[摘" 要] 數(shù)學是思維的體操. 如何在變式教學中踐行深度學習理念，拔高學生的數(shù)學思維呢？研究者以核心概念為出發(fā)點，在例題展示的基礎上，從解題思路、變式應用、推廣延伸三個維度例析“直線與拋物線”的解題教學，并提出幾點感悟：由淺入深設計變式可推進思維發(fā)展，時刻滲透數(shù)學思想方法可拔高思維，適度推廣可促進深度學習真實發(fā)生.

[關鍵詞] 變式;推廣;思維;深度學習

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調(diào)教師在教學中，不僅要關注課堂的“教”，還要注重學生的“學”，要想方設法激活學生的思維，讓學生對數(shù)學學習產(chǎn)生內(nèi)驅(qū)力. 但部分教師仍然將教學重點放在學生應試技能的培養(yǎng)上，忽略了對他們思維能力的培育. 這導致學生的學習難以達到深度學習的層次. 逐層遞進的變式應用，可有效拔高學生的思維，促使深度學習的發(fā)生.

核心概念的界定

1. 數(shù)學思維

數(shù)學思維是學生在學習過程中對知識理解、應用以及思考模式的綜合性體現(xiàn). 在數(shù)學課堂上，常見的數(shù)學思維包括歸納概括、邏輯推理和空間想象等. 其中，歸納概括是學生自主分析與解決問題的基礎，學生在自主思考與分析的環(huán)境中，能夠清晰地認識到知識的生成和發(fā)展規(guī)律，并據(jù)此構(gòu)建解決問題的基本策略;邏輯推理能夠幫助學生迅速地整理和提煉已知條件與結(jié)論，從而明晰核心知識;而空間想象則是培養(yǎng)學生建模能力的基石，它代表一種超越傳統(tǒng)教學限制的思維方式，屬于高級思維的一種形式.

2. 變式教學

變式教學指通過對問題非本質(zhì)特征的改變，即改造問題的條件或結(jié)論，將問題以新的形式呈現(xiàn)出來，讓學生通過探索問題深入理解其本質(zhì)屬性的一種教學模式. 研究發(fā)現(xiàn)，在課堂上應用變式教學法，不僅能夠引導學生的思維逐步深入，還能促進他們深刻領悟知識核心，從而有助于構(gòu)建一個完整的知識體系. 想讓變式更有效地服務于課堂教學，教師應有計劃、有針對性地進行變式設計，在不改變命題本質(zhì)屬性的基礎上，通過問題形式與內(nèi)容的轉(zhuǎn)換促使學生自主發(fā)現(xiàn)并掌握所學對象的本質(zhì). 此為發(fā)展學生探究能力與應用意識的根本，也是形成創(chuàng)新意識的基礎.

3. 深度學習

從整體上來看，數(shù)學教學內(nèi)容可分為表層知識與深層知識兩部分，前者指概念、性質(zhì)、公式、公理等基本知識和基本技能，而后者主要指數(shù)學思想和方法. 深層知識以表層知識為基礎[1]. 深度學習是在建構(gòu)主義理論的指導下，學生能夠批判性地運用數(shù)學思維，通過學習提煉數(shù)學思想方法、構(gòu)建數(shù)學模型、形成積極的數(shù)學觀念、培養(yǎng)良好的學習品質(zhì)與能力，并獲得優(yōu)質(zhì)學習體驗的一種學習方式.

例析變式拔高思維，推進深度學習過程

原題 如圖1所示，已知拋物線y2=4x上存在一點M，F(xiàn)為該拋物線的焦點，若將Fx作為起始邊，F(xiàn)M作為終邊，作∠MFx=60°，那么FM的值是多少？

1. 解題思路

思路1：過點M作準線l的垂線，令M為垂足，再將點F，M連接起來，可得一個等邊三角形FMM，KF=2，∠FMK=30°，所以

MF=4，F(xiàn)M=4.

