田佩章

我在多年的教學和研究中，特別是小學數(shù)學教學和研究中體會到：小學生獲得數(shù)學知識（概念和事實）的過程（怎么獲得的，也就是課程標準中所指的學習策略、方式和情感態(tài)度），遠比這些數(shù)學知識本身重要。事實上“人們幾秒鐘內即可恢復忘卻的事實（如7×8=56），但改變學習習慣和消極態(tài)度是極端困難的，也許是不可能的事情?！?/p>

1998年，我在某雜志上發(fā)表了這個觀點，主張自主學習和實踐探究，并引起了長達1年的爭論。絕大多數(shù)教師和專家肯定這種教學方式，但同時提出質疑：這樣的教學方式必然需要大量的教學時間，是否能保證教學質量？否則必然因此加重學生的學習負擔。甚至有人認為，偶爾為之尚可，成為學生的學習方式不可能。當時我一直教小學高年級數(shù)學，每次的教學周期最多兩年，得出結論的依據(jù)也只是零碎的事實和個人的理論學習，加上我身份和職責所限，很難就此問題作出回答。我希望從一年級起，將一個班一直教到六年級，用事實證明我的觀點。1999年9月，我如愿地被安排去教一年級。當時我所在的學校是一個縣實驗小學，都是七八十人的超大班級，老師們普遍不愿意教一年級，三年級以下通常沒有男教師。作為一名長期教高年級的男教師，我的決定顯然是一般人難以理解的，被認為自找苦吃。

我所在的這個班同時進行語文學科五年制“注音識字·提前讀寫”教材實驗，筆者任數(shù)學教師，使用該實驗的配套數(shù)學教材（語文出版社1993年版），學生68人（中途正常變動4人），入學年齡平均不到6歲，未經(jīng)過入學成績測試，與普通班生源無區(qū)別。同時入學的其他學生學習六年制課程，使用人民教育出版社的教材。上一屆學生（1998年入學，2004年7月與我教的實驗班學生同時畢業(yè)）同樣學習六年制課程。筆者依托這個班進行自主探究性數(shù)學教學改革，實際上就是進行數(shù)學課程改革實驗。沒有對比班級，但是筆者心目中的預定對比班級是上一年級的8個班。預定的目標是：進行以自主學習和實踐探究為核心的數(shù)學教學改革探索，在不加重學生學習負擔的前提下，教學效果不低于常態(tài)教學。從現(xiàn)在正在進行的數(shù)學課程改革實驗看，筆者實際上是提前了3年進行了這項改革。下面就學生學習負擔、課程執(zhí)行過程、教學效果（知識的獲得、學習興趣、習慣）、學習評價等基本情況作一個簡要介紹。

主要教學策略

自主學習。目的是讓學生形成喜歡數(shù)學的學習態(tài)度和自主學習的習慣。最主要的做法是鼓勵學生自學，老師干預少，口頭禪是：“哇，你們真厲害，老師還沒教呢，你們就會了?！睂W生問這個題對不對、怎么做時，老師通常說：“你找找還有誰不會，一起想想辦法，肯定有辦法搞清楚的。”幾乎每個學生都有自己的進度，有自己的數(shù)學學習筆記本（簡稱“上課本”）。老師很少批改他們的作業(yè)，通常是他們自己準備紅筆，想辦法弄懂了題目之后打上對勾。5年中，一次也沒有用外部刺激來調動學生學習的積極性。但事實上，后來他們最喜歡的還是數(shù)學，他們自己出題做和自己找題目做，每節(jié)課上都要老師在黑板上寫思考題目，后來寫思考題成了老師的主要任務之一。

一開始，這樣做的困難是明顯的。因為他們以自主學習為主，進度很不一樣，有的學生兩三個星期就學完了一學期的全部內容，而有幾個學生連10以內數(shù)數(shù)都還不會。常常教室里學生們各忙各的，充分交流，亂哄哄（因為班額大，學生年齡小，免不了哭哭啼啼）。但是我想：這也許是正常的，只要他們學會了自己動腦筋學習，會很快學好小學數(shù)學的——因為小學數(shù)學實在是沒有多少難學的東西。這種亂，持續(xù)了差不多兩年時間，在二年級下學期，學生們便能像模像樣地坐在那兒自學了。到了三年級，學生的學習速度就開始加快，教學進度也跟著提速，有好幾個學生三四年級時就差不多學完了小學數(shù)學內容。

