(kāi)關(guān)電路相聯(lián)系，因?yàn)槲锢硪矔?huì)給我們啟示，這些等式在布爾代數(shù)中可能是對(duì)的，例如，兩個(gè)開(kāi)關(guān)a并聯(lián)和由一個(gè)開(kāi)關(guān)a作成的電路是等效的（即物理證明），這提示我們a+a=a在布爾代數(shù)中該是對(duì)的，類似地aa=a在布爾代數(shù)中也是對(duì)的因此，在教學(xué)中，教師要注意從具體到抽象，通過(guò)易懂的實(shí)例，幫助學(xué)生理解和掌握基本概念和基本思想在布爾代數(shù)的運(yùn)算及其運(yùn)算律的教學(xué)過(guò)程中，注意與學(xué)生所熟悉的初等數(shù)學(xué)中的數(shù)與多項(xiàng)式的運(yùn)算進(jìn)行比較，二者之間既有相同之處，又有不同之處

（2）本案例適合采用開(kāi)放式教學(xué)，因?yàn)椴紶柎鷶?shù)的運(yùn)算律可看成是結(jié)論開(kāi)放性的問(wèn)題，同時(shí)，等值初等定理是布爾代數(shù)里的一個(gè)基本定理，由其推出來(lái)的一些重要而常用的公式稱之為等值公式這些公式給我們提供了豐富的開(kāi)放性探究素材因此，在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)盡可能設(shè)置開(kāi)放性數(shù)學(xué)情境，并引導(dǎo)學(xué)生由教師所提供的開(kāi)放性數(shù)學(xué)情境進(jìn)行多角度、多層次地思考和提出開(kāi)放性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題解決中自主學(xué)習(xí)、合作交流，進(jìn)行多解、多問(wèn)、多變的發(fā)散思考，從而獲得各自創(chuàng)造性思維的發(fā)展但是，應(yīng)注意一點(diǎn)，教師在課堂教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程中，要十分重視學(xué)生的個(gè)性發(fā)展：學(xué)生提出問(wèn)題與解決問(wèn)題是有差別的，尤其要關(guān)注有價(jià)值的問(wèn)題以及開(kāi)放性問(wèn)題的提出和奇異的思考；對(duì)差生的積極性更要十分關(guān)注努力促使不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展

（3）教學(xué)中應(yīng)注重滲透數(shù)學(xué)文化數(shù)學(xué)本身就是一種文化，數(shù)學(xué)作為一種文化，已成為人類文明進(jìn)步的標(biāo)志在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)盡可能結(jié)合布爾代數(shù)與開(kāi)關(guān)電路的內(nèi)容，介紹一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物，反映數(shù)學(xué)在人類社會(huì)進(jìn)步、人類文明建設(shè)中的作用，同時(shí)也反映社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用例如，介紹英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾(G. Boole)建立布爾代數(shù)的過(guò)程，以及美國(guó)電器工程師香農(nóng)(C.E.Shannon)應(yīng)用布爾代數(shù)進(jìn)行開(kāi)關(guān)電路分析與設(shè)計(jì)的過(guò)程激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)創(chuàng)新原動(dòng)力的認(rèn)識(shí)，接受優(yōu)秀文化的熏陶，從而提高自身的文化素養(yǎng)和創(chuàng)新意識(shí)

2.3 布爾函數(shù)

前面研究了布爾加、布爾乘、布爾非三種最基本的運(yùn)算在實(shí)際問(wèn)題中，這三種布爾運(yùn)算很少單獨(dú)出現(xiàn)，而經(jīng)常是以這些運(yùn)算構(gòu)成復(fù)雜程度不同的布爾關(guān)系式出現(xiàn)這就是布爾函數(shù)

案例3 布爾函數(shù)

2.3.1 教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)

（1）了解布爾函數(shù)、布爾表達(dá)式的概念，并了解二者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系

（2）了解“標(biāo)準(zhǔn)積和范式(主析取范式)”及“標(biāo)準(zhǔn)和積范式(主合取范式)”的概念，體會(huì)任何布爾表達(dá)式都可以化成標(biāo)準(zhǔn)范式的思想和內(nèi)涵

