王小青

一、聚焦考綱

1.了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系.

2.了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概念與矩陣表示.

3.理解變換的復(fù)合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì).

4.理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣.

5.理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.

二、知識梳理

1.矩陣的乘法規(guī)則

評注：（1）設(shè)A是一個二階矩陣，α是矩陣A的屬于特征值λ的任意一個特征向量，則Anα=λnα（n∈N*）.（2）設(shè)λ1，λ2是二階矩陣的兩個不同特征值，ξ1，ξ2是矩陣的分別屬于特征值λ1，λ2的特征向量，對于任意的非零平面向量α，設(shè)α=t1ξ1+t2ξ2（其中t1，t2為實(shí)數(shù)），則對任意的正整數(shù)n，有Anα=t1λn1ξ1+t2λn2ξ2.（3）對于求解Anα的問題，一般可利用矩陣的特征值求特征向量來解決，對n較小的情況，也可直接采用矩陣乘法來解決.

四、規(guī)律總結(jié)

1.矩陣相等實(shí)質(zhì)上是矩陣對應(yīng)元素相等，體現(xiàn)了方程思想，要注意矩陣對應(yīng)元素相等.

2.矩陣的乘法只滿足結(jié)合律，不滿足交換律和消去律.

3.對于平面圖形的變換要分清是伸縮、反射、還是切變變換.

4.伸縮、反射、切變變換這三種幾何變換稱為初等變換，對應(yīng)的變換矩陣為初等變換矩陣，由矩陣的乘法可以看出，矩陣的乘法對應(yīng)于變換的復(fù)合，一一對應(yīng)的平面變換都可以看作這三種初等變換的一次或多次的復(fù)合.

5.逆矩陣的求法常用待定系數(shù)法.

6.若A，B兩個矩陣均存在可逆矩陣，則有（AB）-1=B-1A-1，若A，B，C為二階矩陣且A可逆，則當(dāng)AB=AC時，有B=C，即此時矩陣乘法的消去律成立.

7.求Mnα，一般都是先求出矩陣M的特征值與特征向量，將α寫成t1α1+t2α2.利用性質(zhì)，Mnα=t1λn1α1+t2λn2α2求解.endprint