當然，我并不是不講課，有的時候甚至要講整整一節(jié)課。通常是在讓學生的知識形成體系的時候講，比如各種面積公式之間的聯(lián)系以及這些公式的創(chuàng)造性使用;各種運算之間的關系;數(shù)的整除背后的規(guī)律;用列方程解應用題溝通小學應用題教學，等等。在大部分學生不懂的時候講。在大家有共性錯誤的時候講。在知識拓展的時候講。

即使到了五年級，老師同樣要“維持課堂紀律”，但關注的是某個無所事事的學生，而不關注他是否學數(shù)學，畢竟有極少數(shù)學生還不能養(yǎng)成這種習慣和興趣。這與個體差異相關，他們不能從數(shù)學學習中體會到成功的快樂。

筆者現(xiàn)在分析，形成習慣以前的這種亂，在小班條件下可能會減輕，但是這個過程可能是不可逾越的。

再創(chuàng)造。筆者在那5年的數(shù)學教學中，從沒有“講”過或“告訴”過學生一條法則和定律，學生更沒有記憶和背誦過。常常有這樣的情景：某學生向同學們介紹他的發(fā)現(xiàn)——這些發(fā)現(xiàn)實際上就是運算定律等，所學的所有法則幾乎都是他們中某個同學發(fā)現(xiàn)的。比如，在計算教學領域介紹過：某某同學的練習法寶——“計算器幫我當老師（學生二年級時就獲準使用計算器）”;“我練計算的秘訣——怎樣自己出題”;“我發(fā)現(xiàn)了老師隨便寫的除法題為什么沒有余數(shù)，而我們自己隨便寫的題通常有余數(shù)”（老師偷偷透露給她秘訣，他們事實上學會了判斷一個數(shù)是否能被2、3、4、5、6、8、9整除，還明白了用8隨便除一個數(shù)，有余數(shù)的可能性為八分之七）;“我發(fā)現(xiàn)了分母是37的分數(shù)化小數(shù)的規(guī)律”，等等。盡管他們也發(fā)現(xiàn)了很多錯誤的東西，但是，正是這些發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，讓他們一步步形成了學習數(shù)學的正確態(tài)度，一步步走上老師希望他們走上的學習數(shù)學的正確道路。

探究。前文所述的3個案例就是典型的探究。這里要指出的是，第4個案例，是不符合我的本意的。對如何處理用一位數(shù)乘多位數(shù)，我做了很長時間的思考：在學生不能較好理解自然數(shù)的組成、位置值、乘法分配律的前提下（二年級學生是不太可能很好理解這些的），學習一位數(shù)乘多位數(shù)的法則，必然是“依樣畫葫蘆”。事實上，學生學習一位數(shù)乘多位數(shù)法則的時候，絕大多數(shù)學生是不知其所以然的，而且即使學完了乘法分配律，大多數(shù)學生也不能理解所以然。表內乘法學完后，遇到一位數(shù)乘多位數(shù)是很自然的事情，如果學生“想知道”（筆者這樣處理教材就是因為學生很想知道怎么做類似題目，因為他們是以自學為主，常常給老師找出很多教學內容）怎么做123×8之類的題目，讓他們自己探索，想到用加法是自然的。學生們也是這樣想的。在他們沒有學乘法的豎式表示之前，是不會想到乘法的豎式表示的。我正是在指點一個沒有學習過豎式乘法的學生用加法推出了一位數(shù)乘多位數(shù)的方法之后，才設計了這堂課。我本來的設計是：設置包含123×8的問題情景——學生探索列出123×8的算式——探索解決方法（用加法）——肯定學生的方法后提出挑戰(zhàn)問題：多個類似于123×8的問題——學生探索出個人的簡單表示——老師介紹世界上曾有過的豎式表示和老師小時候使用的表示（規(guī)范表示）——學生用規(guī)范的乘法豎式表示繼續(xù)嘗試類似問題的解決方法——解決問題。但是那樣必然導致一節(jié)課時間不夠，因為是考核課，為了迅速推導出乘法法則，增加課的“可看性”，所以“形式化”了一下?，F(xiàn)在看來，盡管我自認為依然很精彩，但正是這個形式化，使得這堂課的價值減少了一大半。