（3）開(kāi)關(guān)電路圖與數(shù)學(xué)表達(dá)式，自然語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言之間的互化

（4）應(yīng)用運(yùn)算律對(duì)布爾表達(dá)式(布爾函數(shù))進(jìn)行證明、化簡(jiǎn)

（5）實(shí)際問(wèn)題的電路設(shè)計(jì)．將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題

2.3.2 基本思想分析

（1）定義的理解

設(shè)a1,a2,a3,…an是布爾代數(shù)｛M=｛0，1｝；+，·，-，｝上的n個(gè)變?cè)?，若?duì)a1,a2,a3,…,an的每一組取值經(jīng)過(guò)有限次布爾運(yùn)算（+，·，-），都惟一的確定另一個(gè)取值于M=｛0，1｝的布爾變量f，f就稱為a1,a2,a3,…,an的布爾函數(shù)記為f（a1,a2,a3,…,an）

顯然，a1,a2,a3,…,an，f都在集合M=｛0，1｝上取值例如：f=(a+b)c，f=a-b+ab-等都是布爾函數(shù)，事實(shí)上，前面講的布爾加、布爾乘、布爾非都是布爾函數(shù)

如果a1,a2,a3,…,an表示命題，那么，f（a1,a2,a3,…,an）表示一個(gè)復(fù)合命題，這里也稱f（a1,a2,a3,…,an）為命題函數(shù)；如果a1,a2,a3,…,an表示開(kāi)關(guān)，那么，f（a1,a2,a3,…,an）表示一個(gè)布爾電路這里也稱f（a1,a2,a3,…,an）為開(kāi)關(guān)函數(shù)

一個(gè)布爾函數(shù)包含的基本布爾運(yùn)算，在沒(méi)有括號(hào)的情況下，先計(jì)算布爾非，再計(jì)算布爾乘，最后計(jì)算布爾加；在有括號(hào)的情況下，先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的式┳

（2）布爾函數(shù)的相等

定義：設(shè)f（a1,a2,a3,…,an）和g（a1,a2,a3,…,an）為布爾函數(shù)，若對(duì)于布爾變量ai的每一組取值，對(duì)應(yīng)f和g的值都相同，則稱f和g相等，或者說(shuō)，f和g等價(jià)，記為f=g

每一個(gè)布爾函數(shù)都有一個(gè)真值表，由布爾函數(shù)的定義可知：兩個(gè)布爾函數(shù)相等的充要條件是它們的真值表相同因此，要證明兩個(gè)布爾函數(shù)相等，只要列出它們的真值表，再比較兩個(gè)真值表，便可得出結(jié)論在證明過(guò)程中，為了減少差錯(cuò)，有時(shí)把必要的中間結(jié)果也列出├

例1 已知f(a,b,c)=(゛+b-)c，g(a,b,c)=a-bc,求證：f=g

證明：由變量a,b,c的各種取值得出函數(shù)f和g的對(duì)應(yīng)值列表為

顯然，f=g

從命題角度來(lái)講，布爾函數(shù)f和布爾函數(shù)g相等，就是命題f與g等價(jià)從開(kāi)關(guān)角度講，布爾函數(shù)f和布爾函數(shù)g相等，就是f所表示的開(kāi)關(guān)電路與g所表示的開(kāi)關(guān)電路功能相同

（3）布爾函數(shù)的完全性

在初等函數(shù)里，任意一個(gè)初等函數(shù)都可以由基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算得到同樣，在布爾函數(shù)里，任一個(gè)布爾函數(shù)，也可以由它的布爾變量經(jīng)過(guò)最基本的布爾運(yùn)算而得到可以證明：任意一個(gè)具有n個(gè)變?cè)牟紶柡瘮?shù)f（a1,a2,a3,…,an）都可以由變?cè)猘1,a2,a3,…,an經(jīng)過(guò)最基本的布爾運(yùn)算而得到布爾函數(shù)的這種性質(zhì)，叫做布爾函數(shù)的完全性實(shí)際上，布爾函數(shù)的完全性有以下定理做保證

