呼和滿都拉，董永勝，齊　磊（集寧師范學院　物理系，內蒙古　烏蘭察布　012000）

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數量級的估計在物理學中的應用

呼和滿都拉，董永勝，齊磊
（集寧師范學院物理系，內蒙古烏蘭察布012000）

摘要：在物理學的各個分支中，不同事物的量度有著不同的數量級.比如空間尺度（即長度）跨越了42個數量級，時間、速度也都跨越了幾十個數量級.不論理論還是實驗，往往都需要對有關物理量進行估計，以確定各個可能效應的相對重要性，判斷物理現象的主要機制.本文先是簡單估算了宇宙的引力半徑，而后對微觀層面普朗克常數的存在意義，以及電子的運動機制作了簡單討論.

關鍵詞：數量級；普朗克常數；玻爾半徑

理論物理學家們在進行詳細計算之前，為了恰當的選擇和建立數學和物理模型，要估計各物理量的各種可能效應相對重要性，用以判斷哪個物理量是決定現象的主要機制.實驗物理學家們在著手準備精密測量之前，為了選擇合適的儀器和測量方法，也需要對各有關物理量的數量級先做一番估計.由此我們可以看出，掌握特征量的數量級對我們物理學習來說至關重要.在分析物理效應的過程中，我們應注意尺度大小的改變所產生的影響，并把這種做法養(yǎng)成習慣，久而久之我們對現象的理解就會更加深刻，這種習慣很可能會幫助我們洞察事物的本質.

數量級的估計本無一定之規(guī)，我們在用的時候要靈活應用，因此本文主要對幾個典型的范例進行討論.

1　由經典力學估算宇宙的半徑

要擺脫一個質量M，半徑為R的星球，所需速度為

這個速度也叫做“第二宇宙速度”.其中G是引力常數.若星球的質量M大到使v=c，這時連光子也不能克服其引力的作用而發(fā)射出來，以至于在外界看不到這個星體，這類星體就被稱為“黑洞”.我們把v=c帶入上式得

即“席瓦西（Schwarzschild）半徑”，或“引力半徑”，反一個過來說，一個質量為M的星球，當它的半徑縮小到R0一下時，它就會成為黑洞.

根據天文觀測證明，宇宙在大尺度上物質分布是相當均勻的[1].我們考慮一個均勻的球體，其半徑R，密度ρ，則

如果這個體系的半徑R恰好達到自己的引力半徑R0

那么在這種情況下,該球內部就不會有光子逃脫R0的范圍.我們將宇宙的平均密度為ρ=5× 10-30g/cm3（臨界密度）代入上式，就可以估算出宇宙的引力半徑R0≈1028cm=1026m，我們姑且認為，這就是“宇宙的半徑”[2].

2　普朗克常數的存在意義

前面我們討論了宇宙的“至大無外”，那么下面我們來到微觀領域，來看看“至小無內”，就是沒有內部結構的最小單元.

如果說宇宙間有什么東西是無法再分割的，那只能是一些普適的物理常數，他們往往代表著一些無法逾越的界限.二十世紀初，經典理論受到了前所未有的巨大沖擊，一些新的實驗事實，比如電子荷質比的測定等等，已經完全無法用經典理論進行合理的解釋.而正是這一時期，物理學理論發(fā)生了重大變革，相對論和量子力學誕生.這兩個理論分別提出了一個普適的物理常數.相對論提出真空光速c是一切物體和信號不可超越的最大速度，量子理論提出，普朗克常數h是不可分割的最小作用量子.

當我們掌握了近代物理基本知識以后，我們就感覺到如此違反常識的兩個理論其實是很自然的事.下面我們就來看看普朗克常數h存在的必要性.

盧瑟福的實驗證明了原子中有核存在以后，原子的穩(wěn)定性就出現了問題.與萬有引力維系的天體運動不同，按照經典電磁理論，由庫侖力維系的原子中，電子將在加速運動中不斷輻射電磁波，其自身的能量就會不斷減少，以至于電子的軌道半徑就會越來越小，最后掉進原子核里，進而正負電荷中和，原子塌縮.按照電動力學計算[3]，原子塌縮時間的數量級在10-9s.

1913年，玻爾為電子軌道加上了量子化條件，讓它們在定態(tài)軌道里作穩(wěn)定運動而不輻射能量，后面我們會看到，定態(tài)軌道正比于h2，而如果普朗克常數h→0，定態(tài)軌道的半徑也就趨向于0，原子塌縮.由此可見，支撐原子穩(wěn)定結構的正是普朗克常數.