類似這樣的案例，在上述5年的教學中俯拾即是。

動手實踐。這一屆的每個學生都有20個厘米立方體（紅黃各10個，實際上200個左右更好）。小組合作的時候，每個組就有100個。從一年級到畢業(yè)，幾乎在學習所有數(shù)學內容，如計數(shù)和計算、分數(shù)、小數(shù)、比、按比例分配、圖形認識、長度、面積、體積單位、統(tǒng)計、應用題，等等，都用到過。這是最簡單的動手實踐。更多的實踐是采集數(shù)據(jù)。如各班的人數(shù);測量面積、體積;計算操場鋪地磚的塊數(shù)、單價、工程單位造價和總造價;校園里有多少棵樹，多少盆花，需要多少養(yǎng)護費;家庭水電費情況;購物問題，等等，并各自編寫應用題（低年級的時候稱為講故事）。這樣，他們的數(shù)學是建立在他們的經(jīng)驗和再創(chuàng)造之上，所以他們能很好地理解數(shù)學，學習效率高、效果好。

尊重差異和心理安全。在筆者的課堂里，學生習慣了平等、民主、和諧的氣氛。從沒有學生因為做錯題目而挨批評和受到同學的嘲笑，所以學生們敢于大膽發(fā)言，不懂就大膽提問，做錯了的學生會大聲“坦白”。下面的情況是經(jīng)常發(fā)生的。學生說：“老師，這個題目我不會做，我看到某某同學怎么做的，我抄下來了，但我還是不明白?！遍L期如此，學生的自我意識得到了增強，學習更自覺。

滲透。我將數(shù)學中的幾個重要概念和思想，在與學生們的學習和交往中提前逐步滲透。如，比例思想在學習乘法之初就開始滲透，并一直讓學生作為重點關注的對象，到了學習正反比例的時候，學生們已經(jīng)覺得很清楚了;還有符號化和方程思想，小學一年級數(shù)學最難的是反敘應用題的列式計算，比如，樹上原來有3只小鳥，現(xiàn)在有8只小鳥，又飛來了幾只？或者樹上原來有8只小鳥，現(xiàn)在有3只小鳥，飛走了幾只？所有的學生都能正確得出結果。但是在沒有長時間反復訓練之前，幾乎所有學生的列式都是：3+5=8和8-5=3。這種逆向思維訓練一定得在一年級進行嗎？我使用了這樣的方法，節(jié)省了大量時間和精力，同時更早地滲透了代數(shù)思想：3+（5）=8和8-（5）=3，只要將答案用括號括起來就行。后來自然過渡到用符號代表這個括號。因此，學生在三年級就習慣了用不規(guī)范的方法列方程解題了。到畢業(yè)的時候，他們列方程解應用題的能力比同年畢業(yè)的班級要強很多。另外，統(tǒng)計概率，極限和無窮，拓撲，軌跡，長度、面積和體積的幾何意義，集合思想，運籌，公理化等思想，都有所滲透，在拓展他們眼界的同時，更培養(yǎng)了他們熱愛數(shù)學的情感。

這種滲透有很多值得回味的案例。同學們使用了5年的厘米立方體，為了避免丟失，筆者從一年級就“鄭重”地告誡他們，這個東西很貴重，一個要1元錢。他們?yōu)榱朔乐估迕琢⒎襟w丟失，將它們用透明膠帶粘成一條，成為一把尺子（紅黃間隔，很好看也很好用）。在他們用尺子測量的過程中，已經(jīng)滲透了長度、面積、體積的區(qū)別。在學習連乘之后，滲透乘法結合律時，用厘米立方體搭建3×4×5的長方體，并計算其個數(shù)，除了滲透了乘法結合律，還滲透了長方體體積公式。正因為這樣，他們的學習速度越來越快，因為所學東西都是他們“清楚了的”。這也是在沒有多用時間的情況下使用自主探究的方法很好地完成教學任務的原因。