上述兩種思路是學生基于已有認知經(jīng)驗提出來的，教師充分肯定了這種從拋物線定義出發(fā)，通過幾何法求解的思路，并提出：除了幾何法，能否用代數(shù)法求解呢？受到這個問題的啟發(fā)，學生轉(zhuǎn)變思考和探索的角度，形成了以下思路歷程：先求出直線FM的方程，再探索點M的坐標處于何處.

分析 這是一道經(jīng)典問題，起點較低，每個認知水平層次的學生都能結(jié)合已有認知經(jīng)驗求解. 隨著解題思路的提出與拓展，學生的思維逐漸從幾何法延伸至代數(shù)法，充分展示了數(shù)形結(jié)合思想在解決此類問題上的輔助作用. 這樣的設計不僅為后續(xù)的深入挖掘與探索奠定了堅實的基礎，也為學生的思維發(fā)展搭建了階梯.

2. 變式應用

根據(jù)變式的核心理念——只改變問題的形式，不改變問題的本質(zhì)，教師結(jié)合知識特點與學生的實際認知水平，由淺入深地設計變式，以啟發(fā)學生的思維，引導他們自主進入探索狀態(tài).

變式題1 已知點F為拋物線y2=4x的焦點，過點F作直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，已知FM的值為4，那么△MNO的面積是多少？

相較于原題，此題的難度略有增加. 為了引導學生思考，師生之間展開了以下對話：

師：存在幾條滿足變式題1的條件的直線？

生1：兩條“關于x軸對稱”的直線.

師：分析該變式題與原題之間存在怎樣的關系.

生2：原題中僅有一條直線符合相應的條件，而該變式題中則存在兩條符合條件的直線.

生3：這兩個問題的結(jié)論與條件發(fā)生了交換，我推測在解題思路上也應當有所牽連.

師：很好！接下來請大家自主解題.

（教師選取典型解法進行投影展示，并引導學生進行交流. ）

這是用代數(shù)法求解的過程. 對于這一解法，全體師生都給予了高度的肯定. 為了拓展學生的視野，并為培養(yǎng)學生的想象力打下基礎，教師又展示了用幾何法求解的一個過程.

投影2：如圖2所示，作FA⊥MM，A為垂足，則

AM=KF=2. 又

MM=MF=4，所以MA=2. 由此可確定：在Rt△AMF中，∠FMA=60°. 接下來的解題過程與投影1相同（略）.

分析 在原題的基礎上，變式題1對結(jié)論與條件進行了交換，但難度并未顯著提高. 學生在獨立思考的過程中，通常能夠順暢地完成解答. 得益于原題的解題框架作為基礎，學生的思維活動十分積極，他們在成功解題的同時，也進一步洞察了這類問題的根本內(nèi)涵.

師：通過探索這兩個問題，不難發(fā)現(xiàn)FM與∠MFx之間存在高度關聯(lián)，同時還發(fā)現(xiàn)FM=3FN. 基于以上分析，請大家再思考以下問題：

變式題2 已知F為拋物線y2=4x的焦點，過點F的直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，已知=3，請寫出直線l的方程.

師：滿足變式題2的條件的直線是否存在？

生4：存在，同樣為兩條“關于x軸對稱”的直線.

師：哪位同學愿意到講臺上板演解題過程？

生5：如圖3所示，作FA⊥MM，NB⊥MM. 設NF=t，則MF=3t. 根據(jù)題設條件得MB=NN=NF=

師：解題思路非常清晰，其他同學有沒有不一樣的解法呢？

分析 此變式題不僅進一步幫助學生厘清了MF，NF與直線MN傾斜角之間的聯(lián)系，還促使學生學會了從向量的角度來探索坐標問題，意識到將向量條件轉(zhuǎn)換為坐標關系可高效地解決問題. 學生在變式的引領下，不僅獲得了一種新的探索問題的方法，還有效提升了數(shù)學邏輯推理能力.