3　原子

3.1由玻爾理論基本假設求玻爾半徑

在早期，量子力學的發(fā)展十分艱苦曲折，而氫原子的量子化研究作為一個突破口起到了至關重要的作用，于是便有了氫原子構造的早期量子理論，也就是玻爾理論.

由玻爾理論的基本假設，電子以速度vn在半徑rn的穩(wěn)定軌道上作圓周運動，其向心力由庫侖力提供，即

當n=1時

用這種方法求出的r1是由經典理論和量子理論結合得到的，他把電子看成經典力學中的質點，又有量子化的特征，是不嚴謹不徹底的量子論[4].而對于玻爾理論所遇到的困難，后面在波粒二象性基礎上建立的量子力學給出了圓滿的解釋.

3.2不確定關系求玻爾半徑

作為粗略估計，電子運行在半徑為r的圓形軌道上，動量為p，總能量

利用不確定關系

△p艿p，△x艿r故而有

即

基態(tài)的r應使E取極小值，則

解出

對應的能量極值

可以看到其中的r近似于前面我們求的r1（Bohr半徑）[5].

3.3氫原子電子運動的非相對論性

我們對電子電荷e，電子靜質量m，普朗克常數h，光速c四個基本常數用量綱法作一下粗略分析，找到一個無量綱的組合，也就是通常所說的“精細結構常數”：

具有能量量綱的特征量可以寫成

這里的Ψ（α）也是一個無量綱函數，我們取Ψ （α）=1時，E=mec2是電子的靜能，它的數量級會遠

遠超出原子層次的能量.當Ψ（α）=α2/2時

可以看出，電子的靜能要高出α2/2=2.7×105倍，所以氫原子中電子的運動的非相對論性.光速c沒有出現在aB和Ry的表達式中這一事實，也是反映出這一點.

3.4通過氫原子基態(tài)能量的粗略算法求氦原子基態(tài)電離能

在只考慮圓軌道的情況下，對于高激發(fā)態(tài)，軌道半徑rn要乘以n2，能量要除以n2；對于重的元素，半徑要除以Z，能量要乘以Z2，即

氦原子的核電荷數為Z=2，核外有兩個電子，總能量就可以寫成

其中p1，p2分別為兩電子的動量，r1，r2分別為兩電子到核的距離，r12為兩電子之間的距離.

這樣我們就可以認為，能量的極小值應發(fā)生在兩電子相對于氦核處于對稱狀態(tài)的時候，這時p1=p2≡p，r1=r2≡p，r12=r1+r2=2r，則

取極小值的條件

得

式中的E取絕對值代表剝離兩個電子所需的能量，當第一個電子被剝離后，剩下的是個Z=2的類氫離子，其能量為- Z2Ry，即第一個電子的電離能為

與精確值24.6eV相比，數量級是沒有問題，絕對數量是偏大了很多，由此看來，這種粗糙的求極值法只能做出一個估計，而氫原子那樣求出兩個精確的公式，可以說是非常的巧合.

原子中的能量，主要是靜電子的動能和電勢能，按照位力定理，二者絕對值差一半，處在同一數量級上.用價電子電離能除以原子半徑時可作為價電子處電子強度大小的量度.對于氦原子我們可以簡單估算一下，數量級應該在1011V/m左右，相比于現在的實驗室所能達到的場強恐怕還要多出幾個數量級.

則

由此再次說明，電子運動的非相對論性，基態(tài)角動量

這也正是玻爾的量子化條件.

參考文獻：

〔1〕朱杏芬,褚耀泉.宇宙在大尺度上是均勻的嗎[J].天文學進展,2000,18(2):172-176.

〔2〕卡里布努爾·庫爾班,高建功.星體結構計算中的數量級估計[N].新疆大學學報(理工版),2001(4).

〔3〕趙凱華.定性與半定量物理學[M].北京：高等教育出版社，1991.101-116.

〔4〕莫文玲,王鳳鳴,劉濤.通過計算氫原子的波爾半徑加深對量子力學的理解[J].大學物理,2011,30 (1):36-37.

〔5〕周世勛.量子力學教程[M].北京:高等教育出版社，1979.6-7.

基金項目：內蒙古自治區(qū)高等教育科學“十二五”規(guī)劃課題 （NGJGH2013048)

中圖分類號：O4

文獻標識碼：A

文章編號：1673- 260X（2015）01- 0004- 03