如何使用教材

先后使用過3種不同版本的五年制實驗教材，其中還有兩個學期因為教材郵寄出差錯，分別有一個多月沒有教材。但通常沒有按照教材的順序來進行教學。因為筆者對小學整個學段的數(shù)學課程內容要求比較清楚，所以通常宏觀地、靈活地根據(jù)學生的實際情況和環(huán)境資源的狀況，依據(jù)教學大綱和后來的課程標準組織教學內容。

學生負擔有沒有加重

沒有加重學生負擔，反而減輕了。5年完成6年的教學任務，這個班的學生在一、二年級沒有數(shù)學家庭作業(yè)（偶爾有少許諸如計數(shù)、測量之類的實踐性作業(yè)，目的是收集數(shù)據(jù)和為學生編數(shù)學應用題準備材料）。據(jù)我所知，即使現(xiàn)在的新課程實驗區(qū)，能做到一、二年級不布置家庭作業(yè)的也很少。筆者因為工作需要，經(jīng)常出差，每學期耽誤的時間不少于兩周。實事求是地講，最后一個學期（五年級下學期），因為復習任務比較重，每周比普通班多安排了1課時（同六年級畢業(yè)班一樣）。但是，總的算起來，如果用六年時間完成教學內容，是綽綽有余的。

教學質量如何

因為沒有可比性，加上筆者小范圍的權威地位，繞開了外部評價，所以四年級以前，這個班級與同校其他班級沒有正面比較過。只是在筆者的公開課上，學生的出色表現(xiàn)讓聽課老師贊賞。從筆者自己的觀察看，學生的成績分布正常，學生的學習興趣和主動性明顯優(yōu)于往屆學生和其他班級學生。五年級開始，這個班就成為學校的畢業(yè)班，與六年級學生一起先后接受了3次能代表質量的比較。第1次是畢業(yè)質量檢測。采用百分制，計算人均分、及格率和優(yōu)秀率，這個班和六年級的8個班一起檢測，這個班排第2名，與第1名的班（信息技術與課程整合的實驗班）無統(tǒng)計差異，與第2名以后的班級差異顯著。如果將六年級的8個班級平均，那么這個班的及格率和優(yōu)秀率都高出六年級10個百分點以上。盡管也有個別學習成績極差的孩子（各學科都差），但是不存在兩極分化現(xiàn)象。同樣測試語文學科，排除不可比因素，成績與普通班無統(tǒng)計差別。第2次正面比較是學校組織的數(shù)學學科競賽。競賽分五、六年級兩種試卷，兩個年級每個班抽出10名學生參加，這個班則抽出了20名學生參賽，其中10名參加六年級的比賽，另10名學生參加五年級的比賽，結果是：他們的成績都處于年級前列。第3次正面比較是畢業(yè)后，經(jīng)過了一個暑假，幾所初中招生時對學生進行了成績檢測，以作為進入實驗班的依據(jù)，這個班的學生數(shù)學成績出色，大部分進入了實驗班。從目前反饋的信息看，這些學生在進入初中后數(shù)學學習上依然出色，只是在純粹的計算上略有欠缺。

粗略地看，這個班的數(shù)學成績明顯地優(yōu)于普通班。因為不是嚴格的教育科學實驗，不能進行科學歸因，但是我可以負責任地說：即使排除其他任何可能的因素，這個班的數(shù)學成績優(yōu)秀的原因，與筆者的數(shù)學課程改革探索是正相關的。退一萬步講，只要方法得當，實施以自主和探究為核心的數(shù)學教學改革是絕不會降低學生的數(shù)學學習質量的。

注：〔英〕PaulErnest，《數(shù)學教育哲學》，齊建華、張松枝譯，上海教育出版社，1998年11月第1版，第270頁。