劉　頓

不等式組與一次函數(shù)聯(lián)姻的試題是中考中的常見題型．此類題意在考查同學(xué)們綜合運(yùn)用知識(shí)的能力和解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的能力．求解這類聯(lián)姻試題的關(guān)鍵，是根據(jù)題意找出數(shù)量間的不等和相等的關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式組和建立一次函數(shù)的表達(dá)式．然后利用不等式，確定取值范圍，運(yùn)用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．為了方便同學(xué)們學(xué)習(xí)，現(xiàn)以2007年全國(guó)部分省市的中考試題為例加以說(shuō)明．

一、成本最低

例1 （青島）某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示．現(xiàn)用甲原料和乙原料各2 800 g進(jìn)行試生產(chǎn)，計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶．設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列問(wèn)題．

（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過(guò)程．

（2）如果A種飲料每瓶的成本為2．60元，B種飲料每瓶的成本為2．80元，這兩種飲料成本總額為y元，請(qǐng)寫出y與x之間的關(guān)系式，并說(shuō)明x取何值時(shí)會(huì)使成本總額最低．

解：略．請(qǐng)參見本期第25頁(yè)．

二、費(fèi)用最少

例2 （眉山）某縣響應(yīng)“建設(shè)環(huán)保節(jié)約型社會(huì)”的號(hào)召，決定資助部分村鎮(zhèn)修建一批沼氣池，使農(nóng)民用到經(jīng)濟(jì)、環(huán)保的沼氣能源．幸福村共有264戶村民，政府補(bǔ)助村里34萬(wàn)元，不足的資金由村民集資．修建A型、B型沼氣池共20個(gè)．兩種型號(hào)沼氣池的修建費(fèi)用、可供使用戶數(shù)、修建用地情況如下表．

政府相關(guān)部門批給該村沼氣池修建用地708 m2．設(shè)修建A型沼氣池x個(gè)，修建兩種型號(hào)沼氣池共需費(fèi)用y萬(wàn)元．

（1） 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（2） 既不超過(guò)政府所批的修建沼氣池用地面積，又使該村每戶村民都用上沼氣的修建方案有幾種？

（3） 若平均每戶村民集資700元，能否滿足所需費(fèi)用最少的修建方案？

分析：費(fèi)用y應(yīng)該等于A、B兩種型號(hào)沼氣池費(fèi)用的和，從而可求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；由于幸福村共有264戶村民，而該村沼氣池修建用地為708 m2，這樣可以從表中獲取信息列出不等式組，確定修建A、B兩種型號(hào)沼氣池的具體方案；可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)求出費(fèi)用最少的修建方案．

解：（1）依題意，得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3x＋2（20－x）＝x＋40．

（2）由題意可得20x＋3（20－x）≥264，

48x＋6（20－x）≤708．解得x≥12，

x≤14．即不等式組的解集為12≤x≤14．

因?yàn)閤是正整數(shù)，所以x可取的值為12，13，14．

所以有3種修建方案：①A型12個(gè)，B型8個(gè)；②A型13個(gè)，B型7個(gè)；③A型14個(gè)，B型6個(gè)．

（3）因?yàn)閥＝x＋40，y隨x的增大而增大，所以要使費(fèi)用最少，則x＝12，最少費(fèi)用為y＝x＋40＝12＋40＝52（萬(wàn)元）．

村民每戶集資700元，與政府補(bǔ)助共計(jì)：700×264＋340 000＝

524 800（萬(wàn)元）．而524 800＞520 000，所以每戶集資700元能滿足所需費(fèi)用最少的修建方案．

三、利潤(rùn)最大

例3 （河北）一手機(jī)經(jīng)銷商計(jì)劃購(gòu)進(jìn)某品牌的A型、B型、C型三款手機(jī)共60部，每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部，且恰好用完61 000元的購(gòu)機(jī)款．設(shè)購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部．三款手機(jī)的進(jìn)價(jià)和預(yù)計(jì)售價(jià)如下表．

（1） 用含x、y的式子表示購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)的數(shù)量．

（2） 求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

（3） 假設(shè)所購(gòu)進(jìn)的手機(jī)全部售出，綜合考慮各種因素，該手機(jī)經(jīng)銷商在購(gòu)銷這批手機(jī)過(guò)程中需另外支出各種費(fèi)用共1 500元．

①求出預(yù)估利潤(rùn)P（元）與x（部）的函數(shù)關(guān)系式．（注：預(yù)估利潤(rùn)P＝預(yù)計(jì)銷售總額－購(gòu)機(jī)款－各種費(fèi)用）

②求出P的最大值，并寫出此時(shí)購(gòu)進(jìn)三款手機(jī)各多少部．

分析：共有A型、B型、C型三款手機(jī)60部，其中A型手機(jī)x部，B型手機(jī)y部，所以容易求出C型手機(jī)的數(shù)量；由購(gòu)機(jī)款61 000元，再依據(jù)表中的信息可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；進(jìn)而求出P與x的函數(shù)關(guān)系式，再由每款手機(jī)至少要購(gòu)進(jìn)8部的條件列出不等式組，從而確定x的取值范圍，并利用一次函數(shù)的性質(zhì)求解．

解：（1） 因?yàn)槟称放频腁型、B型、C型三款手機(jī)共有60部，所以用含x、y的式子表示，購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)為（60－x－y）部．

（2） 由題意，得 900x＋1 200y＋1 100（60－x－y）＝ 61 000，整理得 y＝2x－50．

（3）①由題意，得 P＝1 200x＋1 600y＋1 300（60－x－y）－61 000－1 500，即P＝500x＋500．

②購(gòu)進(jìn)C型手機(jī)為60－x－y＝110－3x（部）．根據(jù)題意列不等式組，得

x≥8，

2x－50≥8，

110－3x≥8．

解得29≤x≤34．所以 x的取值范圍為29≤x≤34，且x為整數(shù)．

因?yàn)镻＝500x＋500，k＝500＞0，所以P隨x的增大而增大．

所以當(dāng)x取最大值34時(shí)，P有最大值，最大值為17 500．

此時(shí)，購(gòu)進(jìn)A型手機(jī)34部，B型手機(jī)18部，C型手機(jī)8部．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文