孟　坤

在許多故事中，蘊涵著深邃的數學思想方法.如果我們多讀些故事，則能啟迪我們的思維，獲得數學的靈感，提高我們的數學素養(yǎng).

一、司馬光砸缸與逆向思維

司馬光砸缸是同學們比較熟悉的一個故事.人掉進水里，按習慣性思維，是把人從水中撈出來，而司馬光不能做到從水中撈人，于是他尋求變異，從另一個角度思考：讓水離開人！因此他果斷地用石頭砸缸放水，救了小伙伴.從此，司馬光砸缸救人的事跡被傳為佳話，流傳千古.司馬光砸缸救人，從思維的角度講，他是成功地運用了逆向思維.

在解決問題的過程中，對已知信息可以多方向、多角度地思考，不局限于原來的方法，可用逆向思維的辦法解決問題.

例1有一天劉明和李亮駕車去動物園，在路上，他們有一段對話.

劉明：“看前面的那輛大卡車，開得真快，但是我們可以趕上它.現估計它以每小時65千米的速度勻速前進，而我以每小時80千米的速度勻速追趕.假設我們現在正好在它后面1.5千米，如果我們不去超他的車的話，那么就肯定會同它相撞.李亮，請你告訴我，在相撞前一分鐘，我們與它相距多遠？”

李亮：“那很簡單，在相撞前一分鐘，我們與它相距250米.”

李亮答對了嗎？他為什么答得這么快？他是怎么算的？

解析：這個問題若考慮用列方程或者更加“高級”的方法，那就搞復雜了.而且李亮也不能馬上算出答案.他是怎么算出來的？實際上他是從時間上倒過來考慮，馬上得出答案的.由于卡車以每小時65千米勻速行駛，小車以每小時80千米勻速前進，所以每小時小車比卡車多走15千米，即每分鐘小車比卡車多走250米.因此，在相撞前一分鐘，小車與卡車相距250米.

劉明提出問題時，小車落后于卡車1.5千米，其實此條件對解這個問題是多余的，不管這兩輛車之間的初始距離是多少，該題的答案只有一個！這種思考方法很值得借鑒.

二、神童量水與分類思想

有一天，一位國王在后花園里散步，忽然指著水池問身邊的大臣：“池中有幾桶水？”大臣們都被這古怪的問題問住了，誰都答不上來.這時，有位大臣奏道：“城東有個小孩，人稱神童，要不叫他來試一試？”于是國王下令宣小孩進宮.小孩聽了國王的問題，眼睛眨巴了兩下，隨口答道：“如果桶和水池一樣大，就是一桶水；如果桶比水池小一半，就是兩桶水；如果桶的大小是水池的三分之一，就是三桶水；如果……”沒等小孩說完國王便連連贊道：“答得好，答得妙！真是聰明過人.”

細細品味上述故事，小孩的確答得妙，妙在一個眾人認為不易回答的問題，小孩能分情況考慮巧妙地答出，他這種思考問題的方法，實質上就是分類討論的數學思想方法.

例2數一數圖1中有幾個三角形.

解析：我們按以下步驟分步進行：（1）先看圖形的上半部分（如圖2）.如果把4個小三角形中的每一個都看做“基本單位”，那么每2個相鄰的基本單位又可構成三角形，這樣的三角形有3個，每3個相鄰的基本單位可構成2個三角形，4個基本單位構成1個大三角形.于是圖形的上半部分共有三角形：4+3+2+1=10（個）.（2）如圖3，同理圖形的下半部分也有10個三角形.（3）再看整個圖形，將中間的線段去掉，如圖4，這里有4個三角形，都以AA′為公共邊.因此，圖1中共有三角形：10+10+4=24（個）.

利用分類思想數圖形的個數，可以使復雜問題簡單化，解決問題的過程更加清晰、有條理.分類時，要做到既不能重復，也不能遺漏某些部分，當然同一問題也可能有多種分類的方法.

三、“大敦穴”的發(fā)現與歸納法

有一個樵夫經常犯頭疼病，但找不到治療的辦法.有一次，這個樵夫上山去砍柴，無意中碰破了腳的大拇指，出了一點血，但這時他卻感到頭部不疼了，當時他也沒有在意.后來，他的頭疼病復發(fā)，在砍柴時又偶然碰破了上次碰破的地方，這時他的頭疼又好了，這次卻引起了他的注意：奇怪，為什么碰了這個部位，我的頭疼就好了呢？于是便記住了這個部位.以后，每當他犯頭疼病的時候，就有意識地去刺破這個部位，結果頭疼馬上就好了.這個樵夫所碰的部位，就是現在人體穴位中的大敦穴，它在腳的大拇指的指甲的外側根部.這個樵夫發(fā)現大敦穴的過程，就是采用了“歸納法”的思想.

歸納法就是從特殊的具體的認識推斷出一般的抽象的認識的一種思維方法.它是科學發(fā)現的一種常用的有效的思維方法.

例3用長度相等的小木棒按圖5所示的方式搭三角形，按照這樣的規(guī)律搭下去，搭建第10個圖形需要（）根小木棒.

解析：如圖6，從第1個圖形到第10個圖形，在每個圖形的內部，由獨立的三根小木棒搭建而成的小三角形的個數分別為1，（1+2），（1+2+3），（1+2+3+4），…，（1+2+…+10），所以第10個圖形需要小木棒的根數為（1+2+…+10）×3=165.

解決本題的關鍵是通過觀察、分析、比較，依據圖形找出變化規(guī)律.