為了讓學生的思維在“密臺階”的問題啟發(fā)下實現(xiàn)高階發(fā)展，以促進深度學習的發(fā)生，教師又有針對性地設計了以下兩道變式題：

變式題3 將變式題2中的條件

變式題4 將變式題2中的條件改變?nèi)缦拢哼^點A（1，1）的直線l與拋物線y2=4x相交于點M，N，且AM=3AN，請寫出直線l的方程.

分析 由于變式題3中的條件不再涉及焦點F，因此無需使用幾何法進行解題. 如此設計可讓學生感知代數(shù)法在解決此類問題中的作用，同時體會幾何法的應用與焦點有密切聯(lián)系. 變式的逐層深入，可有效提高學生的解題效率，此為發(fā)展學生歸納概括、邏輯推理與空間想象能力的過程.

3. 推廣延伸

師：本節(jié)課通過探索原題、變式題1、變式題2，可見直線l的傾斜角和FM與NF的比例關系有直接聯(lián)系，大家能否將結(jié)論推廣開來呢？

分析 引導學生以問題為出發(fā)點，學會從多角度分析問題的本質(zhì)，并從中提取“一致性”，實現(xiàn)從特殊到一般思想的滲透[2]. 同時，激發(fā)學生的學習熱情，培育其歸納與提煉的技能，提升數(shù)學思維層次，展現(xiàn)深度學習的精髓.

幾點感悟

1. 由淺入深設計變式可推進思維發(fā)展

由于學生的思維發(fā)展是一個逐步深化的過程，因此在設計和應用變式題時，必須遵循從簡單到復雜、逐步深入的指導原則. 變式教學是一種“萬變不離其宗”的模式. 在設計變式題時，教師應深入了解學生的實際認知水平，并依據(jù)學情設計符合學生最近發(fā)展區(qū)的變式題. 這樣做旨在進一步鞏固學生的知識和技能基礎，提升他們的思維能力，讓學生體驗解決問題的樂趣，并在解題過程中獲得成就感.

2. 時刻滲透數(shù)學思想方法可拔高思維

數(shù)學思想方法是一種無形且難以捉摸，卻至關重要的數(shù)學能力. 這種能力無法通過言語直接傳授給學生，而應通過引導學生自主探索，去理解、感知、體驗和積累. 若要將數(shù)學思想方法深植于學生的內(nèi)心，教師必須在教學過程中進行滲透和引導. 在本節(jié)課中，教師基于數(shù)形結(jié)合，進一步引導學生感知數(shù)學中的轉(zhuǎn)化與化歸以及分類討論等思想方法，為學生能力的提升打下了堅實的基礎.

3. 適度推廣可促進深度學習真實發(fā)生

每位學生都渴望成為探索者、發(fā)現(xiàn)者與研究者. 通過逐步深入的問題探討和適度拓展，能為學生拓寬思維空間. 例如，本節(jié)課以一個基礎問題為起點，通過變化和應用，逐步引導學生的思維向更高層次發(fā)展. 在課堂尾聲，鼓勵學生自主地將問題推廣開來，從而將學生的思維從課堂延伸至課外，實現(xiàn)深度學習的教學理念.

綜上所述，教學方法隨著時代的發(fā)展而逐步變革. 當前，“以學生為中心”的教育理念應貫穿教學的各個層面. 作為前線的數(shù)學教育工作者，必須依據(jù)學生在課堂上的反饋，適時調(diào)整教學方法，充分利用變式教學來提升學生的思維能力，使他們在深度學習的過程中培養(yǎng)數(shù)學學科核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1] 薛志宏. 高中數(shù)學教學中促進學生深度學習的研究[D]. 河南大學，2020.

[2] 許文，鄭娣. 整合資源 合理設計 引領思維：對“直線與拋物線”一課的分析與感悟[J]. 高中數(shù)學教與學，2020（18）：3-5.