定理 任意一個(gè)具有n個(gè)變量的布爾函數(shù)f（a1,a2,a3,…,an）都可以由變量a1,a2,a3,…,an經(jīng)過(guò)最基本的布爾運(yùn)算而得到

由布爾函數(shù)的完全性可知，任意一個(gè)布爾函數(shù)都可以由“或”門、“與”門、“非”門組成的電路來(lái)實(shí)現(xiàn)它的功能

（4）布爾函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式

定義1 布爾函數(shù)f（a1,a2,a3,…,an）的“積之和”的形式f（a1,a2,a3,…,an）=∑ipi（其中pi=骿a±1j，且a+1j與a-1j在pi中不同時(shí)出現(xiàn)，這里a+1j與a-1j互為逆變量）稱作布爾函數(shù)f的第一標(biāo)準(zhǔn)形式（也有叫析取標(biāo)準(zhǔn)形式或“與-或”表達(dá)式的）pi叫做它的項(xiàng)

注意 在布爾函數(shù)的第一種表達(dá)式里，ak與゛k不一定是它的項(xiàng)pi的因子，也可能ak與゛k都不是pi的因子利用等值公式，可將任意一個(gè)布爾函數(shù)化為第一種標(biāo)準(zhǔn)形式

定義2 布爾函數(shù)f（a1,a2,a3,…,an）的“和之積”的形式f（a1,a2,a3,…,an）=骾Si

（其中si=∑ja±1j，且a+1j與a-1j在si中不同時(shí)出現(xiàn)）, 稱作布爾函數(shù)f的第二標(biāo)準(zhǔn)形式（也有叫合取標(biāo)準(zhǔn)形式或“或-與”表達(dá)式的）si叫做它的因子

注意：布爾函數(shù)的第二種標(biāo)準(zhǔn)形式，ak與゛k不一定是因子si的項(xiàng)，也可能ak與゛k都不是si的項(xiàng)利用等值公式，可將任意一個(gè)布爾函數(shù)化為第二種標(biāo)準(zhǔn)形式例2 化布爾函數(shù)f（a1,a2,a3,…,an）=ab+a-c為第二種標(biāo)準(zhǔn)形式

解 利用反演規(guī)則，先求f-；再化f-為第一種標(biāo)準(zhǔn)式；最后求f==f，便是f的第二種標(biāo)準(zhǔn)形式

f-(a,b,c)=゛b+a-c=(a-+b-)(a+c-)

=a-a+a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-+b-c-

=a-c-+ab-

f(a,b,c)=f=(a,b,c)=゛b-+a-c-=(a-+b)(a+c).2.3.3 教學(xué)建議

（1）為了更好地講解本案例，教學(xué)中應(yīng)注意處理好如下關(guān)系：①“操作與理解”——系列

4既不是科普讀物，也不是理論專著應(yīng)在充分的活動(dòng)、操作的基礎(chǔ)上，使學(xué)生理解專題中的核心概念和基本數(shù)學(xué)思想比如，講解布爾函數(shù)時(shí)，我們可以這樣設(shè)計(jì)：很多實(shí)際問(wèn)題都希望能在某種輸入的情況下有某種輸出，就像三人控制一燈的情形,這往往可抽象成一個(gè)n元布爾函數(shù)，這里告訴你布爾函數(shù)都可用布爾多項(xiàng)式實(shí)現(xiàn)，而在以前我們知道布爾多項(xiàng)式都可以由一個(gè)開(kāi)關(guān)電路實(shí)現(xiàn)，這樣那個(gè)實(shí)際問(wèn)題也就可以由一個(gè)開(kāi)關(guān)電路來(lái)實(shí)現(xiàn)，現(xiàn)在你應(yīng)該能畫出實(shí)現(xiàn)三人控制一燈的開(kāi)關(guān)電路了②“基礎(chǔ)與拓展”——從已有的內(nèi)容出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生自主探究，做適當(dāng)?shù)耐卣古c延伸，在處理問(wèn)題的思想方法、在思維發(fā)展上獲得突破比如，對(duì)于例2的處理，把一個(gè)布爾函數(shù)化為第二種標(biāo)準(zhǔn)形式，也可以不按例2的步驟來(lái)求得比如

f(a,b,c)=ab+a-c=(ab+a-)(ab+c)

