葛余常

近年來(lái)，全國(guó)各地的中考試題可謂百家爭(zhēng)鳴、百花齊放.創(chuàng)新題型蓬勃興起，一道道亮麗的風(fēng)景令人耳目一新，給中考注入了新的活力.有關(guān)分解因式的創(chuàng)新題目也是令人目不暇接.它的背景更豐富、更貼近學(xué)生的生活實(shí)際.認(rèn)真分析和研究這些試題，有助于更好地把握中考命題的方向．

一、屢見(jiàn)不鮮的開(kāi)放題

例1把4x2＋1加上一個(gè)單項(xiàng)式，使其成為一個(gè)完全平方式．請(qǐng)你寫(xiě)出所有符合條件的單項(xiàng)式．

解析：根據(jù)完全平方公式a2±2ab＋b2＝ （a±b）2的特點(diǎn)，若4x2＋1表示了a2＋b2的話，則有a＝2x，b＝1，所以，缺少的一項(xiàng)為±2ab＝±2·（2x）·1＝±4x．此時(shí)，4x2＋1±4x＝（2x±1）2．如果認(rèn)為4x2＋1表示了2ab＋b2的話，則有a＝2x2，b＝1，所以，缺少的一項(xiàng)為a2＝（2x2）2＝ 4x4，此時(shí)，4x4＋4x2＋1＝（2x2＋1）2．

從另外一個(gè)角度考慮，“一個(gè)完全平方式”既可以是上面所提到的多項(xiàng)式，也可以是單項(xiàng)式． 注意到4x2＝（2x）2，1＝12，所以，保留二項(xiàng)式4x2＋1中的任何一項(xiàng)，都是“一個(gè)完全平方式”，故所加單項(xiàng)式還可以是－1或者－4x2，此時(shí)有4x2＋1－1＝4x2＝（2x）2或者4x2＋1－4x2＝12．

綜上分析可知，所加上的單項(xiàng)式可以是±4x，4x4，－1或－4x2.

二、設(shè)計(jì)新穎的基礎(chǔ)題

例2在日常生活中，如取款、上網(wǎng)等都需要密碼．有一種用“分解因式法”產(chǎn)生的密碼，方便記憶．原理是：如對(duì)于多項(xiàng)式x4－y4，分解因式的結(jié)果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9，則各個(gè)因式的值是x－y＝0，x＋y＝18，x2＋y2＝162，于是就可以把“018162”作為一個(gè)六位數(shù)的密碼．對(duì)于多項(xiàng)式4x3－xy2，取x＝10，y＝10，用上述方法產(chǎn)生的密碼是 （寫(xiě)出一個(gè)即可）．

解析：這是一道考查同學(xué)們閱讀理解能力的試題．題設(shè)規(guī)定了一種產(chǎn)生密碼的方法，讀懂題意是正確解題的關(guān)鍵.先將多項(xiàng)式4x3－xy2分解因式，得x（4x2－y2）＝x（2x＋y）（2x－y），再將x＝10，y＝10代入該式中的各個(gè)因式，得x＝10，2x＋y＝30，2x－y＝10，于是密碼可為103010或101030或301010.

這種題目設(shè)計(jì)比較新穎，也能引起學(xué)生的好奇心，讓學(xué)生感受到生活處處皆學(xué)問(wèn)．

三、正在加強(qiáng)的操作題

例3如圖1，在邊長(zhǎng)為a的正方形中剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一個(gè)梯形．利用這兩個(gè)圖形陰影部分面積的關(guān)系，可以驗(yàn)證公式．

解析：如何展示一個(gè)代數(shù)恒等式的幾何意義，如何從一個(gè)圖形中挖掘提煉一個(gè)抽象的代數(shù)恒等式，成為近年中考命題的一大亮點(diǎn)．事實(shí)上，利用面積的割補(bǔ)原理，圖1（1）表示的是a2－b2，圖1（2）表示的是（a＋b）（a－b），兩者面積相等，所以可列出a2－b2＝（a＋b）（a－b）．

例4如圖2，現(xiàn)有矩形紙片各若干塊，試選用這些紙片（每種紙片至少用一次）拼成一個(gè)矩形（每?jī)蓚€(gè)紙片之間既不重疊，也無(wú)空隙），使拼出的矩形面積為2a2＋5ab＋2b2，并指出此矩形的長(zhǎng)和寬.

解析：本題是一道符合新課標(biāo)要求的好題.它既考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，又考查了學(xué)生動(dòng)手操作的能力.先將多項(xiàng)式2a2＋5ab＋2b2分解因式，其結(jié)果為 2a2＋5ab＋2b2＝（2a＋b）（a＋2b），因此在操作中，應(yīng)分別選用a×a、a×b、b×b的紙片2塊、5塊、2塊，從而能拼出長(zhǎng)和寬分別為a＋2b，2a＋b的矩形.本題答案不唯一，如圖3所示．

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文