劉貴生

一、關(guān)于彈性碰撞的問題

在現(xiàn)行的物理教科書中，關(guān)于彈性碰撞的定義是碰撞前系統(tǒng)的機(jī)械能等于碰撞后系統(tǒng)的機(jī)械能時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)物體所發(fā)生的碰撞稱為彈性碰撞，用數(shù)學(xué)式表示為e==1（這里v10，v20，v1，v2分別是m1、m2碰撞前、后的速度），教科書中稱e為恢復(fù)系數(shù)，并指出e由相碰物體的材料決定.學(xué)生往往據(jù)此認(rèn)為只要相碰物體的材料一定，系統(tǒng)內(nèi)物體發(fā)生的碰撞是否彈性碰撞也就應(yīng)該確定下來了，然而事實(shí)上，一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)物體間發(fā)生的碰撞是否為彈性碰撞除了材料因素以外，還與所選的慣性系密切相關(guān)，下面我們就來一般地討論這個(gè)問題.假設(shè)系統(tǒng)內(nèi)有幾個(gè)物體發(fā)生碰撞，并且以碰撞前后系統(tǒng)的機(jī)械能是否相等作為判別彈性碰撞的依據(jù).

設(shè)慣性系Ω′相對(duì)于Ω系以速度運(yùn)動(dòng).碰撞前，系統(tǒng)內(nèi)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度在Ω系與Ω′系中分別以i 0和（i=1，2，…，n）表示.碰撞后，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度在Ω系和Ω′系中分別以i 和 （i=1，2，…，n）來表示，于是有： i= +，i 0=+.

又設(shè)、分別表示碰撞前在Ω′系中系統(tǒng)的總動(dòng)能和總動(dòng)量，、分別表示碰撞后Ω′系中系統(tǒng)的總動(dòng)能和總動(dòng)量，則有

Ek0=mi=mi（+）2=+?+miv2.（1）

Ek=mi=mi（+）2=+?+miv2.（2）

由（1）、（2）兩式可以看出，若系統(tǒng)內(nèi)物體間發(fā)生的碰撞在Ω′系中是彈性碰撞，即=，且=，則Ek=Ek0、，即系統(tǒng)內(nèi)物體間發(fā)生的碰撞在Ω系中也是彈性碰撞.但若=，≠，則Ek≠Ek0，即雖然在Ω′系中是彈性碰撞，但系統(tǒng)所受合外力不為零時(shí)，在Ω系中來看，系統(tǒng)內(nèi)物體間的碰撞就不是彈性碰撞了.綜上，我們有以下結(jié)論.

（1）若系統(tǒng)所受合外力為零，則系統(tǒng)內(nèi)物體間的碰撞是否彈性碰撞僅與相碰撞物體的材料有關(guān)，而與所選慣性系無關(guān).

（2）若系統(tǒng)所受合外力不為零，則系統(tǒng)內(nèi)物體間的碰撞是否彈性碰撞要由相碰物體的材料和所選慣性系共同決定.

二、單擺實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

在單擺的實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生通過測(cè)量獲得大量數(shù)據(jù)，但經(jīng)過計(jì)算得出實(shí)驗(yàn)結(jié)果（重力加速度）的值往往偏大或偏小，感到困惑，找不出原因.教師在改實(shí)驗(yàn)報(bào)告過程中也要花費(fèi)大量的時(shí)間去檢查核對(duì)原始數(shù)據(jù)，然后才能分析原因做出結(jié)論，實(shí)在是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，效率低下.我們?cè)陂L期的教學(xué)過程中，摸索出一個(gè)簡單實(shí)用的檢驗(yàn)方法，據(jù)此便可以迅速準(zhǔn)確地對(duì)重力加速度作出判斷.我們知道，單擺的數(shù)學(xué)公式為：

T=2π.（3）

設(shè)l取得一個(gè)增量Δl，T取得增量ΔT，代入（3）式得g′=.（4）

對(duì)（4）式的分母用泰勒公式展開可得以下近似：=1+2.于是（4）式變?yōu)椋篻′=1+2=g+g+2.

從而有：Δg=g′-g=g+2，即：=+2.（5）

利用（5）式就可進(jìn)行檢驗(yàn)判斷.在利用（5）式進(jìn)行判斷之前，需先明確正常測(cè)量結(jié)果中重力加速度的合理數(shù)量級(jí).為此，設(shè)用米尺測(cè)定擺長的誤差Δl=0.5 mm，用表測(cè)量50個(gè)周期對(duì)1個(gè)周期誤差ΔT=（s），又設(shè)擺長l=100 cm，T=2 s，則Δg=g?0.004 5，=0.5%，若本地g的標(biāo)準(zhǔn)值為980 cms-2，則認(rèn)為g的數(shù)量級(jí)在975~988 cms-2為合理.學(xué)生在實(shí)際測(cè)量中，擺長的測(cè)定一般都符合要求，問題主要出現(xiàn)在數(shù)周期上，若在一次測(cè)量數(shù)50個(gè)周期中數(shù)錯(cuò)n個(gè)周期，則對(duì)1個(gè)周期的影響為，因?qū)W生大多數(shù)數(shù)錯(cuò)周期都是T或，所以我們僅考慮以下兩種情形.

（1）當(dāng)n= 時(shí)，將ΔT=代入（5）式得Δg=10，從而=1%，故g的數(shù)量級(jí)為970~990 cms-2.

（2）當(dāng)n=T時(shí)，將ΔT=代入（5）式得Δg=40，從而=4%，故g的數(shù)量級(jí)為940~1 020 cms-2.

從以上討論可以立即看出，根據(jù)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是970~990 cms-2時(shí)，我們可斷言學(xué)生多數(shù)或少數(shù)；由940~1 020 cms-2，可斷言學(xué)生多數(shù)或少數(shù)1個(gè)周期T ，然后再檢驗(yàn)原始數(shù)據(jù)就可迅速查出錯(cuò)在哪里.