=(a+a-)(a-+b)(a+c)(b+c)

=(a-+b)(a+c)

所以，把一個(gè)布爾函數(shù)化為第二種標(biāo)準(zhǔn)形式，要視具體情況而采用較簡(jiǎn)便的方法

（2）在本案例教學(xué)過(guò)程中還應(yīng)該針對(duì)一些問(wèn)題，組織學(xué)生具體實(shí)現(xiàn)一些開(kāi)關(guān)電路或邏輯電路，以增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與把握教師或教材編寫者可以考慮增加一些選學(xué)的內(nèi)容，比如關(guān)于邏輯電路的問(wèn)題進(jìn)一步，可以考慮設(shè)置專題來(lái)介紹或討論一些利用基本邏輯門電路制作的電子元件，比如半加器、全加器與數(shù)字表示器等這也就是布爾代數(shù)在電子計(jì)算機(jī)的應(yīng)用問(wèn)題┝碩緣繾蛹撲慊進(jìn)行邏輯設(shè)計(jì)時(shí)，有時(shí)設(shè)計(jì)一個(gè)布爾電路，需要判斷它是否是最經(jīng)濟(jì)（所用的材料最少），效果最好的布爾電路對(duì)于復(fù)雜的布爾電路，這個(gè)問(wèn)題單憑經(jīng)驗(yàn)是不能解決的，這就需要借助于布爾代數(shù)：第一步，用布爾函數(shù)來(lái)描述設(shè)計(jì)的布爾電路；第二步，化簡(jiǎn)布爾函數(shù)；第三步，畫出與布爾函數(shù)最簡(jiǎn)式對(duì)應(yīng)的布爾電路，從而得到與設(shè)計(jì)布爾電路邏輯功能相同的最好的布爾電路

（3）對(duì)于本案例的學(xué)習(xí)，還應(yīng)提倡對(duì)學(xué)生進(jìn)行多元化評(píng)價(jià)既要重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的評(píng)價(jià)，又要重視數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的評(píng)價(jià)另外，還可以結(jié)合撰寫論文或?qū)懣偨Y(jié)報(bào)告的形式進(jìn)行評(píng)價(jià)總結(jié)報(bào)告可以是以下方面的內(nèi)容：①知識(shí)的總結(jié)；②拓展；③對(duì)本專題的感受、體會(huì)、看法具體的選題可以參考教材的“課程總結(jié)報(bào)告參考題”數(shù)學(xué)論文或總結(jié)報(bào)告可以記入學(xué)生成長(zhǎng)記錄袋，作為反映學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的資料和推薦依據(jù)

作者簡(jiǎn)介

黃麗生，男，山東師范大學(xué)數(shù)學(xué)教育專業(yè)碩士中國(guó)管理科學(xué)研究院學(xué)術(shù)委員會(huì)特約研究員；山東省初等數(shù)學(xué)研究會(huì)成員主要從事數(shù)學(xué)教育及競(jìng)賽數(shù)學(xué)的研究已在30余家刊物上發(fā)表文章200余篇.主編、參編《高中數(shù)學(xué)必讀》、《名師手把手輔導(dǎo)》等著作10部2004年論文〈新課程背景下數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)的教學(xué)模式初探〉榮獲全國(guó)教育科學(xué)“十五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“數(shù)學(xué)教學(xué)效率論”中期成果檢查會(huì)暨首屆全國(guó)研討會(huì)科研成果一等獎(jiǎng)2003年參與“十五”規(guī)劃教育部基礎(chǔ)教育課程教材改革子項(xiàng)目“校本教研隊(duì)伍能力建設(shè)”的研究工作，已取得了階段性成果個(gè)人學(xué)術(shù)成果曾在山東曲阜師范大學(xué)主辦的《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志》（2004，5）“新秀近作”欄目中報(bào)道.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文